第一章隨機過程

1、77第一章 隨機過程第一章 隨機過程本章主要內(nèi)容：隨機過程的基本概念 隨機過程的數(shù)字特征 隨機過程的微分和積分計算 隨機過程的平穩(wěn)性和遍歷性 隨機過程的相關(guān)函數(shù)及其性質(zhì) 復(fù)隨機過程 正態(tài)分布的隨機過程第一章我們介紹了隨機變量，隨機變量是一個與時間無關(guān)的量，隨機變量的某個結(jié)果，是一個確定的數(shù)值。例如，骰子的6面，點數(shù)總是16，假設(shè)A面點數(shù)為1，那么無論你何時投擲成A面，它的點數(shù)都是1，不會出現(xiàn)其它的結(jié)果，即結(jié)果具有同一性。但生活中，許多參量是隨時間變化的，如測量接收機的電壓，它是一個隨時間變化的曲線；又如頻率源的輸出頻率，它隨溫度變化，所以有個頻率穩(wěn)定度的范圍的概念（即偏離標稱頻率的最大范圍）。

2、這些隨時間變化的隨機變量就稱為隨機過程。顯然，隨機過程是由隨機變量構(gòu)成，又與時間相關(guān)。1.1 隨機過程的基本概念及統(tǒng)計特性1.1.1 隨機過程的定義現(xiàn)在我們進一步論述隨機過程的概念。當對接收機的噪聲電壓作“單次”觀察時，可以得到波形，也可能得到波形，等等，每次觀測的波形的具體形狀，雖然事先不知道，但肯定為所有可能的波形中的一個。而這些所有可能的波形集合，.，就構(gòu)成了隨機過程。圖1.1 噪聲電壓的起伏波形1 樣本函數(shù)：，都是時間的函數(shù)，稱為樣本函數(shù)。2 隨機性：一次試驗，隨機過程必取一個樣本函數(shù)，但所取的樣本函數(shù)帶有隨機性。因此，隨機過程不僅是時間t 的函數(shù)，還是可能結(jié)果的函數(shù)，記為，簡寫成。3

3、 隨機過程的定義： 定義1把隨機過程看成一族樣本函數(shù)。4 定義的理解上面兩種隨機過程的定義，從兩個角度描述了隨機過程。具體的說，作觀測時，常用定義1，這樣通過觀測的試驗樣本來得到隨機過程的統(tǒng)計特性；對隨機過程作理論分析時，常用定義2，這樣可以把隨機過程看成為n 維隨機變量，n越大，采樣時間越小，所得到的統(tǒng)計特性越準確。因此，可從以下4個方面對定義進行理解。 1.1.2 隨機過程的分類隨機過程的分類方法有多種，可以按是否連續(xù)來分類，也可以按樣本函數(shù)的形式來分類，還可以按概率分布的特性來分類。1、 按隨機過程的時間和狀態(tài)來分類 連續(xù)型隨機過程：對隨機過程任一時刻t1的取值都是連續(xù)型隨機變量。 離散

4、型隨機過程：對隨機過程任一時刻t1的取值都是離散型隨機變量。 連續(xù)隨機序列：隨機過程的時間t只能取某些時刻，如，2，.，n，且這時得到的隨機變量是連續(xù)型隨機變量，即時間是離散的。相當于對連續(xù)型隨機過程的采樣。 離散隨機序列：隨機過程的時間t只能取某些時刻，如，2，.，n，且這時得到的隨機變量是離散型隨機變量，即時間和狀態(tài)都離散。相當于采樣后再量化。2、 按樣本函數(shù)的形式來分類 不確定的隨機過程：隨機過程的任意樣本函數(shù)的值不能被預(yù)測。例如接收機噪聲電壓波形。 確定的隨機過程。隨機過程的任意樣本函數(shù)的值能被預(yù)測。例如，樣本函數(shù)為正弦信號。3、 按概率分布的特性來分類這是一種更為本質(zhì)的分類方法，可分

5、為：平穩(wěn)隨機過程，正態(tài)隨機過程，馬爾可夫過程，獨立增量過程，獨立隨機過程和瑞利隨機過程等等。1.1.3 隨機過程的概率分布前面說過，用定義2分析隨機過程方便，也就是說，把隨機過程看成n維隨機變量的集合（n趨向無窮，且相當小）。這樣，就把多維隨機變量的研究代替隨機過程的研究，這樣的代替足夠精細。1、一維概率分布定義：由于t1是任一時刻，因此，常把簡寫成。如果的偏倒數(shù)存在，則：為隨機過程的一維概率密度函數(shù)。注意：在此定義中，首先固定了時間t，這樣就得到了t時刻的隨機變量（t可以是任意時刻），這種分析方法后面經(jīng)常用到。顯然，隨機過程的一維概率密度是時間t的函數(shù)，其性質(zhì)與一維隨機變量的性質(zhì)一樣。2、二

6、維概率分布隨機過程的二維概率分布反映了隨機過程X(t)任意兩個時刻狀態(tài)之間的聯(lián)系。通過求邊沿分布可以分別求出兩個一維邊沿分布和。 3、 n維概率分布同理，它具有多維隨機變量的性質(zhì)。 1.1.4 隨機過程的數(shù)字特征 隨機變量的數(shù)字特征通常是確定值；隨機過程的數(shù)字特征通常是確定性函數(shù)，因此，對隨機過程的數(shù)字特征可以采用“信號與系統(tǒng)”中學(xué)習的各種對確定性信號的處理方法。對隨機過程的數(shù)字特征的計算方法，是先把時間t固定，然后用隨機變量的分析方法來計算（這時隨機過程可以理解為：為隨機變量（t為任意時刻）1、數(shù)學(xué)期望 圖1.2 隨機過程的數(shù)學(xué)期望物理意義：如果隨機過程表示接收機的輸出電壓，那么它的數(shù)學(xué)期望

7、就是輸出電壓的瞬時統(tǒng)計平均值。2、 均方值和方差定義：隨機過程在任一時刻t的取值是一個隨機變量。我們把二階原點矩稱為隨機過程的均方值，把二階中心矩記作隨機過程的方差。即：注意：和都是確定性函數(shù)，描述了隨機過程偏離其數(shù)學(xué)期望的程度。比較方差與均方值的關(guān)系，顯然有：物理意義：如果表示噪聲電壓，則均方值和方差分別表示消耗在單位電阻上的瞬時功率統(tǒng)計平均值和瞬時交流功率統(tǒng)計平均值。標準差或均方差：3、 自相關(guān)函數(shù)先比較具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的兩個隨機過程。 圖1.3 具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的兩個不同的隨機過程定義：自相關(guān)函數(shù)用來描述隨機過程任意兩個時刻的狀態(tài)之間的內(nèi)在聯(lián)系，通常用描述。 當t1=t2時，

8、自相關(guān)函數(shù)就是均方值。a) 自協(xié)方差函數(shù)若用隨機過程的兩個不同時刻之間的二階混合中心矩來定義相關(guān)函數(shù)，我們稱之為自協(xié)方差。用表示，它反映了任意兩個時刻的起伏值之間相關(guān)程度。b) 比較自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系c) 比較自協(xié)方差和方差的關(guān)系4、 隨機過程的特征函數(shù)a) 一維特征函數(shù)隨機過程在任一特定時刻t的取值是一維隨機變量，其特征函數(shù)為: 其反變換為： 這里，為隨機過程的一維概率密度。b) 二維特征函數(shù)c) n維特征函數(shù)1.2 時間連續(xù)隨機過程微分和積分隨機過程的微分和積分運算類似于一般的函數(shù)的微積分運算，但由于涉及極限和收斂問題，因而略有不同。1.2.1隨機過程的連續(xù)型1、 預(yù)備知識：對于確

9、定性函數(shù)，若，則在處連續(xù)。2、 隨機過程連續(xù)性定義3、 隨機過程的相關(guān)函數(shù)連續(xù)，則連續(xù)4、 隨機過程均方連續(xù)，則其數(shù)學(xué)期望連續(xù)由均方連續(xù)的定義，則不等式左端趨于0，那么不等式的右端也必趨于0（均值的平方不可能小于0）。即：注意為確定性函數(shù)，由預(yù)備知識，可知連續(xù)。1.2.2 隨機過程的導(dǎo)數(shù)預(yù)備知識：對于一般確定性函數(shù)，高等數(shù)學(xué)給出的可導(dǎo)定義如下：一階可導(dǎo)：如果存在，則在t處可導(dǎo)，記為。二階可導(dǎo)：存在，則二階可導(dǎo)，記為1、 隨機過程可導(dǎo)的定義2、 判別方法由于上面的是未知的，判斷一個隨機過程是否均方可微的方法是采用柯西準則。即下面式子成立，則隨機過程均方可微（書上證明中t的下標有錯）。 證明：注意

10、上式右端已經(jīng)不含有隨機變量，由預(yù)備知識中的確定性函數(shù)可導(dǎo)定義，3、 數(shù)字特征（1） 隨機過程導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于其數(shù)學(xué)期望的導(dǎo)數(shù)證明： 交換極限和數(shù)學(xué)期望順序，得 由確定性函數(shù)可導(dǎo)定義得 （2） 隨機過程導(dǎo)數(shù)的相關(guān)函數(shù)等于可微隨機過程的相關(guān)函數(shù)的混合偏導(dǎo)數(shù)即：證明： （由確定性函數(shù)二階可導(dǎo)定義）1.2.3 隨機過程的積分1、預(yù)備知識對于確定性函數(shù)，其中， 2、 隨機過程積分的定義若過程。3、 隨機過程積分的數(shù)學(xué)期望等于隨機過程數(shù)學(xué)期望的積分。即： （注意Y為隨機變量） a) 隨機過程積分的均方值和方差隨機過程積分的均方值等于隨機過程自相關(guān)函數(shù)的二重積分；其方差為隨機過程協(xié)方差的二重積分。過程的積

11、分的平方可以寫成二重定積分的形式： b) 隨機過程積分的相關(guān)函數(shù)：等于對隨機過程的相關(guān)函數(shù)作兩次變上限積分（現(xiàn)對t1,后對t2積分）注意，此處定義的積分是變上限的，與前面的不同，因此是隨機過程。1.3 平穩(wěn)隨 機過程和遍歷性過程在通信中，常常把穩(wěn)定狀態(tài)下的隨機過程，當作平穩(wěn)隨機過程來處理，這樣，對這個隨機過程任何時候來測量，都會得到同樣的結(jié)果，從而大大簡化了數(shù)學(xué)模型。對一些非平穩(wěn)的隨機過程，在較短的時間內(nèi)，常常把它作為平穩(wěn)隨機過程來處理。然而，對于一個平穩(wěn)過程，計算其一階和二階統(tǒng)計特性是很困難的，而計算其一定時間內(nèi)的算術(shù)平均值相對容易。如果其統(tǒng)計特性與算術(shù)平均特性在概率意義下相等，我們稱之為遍

12、歷性，也叫各態(tài)歷經(jīng)性。1.3.1平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程可以分為嚴平穩(wěn)隨機過程和寬平穩(wěn)隨機過程兩種。1、 嚴平穩(wěn)隨機過程（俠義平穩(wěn)過程）（1）定義設(shè)有隨機過程，若它的n（2）特點（3）嚴平穩(wěn)隨機過程的數(shù)字特征因為： 與時間無關(guān)。解：由嚴平穩(wěn)定義，對二維概率密度，（4）嚴平穩(wěn)的判斷按照嚴平穩(wěn)的定義，判斷一個隨機過程是否為嚴平穩(wěn)，需要知道其n維概率密度，可是求n維概率密度是比較困難的。不過，如果有一個反例，就可以判斷某隨機過程不是嚴平穩(wěn)的，具體方法有兩個：i. 若為嚴平穩(wěn)，k為任意正整數(shù)，則與時間t無關(guān)。ii. 若為嚴平穩(wěn)，則對于任一時刻t0，具有相同的統(tǒng)計特性。用隨機過程的3階矩與t有關(guān)來判斷不

13、是嚴平穩(wěn)，此時也可采用方法是：分別令t=0，t=，帶入，得兩個隨機變量A和B，因為它們的概率密度不同，一般來說（例題假設(shè)兩者均值和方差相等），因此不是嚴平穩(wěn)的。2、 寬平穩(wěn)隨機過程（廣義平穩(wěn)過程，平穩(wěn)過程）由求n維概率密度比較困難，有時只用到一、二階矩，例如功率（均方值和方差）和功率譜密度（自相關(guān)函數(shù)），因此，平穩(wěn)性的定義不需要那么嚴格。 嚴平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系：嚴平穩(wěn)過程的均方值有界，則此過程為寬平穩(wěn)的，反之不成立。對于正態(tài)過程，嚴平穩(wěn)與寬平穩(wěn)等價。由寬平穩(wěn)的三個條件可知，此為（寬）平穩(wěn)過程。3、平穩(wěn)隨機過程的性質(zhì)性質(zhì)1：指平穩(wěn)隨機過程的平均功率。性質(zhì)2：，平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)（協(xié)方差）為偶函

14、數(shù)。性質(zhì)3：，平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)（協(xié)方差）在時有最大值。性質(zhì)4：對周期性平穩(wěn)過程，X(t)=X(t+T)，T為周期，有。性質(zhì)5：若平穩(wěn)過程含有一個周期分量，則含有同一個周期分量。（證略）性質(zhì)6：若平穩(wěn)隨機過程不含有任何周期分量，則，性質(zhì)7：若平穩(wěn)過程含有平均分量（均值），則相關(guān)函數(shù)也含有平均分量，且等于。即；若是非周期的，則。性質(zhì)8：平穩(wěn)隨機過程必須滿足對所有均成立。自相關(guān)函數(shù)的付氏變換非負，這要求相關(guān)函數(shù)連續(xù)（平頂，垂直邊均是非連續(xù)）。相關(guān)函數(shù)（協(xié)方差）的典型曲線如下： 圖1.4 相關(guān)函數(shù)的典型曲線性質(zhì)9：平穩(wěn)過程的相關(guān)系數(shù)和相關(guān)時間a)相關(guān)系數(shù)：定義：稱為隨機過程X(t)的相關(guān)系數(shù)。顯然

15、，此值在1，1之間。表示不相關(guān)，表示完全相關(guān)。表示正相關(guān)，表明兩個不同時刻起伏值（隨機變量均值）之間符號相同可能性大。b)相關(guān)時間定義：當相關(guān)系數(shù)中的時間間隔大于某個值，可以認為兩個不同時刻起伏值不相關(guān)了，這個時間就稱為相關(guān)時間。通常把相關(guān)系數(shù)的絕對值小于0.05的時間間隔，記做相關(guān)時間，即：時的時間間隔為相關(guān)時間。圖1.5 相關(guān)時間（或）的定義相關(guān)時間的物理意義： ()1.3.2遍歷性或各態(tài)歷經(jīng)性隨機過程時一族樣本函數(shù)的集合，因此，要得到隨機過程的統(tǒng)計特性，就需要對大量的樣本函數(shù)進行統(tǒng)計平均或綜合平均，很不方便。由于平穩(wěn)隨機過程與時間起點無關(guān)，對一個樣本函數(shù)進行時間平均是否能得到概率意義下的

16、統(tǒng)計平均呢？答案是肯定的這樣的隨機過程稱為遍歷過程或各態(tài)歷經(jīng)過程。這樣，由任一樣本函數(shù)就可以得到隨機過程的統(tǒng)計特性。1、遍歷性過程的定義a）其中：2、 遍歷過程的實際應(yīng)用一般隨機過程的時間平均是隨機變量，但遍歷過程的時間平均為確定量，因此可用任一樣本函數(shù)的時間平均代替整個過程的統(tǒng)計平均，在實際工作中，時間T不可能無限長，只要足夠長即可。遍歷過程的物理意義： 若遍歷過程代表是噪聲電壓，則均值就是它的直流分量，令，則有：顯然，代表電壓消耗在單位阻抗上的總平均功率。而代表電壓消耗在單位阻抗上的交流平均功率，標準差代表電壓的有效值。a) 遍歷過程和平穩(wěn)過程的關(guān)系遍歷過程必須是平穩(wěn)的，而平穩(wěn)過程不一定是

17、遍歷的。（遍歷必定平穩(wěn)由遍歷定義即可知）解：先證明平穩(wěn)性，再證明不是遍歷過程。b) 遍歷過程的兩個判別定理（）均值遍歷判別定理證明：對一般平穩(wěn)隨機過程（不一定遍歷）來說，（即）是一個隨機變量，它有均值和方差。（注意為平穩(wěn)過程） 交換積分和數(shù)學(xué)期望順序設(shè)，則，所以：則 （注意） （1）因為 DX=0的充要條件是，（方差性質(zhì)）所以 的充要條件是，即均值遍歷。帶入（1）式，0的充要條件為X(t)的均值遍歷。（）自相關(guān)函數(shù)遍歷判別定理 平穩(wěn)隨機過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性的充要條件是： （由均值遍歷的充要條件引申證明：令），注意：判斷一個平穩(wěn)過程是否遍歷的，我們總是先假設(shè)其是遍歷的，然后看是否滿

18、足定義要求（即時間平均以概率1等于統(tǒng)計平均），一般不用兩個判別定理?！纠?】 判斷此隨機過程的遍歷性。解：已經(jīng)計算出均值為0，相關(guān)函數(shù)，現(xiàn)在計算時間平均：顯然：所以，X(t)具有遍歷性。1.4聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程 前面討論了單個隨機過程的統(tǒng)計特性，在實際工作中，常常需要討論兩個或兩個以上隨機過程的情況，例如接收機的輸入為“信號噪聲”。1.4.1兩個隨機過程的聯(lián)合概率分布1、 分布函數(shù)2、 二維嚴平穩(wěn)3、 定義(注意兩個隨機過程的順序不能互換) 4、 正交5、 不相關(guān)推論：(1)如果兩個隨機過程相互獨立，且他們的二階矩都存在，則必互不相關(guān)。 (2)正態(tài)過程的不相關(guān)與相互獨立等價。6、 聯(lián)合寬平穩(wěn)兩個

19、隨機過程，如果：（1）分別寬平穩(wěn)（2）互相關(guān)函數(shù)僅為時間差的函數(shù)，與時間t 無關(guān)，即7、聯(lián)合寬平穩(wěn)的性質(zhì) 證明：按定義即可證明，說明互相關(guān)函數(shù)既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)。圖1.6 互相關(guān)函數(shù)的影像關(guān)系證明：由于 ，為任意實數(shù) 展開得：，這是關(guān)于的二階方程，注意，要使上式恒成立，即方程無解或只有同根，則方程的系數(shù)應(yīng)該滿足，所以有：所以 ，同理， 證明：由性質(zhì)（2），得注意到，因此 （任何正數(shù)的幾何平均小于算術(shù)平均）（5） 遍歷性（6）線性性雖然已知X(t)和Y(t)分別平穩(wěn)，但互相關(guān)函數(shù)與t有關(guān)，所以不是聯(lián)合平穩(wěn)的。 同樣，互相關(guān)函數(shù)與t有關(guān)，所以不是聯(lián)合平穩(wěn)的。1.5 復(fù)隨機過程前面我們分析了

20、實隨機過程，在現(xiàn)實世界上我們遇到的都是實隨機過程，但在某些情況下，用復(fù)隨機過程來分析問題較為方便。復(fù)隨機過程的統(tǒng)計特性的分析與實隨機過程類似。1.5.1復(fù)隨機變量1、 定義 2、 分布函數(shù)，即由X,Y的聯(lián)合概率分布描述。3、 數(shù)學(xué)期望 4、 方差 這里| |表示取模（與實過程不同），為復(fù)隨機過程與它的復(fù)共軛相乘， “*”表示復(fù)共軛，顯然，復(fù)隨機過程的方差是非負實數(shù)，且等于實部和虛部的方差和。5、 獨立與相關(guān)這里：1.5.2復(fù)隨機過程1、 概率密度函數(shù)復(fù)隨機過程Z(t)的統(tǒng)計特性由X (t)和Y(t)的2n維聯(lián)合概率分布描述，其概率密度為：2、 均值3、 方差 4、 相關(guān)函數(shù)自協(xié)方差為：5、 平

21、穩(wěn)性6、 互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)7、 聯(lián)合平穩(wěn)8、 相關(guān)和正交小結(jié)：求復(fù)隨機過程的數(shù)字特征時要注意，其均值為復(fù)數(shù)，方差等二階矩為非負實數(shù)，因此，求其二階矩時（包括方差，相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差）采用一個復(fù)隨機過程與其共軛相乘，再求數(shù)學(xué)期望的方法，其它性質(zhì)和特性與實隨機過程類似。1.6 離散時間隨機過程 離散時間隨機過程的公式概念很多，但均可以從連續(xù)隨機過程類推出來，一般不要死記公式。離散時間隨機過程的定義前面談到過隨機過程的分類，隨機過程可以分為連續(xù)型隨機過程、離散型隨機過程、連續(xù)隨機序列和離散隨機序列四種，其中，后兩種統(tǒng)稱為離散時間隨機過程，它們是對連續(xù)隨機過程以等間隔時間采樣得到的，即采樣時間是

22、離散的。 1.6.1離散時間隨機過程的概率分布離散時間的隨機過程的概率分布用隨機變量序列的概率分布來描述。1、 一維情況2、 二維情況3、 n維情況4、 相互獨立5、 嚴平穩(wěn)推論：（1） 平穩(wěn)離散隨機過程的一維概率密度與時間無關(guān)，即（2） 平穩(wěn)離散隨機過程的二維分布函數(shù)與時間差有關(guān)，即6、 聯(lián)合分布 定義 統(tǒng)計獨立 嚴平穩(wěn)1.6.2 數(shù)字特征1 均值 若為單值函數(shù)，則 均值的性質(zhì)：2 線性獨立和統(tǒng)計獨立若，若，線性獨立的含義是隨機序列Xn和Ym中的任意兩個隨機變量都互不相關(guān)。推論：統(tǒng)計獨立一定線性獨立，反之不一定。3 均方值和方差顯然有：4 自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)，也可寫成5 互相關(guān)函數(shù)和互

23、協(xié)方差互相關(guān)函數(shù)描述兩個不同的隨機過程之間依賴性的一個量度，即6 平穩(wěn)性 若離散時間隨機過程平穩(wěn)，則其均值、均方值和方差與n無關(guān)，為常數(shù)，即： 若離散時間隨機過程平穩(wěn)，則自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差只與時間差有關(guān)，即 判別平穩(wěn)性（寬平穩(wěn)）的方法7 聯(lián)合平穩(wěn)（前提是兩個隨機過程各自平穩(wěn)）1.6.3 遍歷性1、遍歷性的定義 嚴遍歷： 寬遍歷： 設(shè)是一個平穩(wěn)隨機序列，若含義：對于遍歷序列，其時間均值和時間自相關(guān)（m固定）均為確定量（非隨機量），幾乎所有可能的取樣序列的時間平均量都是相同的，因此，遍歷序列的時間平均可以用任一序列的時間平均來表示，也即可以用遍歷序列的任一取樣序列的時間平均代替對整個序列求統(tǒng)計平均

24、。對隨機序列的遍歷性的判斷，先假設(shè)其遍歷，看其時間平均是否幾乎處處等于統(tǒng)計平均即可。所以有：（下面的表示任意一個樣本序列）實際上一般不求極限，工程上使用它們的估計量，只要N足夠大即可：1 計算機仿真 采用的仿真工具一般為MATLAB語言。在通信中常常需要計算接收機接收端輸入的信噪比（信號功率/噪聲功率）。如果隨機序列是遍歷的，只要對計算機模擬產(chǎn)生的任意一條信號和噪聲的樣本序列中每個樣點值的平方求時間平均，就可以分別得到信號和噪聲的平均功率（估計的統(tǒng)計值），從而求出信噪比。2 平穩(wěn)離散隨機過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)離散隨機過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)與連續(xù)平穩(wěn)隨機過程的性質(zhì)類似，此處只給出相應(yīng)的結(jié)論。性質(zhì)7相

25、關(guān)系數(shù) 顯然，；同理，互相關(guān)系數(shù)為：1.7 正態(tài)隨機過程 正態(tài)分布的隨機過程（也叫高斯過程）是實際工作中最常遇到的隨機過程，中心極限定理告訴我們，大量獨立的、微小的隨機變量的和近似服從正態(tài)分布。通信信道中的熱噪聲和干擾，多服從正態(tài)分布。后面我們將談到，一個寬帶信號通過一個窄帶濾波器后，服從正態(tài)分布，而通信中廣泛應(yīng)用濾波器來濾出有用信號帶外的噪聲。因此，研究正態(tài)隨機過程十分必要。1.7.1正態(tài)隨機過程的一般概念隨機過程可以看成一族樣本函數(shù)的集合，也可看成一族隨機變量的集合，這些隨機變量可記為：，也1、 正態(tài)隨機過程的定義如果隨機過程X(t)的任意n維概率分布都是正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)隨機過程或高

26、斯隨機過程，簡稱正態(tài)過程或高斯過程。2、 概率密度函數(shù)正態(tài)隨機過程的概率密度函數(shù)即n 維隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)，即 其中， ，（注意下面的上畫線表示均值，即）性質(zhì)1：正態(tài)隨機過程的概率密度函數(shù)由它的一、二階矩（均值、方差和相關(guān)系數(shù)完全決定）。推論：若復(fù)正態(tài)隨機過程Z(t)的n個采樣時刻得到n個復(fù)隨機變量，即1.7.2平穩(wěn)正態(tài)隨機過程1、 平穩(wěn)正態(tài)隨機過程的定義若正態(tài)隨機過程滿足下列條件，則它是寬平穩(wěn)（平穩(wěn)）正態(tài)隨機過程。理解：由平穩(wěn)隨機過程的三大條件（均值為常數(shù)，相關(guān)函數(shù)只與時間差有關(guān)，均方值有界）可知， 那么為確定值，而方差必為常數(shù)，顯然，方差為常數(shù)則也為常數(shù)，物理意義是總平均功率等于交

27、流平均功率與直流平均功率之和。2、 平穩(wěn)正態(tài)過程的n維概率密度根據(jù)前面論述，正態(tài)隨機過程的n維概率密度由它的一、二階矩完全確定，其表達式見2.7.1式。對于平穩(wěn)正態(tài)隨機過程，其概率密度表達式可以簡化。 平穩(wěn)正態(tài)過程一、二維概率密度表達式如下：平穩(wěn)正態(tài)過程n維概率密度表達式如下：回顧：逆矩陣的求法：，設(shè)有一矩陣A，則3、 平穩(wěn)正態(tài)過程的n維特征函數(shù)一維和二維特征函數(shù)：1.7.3正態(tài)隨機過程的性質(zhì)性質(zhì)2：正態(tài)過程的嚴平穩(wěn)與寬平穩(wěn)等價證明：因為嚴平穩(wěn)正態(tài)過程的均方值有界，嚴平穩(wěn)正態(tài)過程一定是寬平穩(wěn)的?，F(xiàn)在證明寬平穩(wěn)正態(tài)過程也是嚴平穩(wěn)的。那么其一維概率密度：也與時間t無關(guān)。對二維概率密度 現(xiàn)在看n維概

28、率密度， 即 它由均值，方差和相關(guān)系數(shù)唯一確定，而均值和方差是常數(shù)，相關(guān)系數(shù)只與時間差有關(guān)，因此n維概率密度函數(shù)與時間起點無關(guān)，由嚴平穩(wěn)定義，可知寬平穩(wěn)正態(tài)隨機過程是嚴平穩(wěn)的。 因此，正態(tài)過程的嚴平穩(wěn)與寬平穩(wěn)等價。性質(zhì)3：正態(tài)過程的不相關(guān)與相互獨立等價，即證明：（1）如果Xn（n1，2，.）兩兩之間相互獨立，則 所以，兩兩互不相關(guān)。 （2）如果Xn（n1，2，.）兩兩之間互不相關(guān)，由式，所以， 則，帶入式得：即兩兩相互獨立。性質(zhì)4：平穩(wěn)正態(tài)過程與確定信號之和仍為正態(tài)分布，但不一定平穩(wěn)。證明：設(shè)X(t)為平穩(wěn)正態(tài)過程，S(t)為確定性信號，Y(t)=X(t)+s(t),那么，對于任意時刻t，Y(

29、t)=X(t)+s(t)為隨機變量，這時，s(t)具有確定值，由隨機變量函數(shù)的概率密度求法，的Y(t)的一維概率密度函數(shù)為：，即在的表達式變量變換即可（s(t)可以理解為確定值（當t固定），因為為正態(tài)分布，所以顯然是正態(tài)分布。對于隨機變量Y(t1)，Y(t2)二維概率密度，用二維隨機變量函數(shù)的概率密度求法，由于雅可比行列式的值為1，所以：為正態(tài)過程。同理，可證明合成信號的n維概率密度也是正態(tài)過程。而：與t有關(guān)，不是常數(shù)，所以不是平穩(wěn)的。推論：正態(tài)過程的線性變換仍為正態(tài)分布。性質(zhì)5和性質(zhì)6：證明略。性質(zhì)7: 正態(tài)隨機過程通過線性系統(tǒng)后的輸出仍為正態(tài)過程。推論：正態(tài)過程的線性變換仍為正態(tài)過程。解：

30、可得（2）1.8 馬爾可夫過程 馬爾可夫過程是由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家A.A.Markov首先提出和研究的一類隨機過程，現(xiàn)在已經(jīng)成為內(nèi)容豐富、理論完善、應(yīng)用廣泛的一門數(shù)學(xué)分支，應(yīng)用領(lǐng)域包括計算機、通信、自動控制、隨機服務(wù)、可靠性、生物學(xué)、經(jīng)濟、管理、教育、氣象、物理、化學(xué)等等。 馬爾可夫過程按時間和狀態(tài)是否連續(xù)可分為四類（同一般隨機過程分類）。生活中，我們所觀察到的許多物理過程可以近似看成馬爾可夫過程。這里我們只研究狀態(tài)和時間參數(shù)都離散的馬爾可夫過程馬爾可夫鏈，且狀態(tài)數(shù)是可列或可數(shù)的。 馬爾可夫過程具有如下特性：當隨機過程在時刻所處的狀態(tài)為已知的條件下，過程在時刻所處的狀態(tài)，與過程在時刻以前所處狀態(tài)無關(guān)

31、，而僅與過程在時刻的狀態(tài)有關(guān)。這個特性稱為隨機過程的無后效性或馬爾可夫性。 例如生物基因遺傳從這一代到下一代的轉(zhuǎn)移中僅依賴與這一代而與以往各代無關(guān)。1.8.1馬爾可夫鏈的定義定義：假定隨機過程X(t)在每一個時刻(n=1,2,.)的采樣為，可能取的狀態(tài)為中任意一個，而且過程X(t)在時刻變成任一狀態(tài)的概率，只與過程在時刻的狀態(tài)有關(guān)，而與過程在時刻以前的狀態(tài)無關(guān)。則稱此隨機序列為馬爾可夫鏈，簡稱馬氏鏈。1.8.2 馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率及其矩陣1 馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率：在時刻出現(xiàn)的條件下，時刻出現(xiàn)的條件概率。即 。式中；m，k皆為正整數(shù)。齊次馬氏鏈：與m無關(guān)。這里只討論齊次馬氏鏈。2 一步

32、轉(zhuǎn)移概率及其矩陣一步轉(zhuǎn)移概率：若中k1，簡記為，即：表示馬氏鏈由狀態(tài)經(jīng)過一次轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率，即一步轉(zhuǎn)移概率。轉(zhuǎn)移概率矩陣：練習題1-1 兩班半隨機二進過程定義為其中值A(chǔ)與-A等概率出現(xiàn)，T為一正常數(shù)，（1）畫出典型的樣本函數(shù)圖形；（2）將此過程規(guī)類；（3）該過程是確定性過程么？12 離散隨機過程的樣本函數(shù)皆為常數(shù)，即可變常數(shù)，式中C為一隨即變量，其可能值為，且他們分別以概率0.6，0.3及0.1出現(xiàn)。（1）X（t）是確定過程么？（2）求：在任意時刻t，X(t)的一維概率密度。13設(shè)隨機過程，其中V是在（0，1）是均勻分布的隨機變量，求過程X（t）的均值和自相關(guān)函數(shù)。14設(shè)隨機過程，式中A

33、,B為兩個互不相關(guān)的隨機變量，且有.求過程X（t）的均值，相關(guān)函數(shù)，協(xié)方差函數(shù)和方差。15程X(t)的數(shù)學(xué)期望。求另一隨機過程的數(shù)學(xué)期望。16信號，其中V是均值為1，方差為1的隨機變量。設(shè)新的隨機信號 求Y（t）的均值，相關(guān)函數(shù)，協(xié)方差函數(shù)和方差。17個隨機過程X(t),Y(t)都是非平穩(wěn)過程 其中，為相互獨立，各自平穩(wěn)的隨機過程，且他們的均值均為0，自相關(guān)函數(shù)相等。試證明這兩個過程之和是寬平穩(wěn)的。18設(shè)隨機信號，式中a,均為正的常數(shù)；為正態(tài)隨機變量，其概率密度為 試討論X(t)的平穩(wěn)行。19 已知隨機過程，式中為常數(shù)；而A與B是具有不同概率密度，但有相同方差，均值為零的不相關(guān)的隨機變量。證明X(t)是寬平穩(wěn)而不是嚴平穩(wěn)的隨機過程。110 已知兩個隨機過程 其中A，B是均值為0，方差為5的不相關(guān)的兩個隨機變量，試證過程X（t）、Y（t）各自平穩(wěn)，而且是聯(lián)合平穩(wěn)的；并求出他們的互相關(guān)系數(shù)。111 設(shè)隨機信號，其中a可以是、也可以不是隨機變量，是在（0，2）上均勻分布的隨機變量；并且 a為隨機變量時，它與統(tǒng)計獨立。求：（1）時間自相關(guān)函數(shù)和集自相關(guān)函數(shù)；（2）a具備什么條件時兩種自相關(guān)函數(shù)相 等。112 設(shè)隨即過程