量子力學(xué)講義(修訂)

1、第一部分：經(jīng)典物理學(xué)所遇到的困難1、黑體輻射1）熱輻射：在一定溫度下任何物體都能以電磁波形式向外輻射能量，這種依賴物體溫度的輻射叫熱輻射2）黑體：如果一具物體能夠吸收入射到它上面的全部電磁波而不反射電磁波，那么這種物體就叫做黑體，黑體是一個(gè)理想模型，如一個(gè)空腔只開一個(gè)很小的口，從入口中射入的電磁波在空腔中反復(fù)反射，我們認(rèn)為最終會(huì)將所有的電磁波吸收，很少有機(jī)會(huì)從反射出來(lái)。如下圖所示當(dāng)達(dá)到熱平衡時(shí)，也就是說(shuō)，黑體空腔內(nèi)的溫度與壁的溫度一致時(shí)，空腔內(nèi)的輻射的能量分布只與溫度有關(guān)，關(guān)于黑體輻射的幾個(gè)公式1）維恩公式維恩從分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗(yàn)公式為：處于頻率間的能量為： （1）其中為經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，除了低頻

2、率部分，維恩公式實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合很很好。2）瑞利-金斯公式處于頻率間的能量為： （2）其中為光速，為玻耳茲曼常量，此公式在低頻部分與實(shí)驗(yàn)曲線符合得很好，但是在高頻部分是發(fā)散的，與實(shí)驗(yàn)明顯不符，稱之為紫外災(zāi)難。3）普朗克公式普朗克總結(jié)了分析了上述兩個(gè)公式，發(fā)現(xiàn)上述兩個(gè)公式可以用一個(gè)公式來(lái)總結(jié)，這就是普朗克公式，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合非常好。 （3）不難看出，在高頻段，此公式趨向于維恩公式，這是因?yàn)楫?dāng)，所以有在低頻段，也就是時(shí)，趨向于瑞利-金斯公式，這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以有普朗克首先是從數(shù)學(xué)上發(fā)現(xiàn)了這一公式，他覺(jué)得非常呀，他認(rèn)為這里面一定有不為人知的物理原因，經(jīng)過(guò)幾個(gè)月的思考，最后他得出的結(jié)論是，如果承認(rèn)能量是分

3、散的，也就是輻射能是一份份的，就可以推導(dǎo)出上述公式，于是普朗克得到了能量量子化的結(jié)論，這和經(jīng)典的物理思想是格格不入的，因?yàn)榻?jīng)典的電磁理論認(rèn)為，輻射能是連續(xù)的。普朗克引進(jìn)了能量量子化的概念，他認(rèn)為物體吸收和發(fā)射電磁波只能以量子的方式進(jìn)行，每一份能量為。2、光電效應(yīng)經(jīng)典理論（牛頓力學(xué)與電磁理論）遇到的另一個(gè)難題是光電效應(yīng)，電子吸收光子而發(fā)生逸出，它呈出來(lái)的規(guī)律為（1）對(duì)于一定金屬，存在著一個(gè)最低的頻率，低于這個(gè)頻率，無(wú)論入射光有多強(qiáng)，都不會(huì)觀察到光電子的逸出。（2）光電子的最大的逸出速率與頻率有關(guān)而與強(qiáng)無(wú)關(guān)。這兩點(diǎn)經(jīng)典電磁理論無(wú)法解釋，因?yàn)殡姶爬碚撜J(rèn)為，光的能量與光強(qiáng)有關(guān)而與頻率無(wú)關(guān)，因此，不會(huì)存

4、在一個(gè)最低的頻率，而打不出光電子，光電子的最大動(dòng)能應(yīng)與光強(qiáng)有關(guān)，而與頻率無(wú)關(guān)，愛(ài)因斯坦首先應(yīng)用普朗克的理論完美的解釋了光電理論為光電子的動(dòng)能，為一份入射光子的能量，電子脫離金屬表面所做的功，稱之為表面逸出功，與金屬種類有關(guān)。愛(ài)因斯坦因光電效應(yīng)公式而獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)，其實(shí)這只是他對(duì)物理學(xué)做出的貢獻(xiàn)的很少的一部分。3、原子的穩(wěn)定問(wèn)題盧瑟福原子核模型表明，原子為一個(gè)帶正電的原子核和帶負(fù)電的電子圍繞著它轉(zhuǎn)動(dòng)，這個(gè)模型有一個(gè)問(wèn)題，按照經(jīng)典電磁理論，一個(gè)電子圍繞著原子核做圓周運(yùn)動(dòng)，它必然會(huì)輻射電磁波，電磁波的能量只能來(lái)自電子的動(dòng)能，因此電子的速度會(huì)減少，而最終會(huì)掉到原子核上，原子會(huì)發(fā)生塌縮，原子很大，原

5、子核很小，因此我們應(yīng)觀察到物質(zhì)會(huì)消失掉，但我們從來(lái)沒(méi)有觀測(cè)到這樣的事情發(fā)生，所以原子穩(wěn)定的存在難以用經(jīng)典的理論解釋。第二部分：量子力學(xué)的基本概念1、三維向量空間向量：有大小有方向的量稱之為向量（矢量），如三維空間的向量。向量空間：全部向量的集合構(gòu)成了向量空間。如三維空間的全體向量構(gòu)成了三維空間的向量空間。正交歸一基：在三維空間中選擇三個(gè)兩兩相互正交的基記作，則任何向量可以表示為，稱之為三維向量空間的一種表示，記作，當(dāng)然我們也可以選擇另一組兩兩相互正交的基，向量可以表示為兩個(gè)向量加減仍為向量空間的一個(gè)向量在基分另表示為，則有表示為，表示為對(duì)于n維向量空間，我們總可以找到n個(gè)兩兩正交的單位向量構(gòu)成

6、了正交歸一的基，任何向量表示為其中為在上的投影。2、復(fù)數(shù)向量空間向量的系數(shù)可以為復(fù)數(shù)，這樣的復(fù)數(shù)向量構(gòu)成了復(fù)數(shù)向量空間。由于描述粒子狀態(tài)的量子態(tài)有方向，有大小，而且會(huì)發(fā)生干涉，因此可以用復(fù)數(shù)向量來(lái)描述。我們把可以把它記作狄拉克符號(hào)空間的態(tài)矢。以二維復(fù)數(shù)向量空間為例，所有的二維的復(fù)數(shù)向量構(gòu)成了二維復(fù)數(shù)向量空間，在復(fù)數(shù)向量空間中我們總可以找到二個(gè)兩兩正交的單位向量，構(gòu)成了一組正交歸一基，可以分解為，其中表示在上的投影。態(tài)矢可以表示為，存在著右矢空間，就必然有共軛的復(fù)數(shù)向量空間，稱之為左矢空間，右矢空間有右矢，在左矢空間就有應(yīng)的左矢，與互為共軛向量。左矢表示為， 則有相應(yīng)的對(duì)應(yīng)運(yùn)算規(guī)則，為一復(fù)數(shù)；，

7、向量的內(nèi)積向量與的內(nèi)積記為或者，可知稱之為左乘下面討論二維復(fù)數(shù)向量的表示對(duì)于自旋，我們可以用，或表示自旋沿z軸向上，相應(yīng)的本征值為，同樣，我們可以用，或表示自旋沿z軸向上，相應(yīng)的本征值為，為了方便其間，我們這里統(tǒng)一用，作用基來(lái)表示自旋沿z軸向上和向下，這是一組正交歸一完備基，也就說(shuō)滿足以下條件且這個(gè)向量空間的任何向量都可以表示為其中表示測(cè)量時(shí)態(tài)出現(xiàn)的幾率，表示測(cè)量時(shí)態(tài)出現(xiàn)的幾率，由于幾率的歸一化原因，因此需要同樣我們可以用，分別表示自旋沿y軸向左和向右的量子態(tài)矢，這也構(gòu)成了另一組正交歸一基，那么如何用，表示和呢？前面講過(guò)的實(shí)驗(yàn)表明，如果處于沿x軸向左和向右的量子態(tài)矢，則測(cè)到的幾率均為，所以最簡(jiǎn)

8、單的寫法應(yīng)該是易證明，它們也是正交歸一完備基。同樣我們可以用，分別表示自旋沿z軸向外和向里的量子態(tài)矢可以表示為容易證明，這也是一組正交歸一的完備基。并且可以寫成也就是說(shuō)，當(dāng)粒子自旋方向指向x軸的正方向時(shí)，測(cè)得粒子處于的幾率為，（把儀器指向左邊）測(cè)得粒子處于的幾率為。（把儀器指向右邊）n維任意態(tài)矢在一組正交歸一基上的表示，其中，將其代入可以得到，所以有為單位算符。同樣有3、線性算符線性算符好比一臺(tái)機(jī)器，有兩個(gè)接口，一個(gè)入口，一個(gè)出口，把一個(gè)向量從入口輸入，開動(dòng)機(jī)器，把一個(gè)向量輸出。記作M為線性算符：這表示，是復(fù)數(shù)。算符在基上的表示寫成矩陣的形式為可以表示三個(gè)矩陣相乘，厄米算符：的算符叫厄米算符矩

9、陣為的轉(zhuǎn)置再對(duì)每一個(gè)元素取復(fù)共軛。例如：，一般說(shuō)來(lái)，但有些矩陣，如滿足條件，我們把這種矩陣叫厄米矩陣，對(duì)應(yīng)的算符稱之為厄米算符算符M為厄米算符的條件：如果，則有厄米算符對(duì)應(yīng)著可觀測(cè)量，如動(dòng)量，坐標(biāo)，能量，角動(dòng)量，自旋等。4、本征態(tài)，本征值一般來(lái)說(shuō)，與的方向不一樣，與不是同一量子態(tài)，但也有特殊的態(tài)矢，滿足，M作用后，態(tài)矢的方向沒(méi)有發(fā)生改變，只是長(zhǎng)度發(fā)生了變化。如三維的轉(zhuǎn)動(dòng)，總一個(gè)方向不會(huì)發(fā)生變化。如果算符M滿足，那么我們稱態(tài)矢為算符M的一個(gè)本征態(tài)，為與本征態(tài)矢相對(duì)應(yīng)的本征值。定理1：厄米算符的本征值為實(shí)數(shù)證明，設(shè)為算符M的一個(gè)本征態(tài)，為相應(yīng)的本征值，則有 （1）對(duì)上式取復(fù)共軛則有 （2）（1）式

10、左乘得到 （3）（2）式右乘得到 （4）如果M為厄米算符，則有，所以有 定理2：厄米算符的不同本征值對(duì)應(yīng)的本征態(tài)正交證明：設(shè)為算符M的兩個(gè)本征態(tài)，為對(duì)應(yīng)的本征值，且，所以有 （1）對(duì)上式取復(fù)共軛則得到 （2）（1） 式左乘減去（2）式右乘得到因?yàn)?，所以有算符的平均值：一算符L在任意量子態(tài)上的平均值為，記作，將用L的本征態(tài)矢構(gòu)成的正交歸一基進(jìn)行展開，其中，等于相應(yīng)的幾率乘以本征值5、量子力學(xué)的幾個(gè)基本假設(shè)（1）物理上能夠觀測(cè)的量都是可觀測(cè)量，可觀測(cè)量都是用厄米算符描述（2） 可觀測(cè)的值為相應(yīng)本征態(tài)的本征值（3）物理上可以區(qū)分的態(tài)一定正交（4）對(duì)于一般歸一的態(tài)，可觀測(cè)量為M，設(shè)，對(duì)量子態(tài) 測(cè)量M的

11、值為的概率為 （5）當(dāng)你測(cè)量量子態(tài)中的M量，測(cè)得的結(jié)果為時(shí)，就把系統(tǒng)的量子態(tài)準(zhǔn)備到一個(gè)確定的態(tài)，（與本征值相對(duì)應(yīng)本征態(tài)）如，為的本征值，如果系統(tǒng)的測(cè)量的結(jié)果為，則系統(tǒng)量子態(tài)由（6）一個(gè)量子系統(tǒng)中的兩個(gè)態(tài)的內(nèi)積不隨時(shí)間而改變?cè)O(shè)有兩個(gè)量子態(tài)矢，有一時(shí)間演化算符，滿足，則有從中可以得到時(shí)間演化算符滿足上述條件，所以稱之為幺正算符。設(shè)演變的時(shí)間為一個(gè)無(wú)窮小量，則對(duì)進(jìn)行級(jí)數(shù)展開，可以得到，取互共軛得到時(shí)間算符的幺正性可以生成一個(gè)與能量有關(guān)的厄米算符H。6、薛定諤方程的推導(dǎo)由時(shí)間演化算符可知兩個(gè)力學(xué)量同時(shí)具有確定值的條件是兩力學(xué)量對(duì)易證明：1、充分性設(shè)為A，B共同本征態(tài)構(gòu)成的正交歸一基，設(shè)有對(duì)于任意量子態(tài)

12、證明：必要性，如果，則A，B有共同的本征態(tài)設(shè)為A的本征態(tài)，則，所以也是A的本征態(tài)，假設(shè)A的本征值均不同，所以與是同一量子態(tài)，也就是說(shuō)態(tài)隨時(shí)間演化設(shè)一量子態(tài)滿足薛定諤方程設(shè)為一組H能量本征態(tài)也就是滿足構(gòu)成了正交歸一基，則有 7、連續(xù)性本征值，波函數(shù)以上我們討論了本征值是離散情況，下面我們討論本征值是連續(xù)的情況，如一粒子在一維上運(yùn)動(dòng)，由于坐標(biāo)是可觀測(cè)量，因此可以構(gòu)成算符，當(dāng)粒子處于x時(shí)，粒子就處于坐標(biāo)的本征態(tài)，我們可以用來(lái)描述，所以的可能的x算符的本征值構(gòu)成了連續(xù)的本征態(tài)集合，這些本征態(tài)集合構(gòu)成了完備的基，任何一個(gè)態(tài)可能用展開，其中為概率幅，稱之為波函數(shù)，物理意義為，在的范圍內(nèi)找到粒子的概率為，因此又稱為概