高考文科數(shù)學(xué)解題策略專題六解析幾何第二節(jié)圓錐曲線

1、第二節(jié)圓錐曲線圓錐曲線是高考命題的熱點(diǎn) ，也是難點(diǎn).縱觀近幾年的高考試題，對(duì)圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)等的考查多以選擇填空題的形式出現(xiàn) ，而圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及圓錐曲線與平面向量、三角形、直線等結(jié)合時(shí)，多以綜合解答題的形式考查，屬于中高檔題，甚至是壓軸題，難度值一般控制在0.30.7之間.考試要求了解圓錐曲線的實(shí)際背景；掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；了解拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用；掌握數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法.題型一圓錐曲線的定義及應(yīng)用22例1已知點(diǎn)F為橢圓 1的

2、左焦點(diǎn)，M是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A(1,1)是一定點(diǎn)，則|MA| |MF| 95的最大值和最小值分別為 .已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)為 6,離心率為它，弓、F2分別是它的左、右焦點(diǎn)，若過(guò)匕的直線與雙曲線的2左支交于A、B兩點(diǎn)，且| AB|是| AF2 |與|BF2|的等差中項(xiàng)，則|AB| .點(diǎn)撥：題可利用橢圓定義、三角形的三邊間關(guān)系及不等式性質(zhì)求最值；題是圓錐曲線與數(shù)列性質(zhì) 的綜合題，可根據(jù)條件先求出雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)a的值,再應(yīng)用雙曲線的定義與等差中項(xiàng)的知識(shí)求|AB |的值.解：設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為 F則|MF| |MF/ 6,，|MA| |MF|MA| |MF/ 6.又|AF111MA | |MF1 | |A

3、F1|(當(dāng) M、A、F1 共線時(shí)等號(hào)成立).又 |AE| 72 ,/. |MA | |MF | 6 金,|MA| |MF | 6板.故|MA| | MF |的最大值為66,最小值為6 %：2 .2b 6依題意有 - ，解得a 273A、B在雙曲線白左支上,. | AF2 | |AF/ 2a,a 2222cabIBF2I |BF/ 2a,.-. IAF2I 跖| (|AFJ |BF") 4a.又 IAF2I |BF2 | 21ABIJAFJ |BFJ|AB|.2| AB| | AB| 4a,即 |AB| 4a.，|AB| 4 2下 8褥.易錯(cuò)點(diǎn)：在本例的兩個(gè)小題中，正確應(yīng)用相應(yīng)曲線的定

4、義至關(guān)重要，否則求解思路受阻；忽視雙曲線定義中的兩焦半徑的大小關(guān)系容易出現(xiàn)解題錯(cuò)誤；由M、A、F1三點(diǎn)共線求出|MA| |MF |的最值也是值得注意的問(wèn)題.變式與引申1.已知P為拋物線y2 4x上任一動(dòng)點(diǎn)，記點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d ,對(duì)于給定的點(diǎn) A(2,4) ,|PA| d的最小值為().A. 2 3B.2 3 1C. 17 1D. 172 X 02.設(shè)4、F2分別是橢圓E ： y2 1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)Fi的直線l與E相交于A、B兩點(diǎn)，且| AB |是| AF? |4與|BFz|的等差中項(xiàng)，則|AB| .題型二圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程220)的兩個(gè)焦點(diǎn)圖6 2 1例2已知拋物線C1 : x2 by

5、b2經(jīng)過(guò)橢圓C2 :二二1(a b a b求橢圓C2的離心率；設(shè)Q(3,b)，又M , N為Ci與C2不在y軸上的兩個(gè)交點(diǎn)，若 QMN的重心在拋物線 C1上，求C1和C2的方程.點(diǎn)撥：?jiǎn)栴}：將C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)代入 Ci的方程，得出b,c的關(guān)系式，進(jìn)而求出C2的離心率；問(wèn)題：利用問(wèn)題的答案，聯(lián)立Ci、C2的方程先得出 M、N坐標(biāo),再利用 QMN的重心在拋物線 Ci上，求Ci、C2 的方程.解：拋物線Ci經(jīng)過(guò)橢圓C2的兩個(gè)焦點(diǎn)2Fi( c,0) ,F2(c,0) ,. c2b 0 b2,即 c2b2,0000 c 2，a2 b2 c2 2c2,.橢圓 C2 的離心率 e .a 222由可知a2 2b

6、2,橢圓C2的方程為二 32b b得2y2 by b2 0,解得y b或y b (舍去),，x2i，聯(lián)立拋物線Ci的方程x2 by b2,66b b6b b、一b,即 M(,),N(,),22222QMN的重心坐標(biāo)為(i,0)；.重心在C上，i2 b 022b ,得 b i . .1 a 2 .2拋物線Ci的方程為x2y i,橢圓C2的方程為 y2 i.2易錯(cuò)點(diǎn)：忘記用第小問(wèn)的答案；記錯(cuò)重心坐標(biāo)公式；聯(lián)立Ci、C2的方程后，計(jì)算錯(cuò)M、N坐標(biāo).變式與引申3 .求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn) A(W, 2) B( 2 6,i)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程4 .已知橢圓mx2 ny2 i(m 0,n 0)與直線x y i0相交于A

7、、B兩點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，若12AB 2石,OC的斜率為 ,求橢圓的方程.2題型三圓錐曲線的幾何性質(zhì)例3如圖6 2，已知F為橢圓y2/ / 小lb彳i(a b 0)的左焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作斜率為-(c為半焦距)的直線 bc交橢圓于點(diǎn)A、B兩點(diǎn).若直線AB的傾斜角為，求證:cose(e為橢圓的離心率);ujir若BF點(diǎn)撥：這是uuui 2FA,且(-,-),求橢圓的離心率e的取值范圍.2 3一道過(guò)橢圓焦點(diǎn)的直線與橢圓性質(zhì)的有關(guān)問(wèn)題，依據(jù)題名條件，A圖6 2 2運(yùn)用三角公式、斜率與傾斜角的關(guān)系以及橢圓離心率知識(shí)可使問(wèn)題獲證；對(duì)于則運(yùn)用平幾性質(zhì)、焦半徑公式及題給條件建立含離心率e的不等式，進(jìn)而求出e的取值

8、范圍解法1 ： tansin22cos21 cos2cosb22,即 cos c2c22b c2be，又 tan c0,.cos 0,故 cose.解法2 :依題意直線AB的分別為b(x cc)b,.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,b)，故 cosc一 e.a解:uur BFUUUFA,UUU|BF |UUUlFAllXBIxF Xl I二.將直線1，整理得2 a (1)x c2a2x c0 ,Xb2a2cUUUff2.BF a cuurFA ,.UUUTlBFluuuulFAlI其c|a cc2a22a c，解不等式1e2故橢圓的離心率e的取值范圍為(大,).53易錯(cuò)點(diǎn)：?jiǎn)栴}中忽視斜率的正負(fù)，會(huì)導(dǎo)致 路將

9、受阻.變式與引申cos的符號(hào)出錯(cuò)；問(wèn)題中不適時(shí)聯(lián)想平幾性質(zhì)，解題思5.給定拋物線2y 4x，過(guò)點(diǎn)A( 1,0)斜率為k的直線與C交于M ,N兩點(diǎn).(I )設(shè)線段UUUr(n)設(shè) amMN的中點(diǎn)在直線x 3上，求k的值；UUU 2 6AN ,k 二,J,求的取值范圍.23題型四以圓錐曲線為載體的探索性問(wèn)題2 X 例4已知橢圓C : -2a2。1(a b 0)的離心率為 bT，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn).當(dāng)l的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)UUr UUr，有 OP OAUUU OB成立？若存在，求出所有的點(diǎn)P求a、b的值；C上是否存在點(diǎn) P ,使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí) 的坐標(biāo)與l的方程.若不存

10、在，說(shuō)明理由.點(diǎn)撥：?jiǎn)栴}可先寫出l的方程，再利用點(diǎn)O至M的距離和橢圓的離心率求出a、b的值；問(wèn)題是存在性探索問(wèn)題，可先探索命題成立的充要條件，將向量坐標(biāo)化，再綜合運(yùn)用題給條件，逐步推出滿足題意的l 是否存在.但需考慮l轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)斜率不存在情形|0 0 c| c 2解：設(shè)F(c,0),當(dāng)1的斜率為1時(shí)淇方程為x y c 0,點(diǎn)。至”的距離為 七 至-2. c .3 . 一- -22c 1.由 e - 一，得 a 3, b a c a 3C上存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)2x2 3y2 6.設(shè) A(x1,y。，B(X2,y2).UUU，有OPuurOAUUUOB成立.由知C的方程為UUr UUr

11、 UUr當(dāng)l不垂直x軸時(shí)，設(shè)l的方程為y k(x 1).C上的點(diǎn)P使OP OA OB成立的充要條件是P 的坐標(biāo)為(X1 X2,y1 y2),且 2(X1X2)23(yy2)26,即 2x2 3yj 2x23y24x1x2_2_2_2_26y1y2 6 .又 A、B在 C 上,，2與3y16,2x23y26,，2x1X2 3y1y23 0一一 2 一 2 一 .，一 _ . 2.22_ . 2 一 一將 y k(x 1)代入 2x 3y 6 ,整理得(2 3k )x 6kx 3k 6 0,X26k22 , Xx22 3k3k262z,y1y2 k (X 1)(x2 1)2 3k4k2口 2中.代

12、入解得，k 2,此時(shí)X1X2'于是yi2V2k(x1 x22)，即已3 3 .因此，當(dāng)kJ萬(wàn)時(shí)，P（3直）,的方程為2x y 2 uur0；當(dāng)k 時(shí)uur3,P(-,2三），1的方程為尤x y2uur uur當(dāng)l垂直于x軸時(shí)，由OA OB （2,0）知，C上不存在點(diǎn)P，使OP OA32 uuu uur uuu_綜上，C上存在點(diǎn)P（; 二）使OP OA OB成立，此日l(shuí)的方程為 Mx222 0.urnOB成立.y .2 0.易錯(cuò)點(diǎn)=本題涉及字母較多忍旖不清靳運(yùn)篝能力不強(qiáng)易導(dǎo)致錯(cuò)解發(fā)生,直線；垂直于k軸 情形易遺漏;需值得注意.變式與引申rl 一！ 一 i 和二.:由十一一二 一. iy.

13、N之間）,0為坐標(biāo)原點(diǎn).若p 2,m 2,求 OPQ的面積S;對(duì)于任意的動(dòng)直線l，是否存在常數(shù)p，總有 MOP 若存在，求出p的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.本節(jié)主要考查：知識(shí)點(diǎn)有圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)焦半徑等）以及這些知識(shí)的綜合應(yīng)用；以平面向量、三角形、導(dǎo)數(shù)為背景的圓錐曲線的方程問(wèn)題、 相關(guān)的綜合問(wèn)題；PON ?NOM圖6 2 3兩點(diǎn)i點(diǎn)（焦點(diǎn)、離心率、焦點(diǎn)三角形參數(shù)范圍問(wèn)題、最值問(wèn)題、定值問(wèn)題等幾何問(wèn)題圓錐曲線定義法、待定系數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)法、點(diǎn)差法、設(shè)而不求的整體思想以及坐標(biāo)法和 代數(shù)化”等解析幾何的基本方法；數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用以及邏輯推理能力、運(yùn)算求解能

14、力等基本數(shù)學(xué)能力點(diǎn)評(píng)：圓錐曲線是解析幾何的重點(diǎn)，也是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容 ，同時(shí)又是高考的熱點(diǎn)和壓軸點(diǎn)之一，主要考查圓錐曲線的定義（如例1）與性質(zhì)（如例3）、求圓錐曲線方程（如例2）、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、以圓 錐曲線為載體的探索性問(wèn)題（如例4）等.圓錐曲線的定義，揭示了圓錐曲線存在的條件性質(zhì)、幾何牛I征與焦點(diǎn)、離心率相關(guān)的問(wèn)題，恰當(dāng)利用圓錐曲線定義和數(shù)形結(jié)合思想解題，可避免繁瑣的推理與運(yùn)算.求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：定型一一確定是橢圓、拋物線、或雙曲線；定位一一判斷焦點(diǎn)的位置；定量一一建立基本量a、b、c的關(guān)系式，并求其值；定式 一一據(jù)a、b、c的值寫出圓錐曲線方程.圓錐曲線的性質(zhì)如范圍、對(duì)稱

15、性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、離心率、焦半徑、焦點(diǎn)三角形、通徑等都是高考的 重點(diǎn)熱點(diǎn).此類問(wèn)題，它源于課本，又有拓寬引申、高于課本，是高考試題的題源之一，應(yīng)引起重視，注意掌握好 這一類問(wèn)題的求解方法與策略.如對(duì)于求離心率的大小或范圍問(wèn)題，只需列出關(guān)于基本量 a、b、c的一個(gè) 方程（求大?。┗蛘业疥P(guān)于基本量 a、b、c間的不等關(guān)系（求范圍）即可.求參數(shù)取值范圍是圓錐曲線中的一種常見(jiàn)問(wèn)題，主要有兩種求解方法：一是根據(jù)題給條件建立含參數(shù)的等式后，再分離參數(shù)求其值域；另一是正確列出含參數(shù)的不等式，進(jìn)而求之.其列不等式的思路有：運(yùn)用判別式 0或 0 ;點(diǎn)在圓錐曲線內(nèi)部（一側(cè)）或外部（另一側(cè)）；利用圓錐曲線的幾何意義（

16、如橢圓中a x a等）；根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊（注意三點(diǎn)共線的情況）.解有關(guān)圓錐曲線與向量結(jié)合的問(wèn)題時(shí)，通性通法是向量坐標(biāo)化，將一幾何問(wèn)題變成純代數(shù)問(wèn)題 .探索性問(wèn)題是將數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)結(jié)合并賦予新的情境創(chuàng)設(shè)而成的，它要求學(xué)生具有觀察分析問(wèn)題的能力、具有創(chuàng)造性地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法解決問(wèn)題的能力以及探索精神.解題思路往往是先假設(shè)滿足題意，即從承認(rèn)結(jié)論、變結(jié)論為條件出發(fā)，然后通過(guò)歸納，逐步探索待求結(jié)論.1.已知橢圓中心在原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)Fi、PFi x軸,PF2 / AB，則此橢圓的離心率是習(xí)題6-2).F2在x軸上，A、B是橢圓的長(zhǎng)、短軸端點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且1551A.-2B 5B.51

17、C.-32D.一222.過(guò)拋物線y 2px(p 0)的焦點(diǎn)F作直線l ,交拋物線于A、B兩點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于 C點(diǎn)，若uuuuuirCB 3BF ,則直線l的斜率為,、， 1 一， 一一一 3.已知定點(diǎn)A( 1,0) ,F(2,0)，定直線l： x -,不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F的距離是它到直線22倍.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為E,過(guò)點(diǎn)F的直線交E于B、C兩點(diǎn)，直線 AB、AC分別交l于點(diǎn)M、 求E的方程；試判斷以線段 MN為直徑的圓是否過(guò)點(diǎn) F ,并說(shuō)明理由.l的距離的4 .如圖，已知直線l ： y kx 2與拋物線C ： x22py(p 0)交uur uuuA、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA OB ( 4, 1

18、2).求直線l和拋物線C的方程；若拋物線上一動(dòng)點(diǎn) P從A到B運(yùn)動(dòng)時(shí)，求 ABP面積的最大【答案】變式與引申1. C提示：如圖6-2-1，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離d比到準(zhǔn)線的距離(即|PF |)1,- - |PA| d|PA| |PF | 1.而點(diǎn)A在拋物線外，|PA| d的最小值為| AF | 117 1.值.8 22.3提示：由橢圓定義知 |AF2| |AB| |BF2| 4a 8,又 |AF2| |BF212| AB| ,3| AB| 8v2 ,| AB |3.解法一：當(dāng)焦點(diǎn)在2 xx軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為-2ab 0),(.3)22依題意有 a _(2 3)22a2(2)2- b1b21，解

19、得12ab215當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，同理解得2ab25,a b,不合,舍去.15綜上所求橢圓的方程為2 x15解法二：設(shè)所求橢圓方程為 mx2ny 1(m 0,n 0,m3m 4n 1n).依題意有，解得12m n 1122故所求橢圓的方程為L(zhǎng) L 1.1554.解法一：設(shè)A（x” yj , B（x2, y2）,代入橢圓方程得2mx12ny1,221 ,mx, ny2 1,相減得 m3 x2)(Xi X2) n(yi y2)(yi y2) 0kABy1y2x1x21金y2x2kOC- ,n 72m.由22mx:2 彳ny 1y 1 0得(m n)x22n2nx n 1 0. 1. x1 x2 ,

20、 x1x2m n.又 |AB| 1 k m n'AB x2x1 I 22,，（二）2m n4= 4.將n&m代入，解得m 2,/. n 史.故橢圓方程為上m n3332y21.解法二：由2mx'2.ny 12，得(m n)x 2nx n 1 0 .設(shè)八(為) , B(x2.),則 xy 1 0x22nn 1x2 m n."ABI 3(1-2k )(x1x2)4n2 4(m n)(n 1)2(m n)272,.vm n mn設(shè) C(x0, yo)，則 xox1x2 n,V。2 m n1xoV。x02 口代入，得m22故橢圓方程為-32y21.35.解：（I）過(guò)點(diǎn)

21、A（ 1,0）斜率為k的直線為yk(x 1),k(x1）代入方程4x,得 k2x2 (2k2 4)x k20.設(shè) M(x1,y3N(x2,y2),則有 x4x2一22k,不 k;線段MN的中點(diǎn)在直線2,門4 2kx 3 上， Xx26,即一Lk6,得k2?（此時(shí)式的判別式大于零）.uuuruuir(n )由 AM AN，得(x1X 11,y)(x2 1,y2),即 y1(x2y21)22 2.由，得y；2y2. y； 4為，丫24x2,.”1乂1 易知 1, x2 - , x1解得36.解:14 2k24一2k k22,又 k 2,-,34k22 4,6，即41 6,得 42 16,2 2，故

22、的取值范圍是3 2 2,23U23,3 2 2.由題意，直線l的方程為y“I, x 4y /口1.設(shè)點(diǎn) P(x1，y) ,Q(x2,y2),由，得y x 12x 4x 4 0 ,則為 x24, 為x214,/. S -|ON |21為x21 2-(x12x2)4x1 x2-716 162V2 .22，一， 、一， 小 ，設(shè)點(diǎn)P（%,y。）,則v。 生.由M、2PP、 N三點(diǎn)共線得2x2-.由 MOP PON得點(diǎn)P到y(tǒng)軸距1 y°離與到直線 OM : x my 0 距離相等，即 | % | |"_ my0 |,x2 m2x2 x2 m2y2 2mx0y0,1 mZ22mxo

23、myo 2小丫。.把 y022x。2x04 Px04 Px0 x0,m 2 代入，得22p 1 y0 2Px02 P x0，一424px0x02x0 x0222Px0 4P 2p4P 22P x0x1992 . 一 11.2_丁一，.4p x02p x0,解得p - .故存在常數(shù)P 一，總有MOPP(2 P x0)P22PON .習(xí)題6-21 . B.222提示：設(shè)橢圓的方程為 二 22 1(a b 0),則 |OA| a,|OB| b,|F1F2| 2c,|PF1| J? abaPF1 x 軸,PF2/AB,得 Rt OABs Rt F1F2P, J°A 1°巴,即三 ；

24、,解得 b 2c, | F1F2 | |F1P|2c b_a.a2 c2 4c2,故橢圓的離心率 e 二.選B.52.2 21-提不：過(guò)點(diǎn)B向準(zhǔn)線作垂線BM，垂足為M,可知cos MBC -,所以直線l的斜率為 2亞3 23.解：設(shè) P(x,y),則 J(x 2)2 y2 2|x 1|,化簡(jiǎn)得 x2 人 1(y 0). 232當(dāng)直線BC與x軸不垂直時(shí)，設(shè)BC的方程為y k(x 2)(k 0),與雙曲線x2 1聯(lián)立消去3y2得(3k2)x24k2x(4k23) 0 .由題意知 3 k2 0且0.設(shè)B(。y1)儲(chǔ)人，y2),則 xx2k 32222x1x24k-3)丫2k2(x12)(x2 2) -以涇 2(x1x2)4 k2(k-3-824) -9k-.k 3k 3k 3 k 3x11, X2y. .13y uuur 3 3y1,，AB的方程為y 上(x 1),，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(,一J),FM ( -,J), x1 12 2(x1 1)2 2(x1 1)uuu 33Vuimr uuir同理可得FM ( -,一J),因此FM FN2 2(x21)0.3)29y1y222(x1 1)(x2 1)81k29k2 3一2244(空空1)