高考文科數(shù)學(xué)(北師大)一輪復(fù)習(xí)課件：選修4系列選修4-4

1、知識(shí)梳理選修4 一 4坐標(biāo)系與參數(shù)方程必備知識(shí)預(yù)案自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破1 平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換 設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系 中的任意一點(diǎn)，在變換7:M »暢作用下，點(diǎn)叫)對應(yīng)到點(diǎn)叫必稱口為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換.必備知識(shí)預(yù)案自診 關(guān)犍能力學(xué)案突破-3知識(shí)梳理2 極坐標(biāo)系與極坐標(biāo)（1）極坐標(biāo)系:如圖所示，在平面內(nèi)取一個(gè) 定點(diǎn)0叫做極點(diǎn)， 自極點(diǎn)0引一條射線因叫做極軸;再選定一個(gè)2度單位，一個(gè)魚 度 單位（通常取 弧度）及其正方向（通常取 逆時(shí)針 方向）， 這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.極坐標(biāo)：設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)。與點(diǎn)M的離ICML叫做點(diǎn)M的極徑，記為尸

2、：以極軸Ox為始邊射線0M為終邊的角叫做點(diǎn)M的極角.記為0 有序數(shù)對（叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo).i己為M (p®必備知識(shí)預(yù)率自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破知識(shí)梳理3 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(心)，它的極坐標(biāo)為小0)互化的前提條件互化公式(1)極點(diǎn)與原點(diǎn)重合；(2)極軸與x軸非負(fù)半軸重合；(3)取相同的長度單位X = PCOS,（V = DSH16.VA/ /7d2 _b2 . -2（cy0）把直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí)，通常有不同的表示法(極角相差2 兀的整數(shù)倍)一般取“20,0日0,2兀)知識(shí)梳理4 直線的極坐標(biāo)方程(1)若直線過點(diǎn)颼粉且從極軸到此直線的角為血?jiǎng)t它的方程為:psin(O

3、 a)= (2)幾個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程：直線過極點(diǎn):&二%和6二兀+弘直線過點(diǎn)M(a , 0),且垂直于極軸:qcos 直線過M(b ,分且平行于極軸：psin 0=b .5 .的極坐標(biāo)方程若圓心為MS。，%),半徑順則呈為伏2Popcos(&-&o)+尿於二0(2)幾個(gè)特殊位置的的極坐標(biāo)方程：H1心位于極點(diǎn)，半徑為r. p-r :圓心位于M(a , 0),半徑為u:p= 圓心位于M(a,芋)半徑為:Q= 2asin 0.知識(shí)梳理6 曲線的參數(shù)方程定義:在平面直角坐標(biāo)系丸中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)兀y都是某 個(gè)變數(shù)/的函數(shù)$二產(chǎn)”、并且對于r的每一個(gè)允許值,上

4、式所 (y = 9(0確定的點(diǎn)M(xD都在這條曲線上，則稱上式為該曲線 的參數(shù)方程, 其中變數(shù)力稱為參數(shù)過點(diǎn)Podo,yo),且傾斜角為的直線的參數(shù)方程為£二；仃；B;乞?yàn)閰?shù)浪的幾何意義是直線上的點(diǎn)尸到點(diǎn)Po(xo,yo) 的數(shù)量，即"I 二出方可正，可負(fù).使用該式時(shí)直線上任意兩點(diǎn) 尸1中2對應(yīng)的參數(shù)分別為nd則閱尸川="77%的中點(diǎn)對應(yīng)的參 數(shù)1為尹1+-知識(shí)梳理數(shù)）數(shù)）.x = a rcosO,y+ rsin3 （。為參。為參數(shù)）.(&為必備知識(shí)預(yù)案自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破考點(diǎn)自診1 判斷下列結(jié)論是否正確，正確的畫“*錯(cuò)誤的畫“X,(1)在伸縮變換下，直

5、線仍然變成直線，圓仍然變成圓.(X)(2)點(diǎn)P在曲線C上，則點(diǎn)尸的極坐標(biāo)一定滿足曲線C的極坐標(biāo)方程.(X)(3)如果點(diǎn)尸的直角坐標(biāo)為匹)，那么它的極坐標(biāo)可表示為R9(4)參數(shù)方程為參數(shù))所表示的圖形是直線.(V ) (5)圓心在極軸上的點(diǎn),0)處，且過極點(diǎn)0的圓的極坐標(biāo)方程為p=2asin 0.( X )考點(diǎn)自診2直線/的參數(shù)方程為 蕉瞪獲為參數(shù)），則/的傾斜角大小為（C）D.=6A- 62KCT解析就二舄可以得到直線的方程為尸E所以直線/的斜率為一箱, 傾斜角為罟，故選C知識(shí)梳理考點(diǎn)自診3在極坐標(biāo)系S中，方程二2sin&表示的圓D)TO-ABC解析：由題意得，方程”2sin0表示以（

6、令圓心，半徑為1的圓，故選D.4在極坐標(biāo)系中，直線唯方程為9sin*3,則點(diǎn)（2,劄直線伯勺距離 為2 解析：sin 0=3, /.它的直角坐標(biāo)方程為尸3 又點(diǎn)8?）的直角 坐標(biāo)為（餡，1），由點(diǎn)到直線的距離公式得d=134=2,故答案為2.-13-必備知識(shí)預(yù)案自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破考點(diǎn)自診5.(2018全國1,文22)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的方程為y=kx+2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)丸軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為/?2+2pcos 0-3=0.(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若G與有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求G的方程.解 由X=QCOS 6, y=psm0得C?的直角坐標(biāo)方程為(八

7、+l)2+y2=4.由知C2是圓心為A(-l,0),半徑為2的圓.由題設(shè)知,G是過點(diǎn)3(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線.記y軸右邊 的 射線為心軸左邊的射線為4由于在圓C?的外面，故Ci與C?有且 僅有 三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于么與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且2與C2有兩個(gè)公共 點(diǎn), 或小與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且么與C2有兩個(gè)公共點(diǎn).必備知識(shí)預(yù)案自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破考點(diǎn)自診當(dāng)h與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)4到Zi所在直線的距離為2,所以 4 分=2,故身或比二0經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)Ji與C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)E3 3 時(shí)1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)., 當(dāng)與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)4到所在直線的距離為2,所以-故4=

8、0或經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)Ji與C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)月 一 時(shí)血與C2沒有公共點(diǎn).綜上，所求Ci的方程為尸以“2-#-必備知識(shí)預(yù)案自診I關(guān)犍能力學(xué)案突破考點(diǎn)1參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程間的互化例八(2016全國1,文23)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C】的參數(shù)方程為； =(/為參數(shù),a>0).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：/)=4cos a(1)說明G是哪一種曲線，并將G的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為掃他，其中他滿足伽他二2,若曲線G與C? 的公共點(diǎn)都在C3上，求-15-必備知識(shí)預(yù)案自診I關(guān)鍵能力,學(xué)案突破考點(diǎn)1解消去參數(shù)r得至U G的普通方程以+少1 ) 2二

9、0心是以(0,1)為圓心心為半徑的圓.x=pcos 3, y=psin &代入C的普通方程中，得到C的極坐標(biāo)方 程為 p2-2psin O+1-a =0.2(2)曲線GC的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組pPpsinO+7-=0,p =4cos0若/)盤0,由方程組得16cos2A-8sin Ocos0+1 -a=0,由已知 tan &二 2,可得 16cos2八-8sin Ocos 0 二 0,從而二0,解得a二 1 (舍去)©二1.-#-當(dāng)“二1時(shí)，極點(diǎn)也為CbC2的公共點(diǎn)，在C3上，所以d二1.考點(diǎn)1解題心得1無論是參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程，還是極坐標(biāo)方程化 為參數(shù)方程，

10、都要先化為直角坐標(biāo)方程，再由直角坐標(biāo)方程化為需 要的方程.2.將參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的過程就是消去參數(shù)的過程，常 用的消參方法有代入消參、加減消參和三角恒等式消參等,往往需 要對參數(shù)方程進(jìn)行變形，為消去參數(shù)創(chuàng)造條件.-17-必備知識(shí)預(yù)案自診I關(guān)犍能力學(xué)案突破考點(diǎn)1對點(diǎn)訓(xùn)練1(2019屆廣東六校第一次聯(lián)考,22)在平面直角坐標(biāo)系中，將 曲線G向左平移2個(gè)單位，再將得到的曲線上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐 標(biāo)保持 不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的，得到曲線以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)丸軸的正半 軸為極軸，建立極坐標(biāo)系,C 的極坐標(biāo)方程為p=4cos(1)求曲線C2的參數(shù)方程；(2)已知點(diǎn)M在第一象限，四邊形腕也是曲線的內(nèi)接

11、矩形，求內(nèi)接矩 形周長的最大值，并求周長最大時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).T7-關(guān)鍵能力學(xué)案突破、考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5解（1）由 p=4cos a 得 p2=4pcosa.將.以+代代入，Vpcosa - %,_ , 整理得曲線Ci的普通方程為（x-由題可知坐標(biāo)變換為X2, 2） 2?=4,設(shè)曲線Ci上的點(diǎn)為（玖1 1 y二尹，代入曲線Ci的普通方時(shí),變換后的點(diǎn)為（知）.程，整理得y2曲線C2的普通方程為丹2丸 即v = 2y:曲線C2的參數(shù)方程為 某崎為參數(shù)）考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5設(shè)四邊形 仞儼。的周長為公設(shè)點(diǎn)M(2cos Asin 6»)(0<6><A), Z

12、=8cos&+4sin &二 4 岳(南午 os 0+A : sin &)=4VAsin(&+0), 1 2且 cosO iWj, smO 一 局，求距離的最值例2 （2017全國1,文22）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為, ：舄為參數(shù)），直線/的參數(shù)方程為; = 4f，（?為參 數(shù)）若求C與1的交點(diǎn)坐標(biāo)；若。上的點(diǎn)到了的距離的最大值為VI7求a.考點(diǎn)1 考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5y2解曲線C的普通方程為呂+尸二，當(dāng)a=-1時(shí)，直線/的普通方 程為 x+4y-3=0.21 %=-25924x+ 4y-3 = 0, 憶?解得(2)直線/的普通方程為x+4y

13、 4=0,故C上的點(diǎn)(3cos <9,sin 0)到/的 距離為二更管心.當(dāng)時(shí)。的最大值為需.由題設(shè)得酹二VIZ所以*8;當(dāng)時(shí)0的最大值為需.由題設(shè)得需二VTZ所以a=-16.綜上皿二8 或 a=-16-必備知識(shí)預(yù)案自診I關(guān)鍵能力,學(xué)案突破-#-考點(diǎn)2解題心得1 求點(diǎn)到直線距離的最大值，一般利用曲線的參數(shù)方程 及 點(diǎn)到直線的距離公式把距離最值轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最大值.2 求三角形面積最值時(shí)，若其中一邊的長為定值，三角形面積最值 可轉(zhuǎn)化為距離最值.必備知識(shí)預(yù)案自診I關(guān)鍵能力學(xué)菜突破-23-考點(diǎn)2對點(diǎn)訓(xùn)練2（2018廣東東莞考前沖刺,22）在平面直角坐標(biāo)系中，圓C 的參數(shù)方程為：二2sinfo

14、sa,（ct為參數(shù)）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)仇 軸的正半 軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線I的極坐標(biāo)方程為psin。）-止1 2-（1）求圓C的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線/與圓C交于40兩點(diǎn)，M是圓C上不同于40兩點(diǎn) 的動(dòng) 點(diǎn)，求加仿面積的最大值.-24 -關(guān)鍵能力學(xué)案突破、考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5解 圓C的普通方程為(x-l)2+y2=4,直線/的方程可化為psin& pcos a=a/2- 1,即直線/的直角坐標(biāo)方程為x-y+V2-l=0.(2)圓心C到/的距離為民竺押=1,所以 IABI =2/4-1-1=273,又因?yàn)閳AC上的點(diǎn)到直線/的距離的最大值為r+J=2+l=

15、3,所以(SAM4B)max 今 x |題 x3 =Ix2a/3 x3 = 3a/3,即aMAB面積的最大值為3V3.考點(diǎn)3求平面圖形面積的最值例3 （2017全國2,文22）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)丸軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為夕cos0=4.（1） M為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上,且滿足|的8| 二16,求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為（2,善），點(diǎn)B在曲線上，求ZSOAB面積的最 大 值.必備知識(shí)預(yù)案自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破-27-考點(diǎn)3解 設(shè)P的極坐標(biāo)為s , &)s>o),M的極坐標(biāo)為sj ) (Q>0)-由 題

16、設(shè)知 OP=p, OM=pi=.由IOMI IOPI = 16得C2的極坐標(biāo)方程p=4cos &(/?>0) 因此C2的直角坐標(biāo)方程為02)2+尸=4(君0)設(shè)點(diǎn)8的極坐標(biāo)為血皿)血>0)由題設(shè)知IOAI二2妙二4cos a ,于是OAB面積S=-0A-ps" 7ZA0B 二 4cos Sn(弓乙=2lsin(2a-y)-yl<2+V3.當(dāng)十二時(shí),S取得最大值2+V3.所以Q4B面積的最大值為2+V3.必備知識(shí)預(yù)案自診關(guān)犍能力學(xué)案突破必備知識(shí)預(yù)案自診I關(guān)鍵能力學(xué)菜突破27解題心得1 對于極坐標(biāo)和參數(shù)方程的問題,既可以通過極坐標(biāo)和 參數(shù)方程來解決，也可以通過直

17、角坐標(biāo)解決，但大多數(shù)情況下，把 極 坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)問題，把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程更有 利 于在一個(gè)熟悉的環(huán)境下解決問題這樣可以減少由于對極坐標(biāo)和 參數(shù)方程理解不到位造成的錯(cuò)誤.2 解決與夾角有關(guān)的問題（如三角形面積），有時(shí)利用極坐標(biāo)更 方便.考點(diǎn)3對點(diǎn)訓(xùn)練3在直角坐標(biāo)系兀Oy中，直線C“=2圓C2 : (r 1)2+© 2)2=1,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)丸軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求Cl , C2的極坐標(biāo)方程；若直線C3的極坐標(biāo)方程為(peR),設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為MJ求 ZkCzM”的面積.解(1)因?yàn)?x=pcos 0. y=psin 0,所以Ci的極坐標(biāo)方程為pco

18、s 0=2,C2的極坐標(biāo)方程為p2-2pcos 6»-4psin 0+4=0.將 0 二牛代入 p2-2pcos 0-4psin &+4 二 0,得 p2-3V2p+4=0,解 得 p 二2邁,p2二返故 p-p2=y/2, MN = a/2.-31-因?yàn)镃2的半徑為1,所以“咖的面積為扎考點(diǎn)42_1_/-(X = -2 +111.7, %為參求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程例4（2017全國3,文22）在直角坐標(biāo)系x分中，直線川的參數(shù)方程為（：數(shù)）設(shè)Zi與方的交點(diǎn)為P,當(dāng)A變化時(shí)的軌跡為曲線C.數(shù)），直線h的參數(shù)方程為m （m為參”（y = t寫出C的普通方程；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，兀軸

19、正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)z3 : p(cos O+sin gUM為L與C的交點(diǎn)，求的極徑關(guān)鍵能力學(xué)案突破、考點(diǎn)4-29 -解 消去參數(shù)方得力的普通方程川：y=k(x-2) 消去參數(shù)加得Z2 的普通方程?2 : T=扣+2).(y =fc(x-2),設(shè)弘必由題設(shè)得r一小(y =、+ 2).消去k得戈一二4。八0).所以C的普通方程為-=4(y0). (2)C的極坐標(biāo)方程為p2(cos20- sin20)=4(0v0v2 兀毋兀).聯(lián)立 W2(cos2 0-sin2 0) = 4,lp(cos0 + sinO)-V2 = 0,得 cos &-sin 0=2(cos &+sin

20、&) 1Q1故 tan &二號(hào)從而 cos2/9=一sin2(9=一.代入 p2(cos2A-sin2A)=4 得 p=5, 所以交點(diǎn)M的極徑為岳.考點(diǎn)4解題心得在求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程時(shí)，如果題目有明確要求，求軌跡的 參數(shù)方程或求軌跡的極坐標(biāo)方程或求軌跡的直角坐標(biāo)方程,那么就 按要求做;如果沒有明確的要求，那么三種形式的方程寫出哪種都 可，哪種形式的容易求就寫哪種.-#-必備知識(shí)預(yù)案自診關(guān)鍵能力學(xué)案突破考點(diǎn)4對點(diǎn)訓(xùn)練4（2018全國3,文22）在平面直角坐標(biāo)系xOy中QO的 參數(shù)方程為點(diǎn)-；篇（。為參數(shù)），過點(diǎn)Q-V2）且傾斜角為a的直線/ 與oo交于A0兩點(diǎn).（1）求Q的取值范圍；

21、（2）求中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程.必備知識(shí),預(yù)案自診|關(guān)鍵能力,學(xué)案突破考點(diǎn)4解（1） 00的直角坐標(biāo)方程為4+六L當(dāng)二寸時(shí)J與00交于兩點(diǎn).當(dāng)佑可時(shí)，記tan 則/的方程為y=kx-y/2,/與oo交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)L旦VI ,解得AG7或£>1 ,即 （討）或綜上,a的取值范圍是必備知識(shí)預(yù)案自診I關(guān)犍能力學(xué)案突破考點(diǎn)1 考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4考點(diǎn)5(2”的參數(shù)方程為；二舅為參數(shù)知令設(shè)4用尸對應(yīng)的參數(shù)分別為tAf密 切則 環(huán)火且以m滿足f2-2V2fsin a+i=于是 tA+tB=2y/2sin a/p=V2sin a.（% = tpcosa, y =-V2+ tpsina.又點(diǎn)尸

22、的坐標(biāo)（羽y）滿足（V2.o所以點(diǎn)夕的軌跡的參數(shù)方程是sin2a, V2 V2 qcos2a(a為參數(shù)考點(diǎn)5直線參數(shù)方程的應(yīng)用(X = 2+斗匚例5在直角坐標(biāo)系攻中，直線/的參數(shù)方程為 站(r廠丁為參數(shù))，若以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。為極點(diǎn)丸軸的正半軸為極軸建 立 極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為psin26>-4cos 0=0.(1)求直線/的普通方程與曲線。的直角坐標(biāo)方程；11(2)已知直線/與曲線C交于46兩點(diǎn)，設(shè)M(2,0),求T :的值.考點(diǎn)540解題心得過定點(diǎn)M(xojo),傾斜角為a的直線/的參數(shù)方程為£二：舅%為參數(shù))此時(shí)力具有幾何意義，代表定點(diǎn)到一動(dòng)點(diǎn)之間 忒距禺但

23、是需要注意有正負(fù)之分.必備知識(shí)預(yù)案自診I關(guān)鍵能力學(xué)案突破-41 -考點(diǎn)5對點(diǎn)訓(xùn)練5(2018山東日照5月聯(lián)考，22)在平面直角坐標(biāo)系兀Oy 中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)丸軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線 。的極坐標(biāo)方程為“4cos(&W),直線/過點(diǎn)P(0<a/3)且傾斜角為#(1)求曲線。的直角坐標(biāo)方程和直線/的參數(shù)方程；(2)設(shè)直線/與曲線C交于4夕兩點(diǎn)，求IPAI + IPB陰值.38-關(guān)鍵能力學(xué)案突破、考點(diǎn)5解(1)曲線 C:p 二 4cos(&f 所以 p=4cos &cos l+4sin (9sinl, Jp)t 以 p2=2pcos A+2V3/)si

24、n flip2V3y,得曲線 C 的直角坐標(biāo)方程為(x-l)2+(y-V3)2=4, x 直線I的參數(shù)方程為/o (r為參數(shù)).人人y =+ tx =將 2比（/為參數(shù)）代入圓的方程，y = -V3 + yt得（|門） 2+ （分2輪）2=4,整理得幾7/+9二0,得門+/2=7力口2=9,所以 /1>0 血0 所以 IPAI + IPBI 二 fi+血二 7.要點(diǎn)歸納小結(jié)1 .在對坐標(biāo)系與參數(shù)方程的考查中，最能體現(xiàn)坐標(biāo)法的解題優(yōu)勢，靈 活 地利用坐標(biāo)法可以使問題得到簡捷的解答.例如，將題設(shè)條件中涉及的 極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程等價(jià)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后在直角坐標(biāo)系下 對問題進(jìn)行求解就是一種常見的解題方法，對應(yīng)數(shù)學(xué)問題求解的“