復(fù)變函數(shù)第6章

1、 在本章我們將從幾何的角度來(lái)討論解析在本章我們將從幾何的角度來(lái)討論解析函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用。函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用。1.1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義2.2.共形映射的概念共形映射的概念3.3.共形映射的基本問(wèn)題共形映射的基本問(wèn)題 6.1.1. 6.1.1. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義. . 設(shè)設(shè) 在區(qū)域在區(qū)域 內(nèi)解析，在點(diǎn)內(nèi)解析，在點(diǎn) 有有導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 我們考察我們考察導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義: : 0()0,fz0z( )wf zD 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn) 任意引一條光滑曲線任意引一條光滑曲線0z:( )(),C zz tt : ( )(),wf z tt , ,若若 存在且存在且 從而由第從而由第一章知，一

2、章知， 在在 有切線，有切線， 就是切向量，就是切向量，它的傾角為它的傾角為 經(jīng)過(guò)變換經(jīng)過(guò)變換 得得 的像曲線為的像曲線為00( )zz t0( )z t0( )0,z tC0z0arg( ).z t( )wf z0( )z tC由于由于000( )() ( )0,w tfzz t000arg( )arg()arg( ),w tfzz t于是于是0arg()(6.1)fz故故 在在 也有切線，也有切線， 就是切向就是切向量，其傾角為量，其傾角為00()wf z0( )w t06.1w（）式表明，像曲線在像點(diǎn)處的切線由原像00Czarg()fz曲線 在原像點(diǎn)處的切線旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度而得到。C0z0z

3、z ( )wf z0w0ww OxyzOvuw0arg()C( )fzwf z稱為曲線 經(jīng)過(guò)函數(shù)映射后在點(diǎn)0()fz0z 處的旋轉(zhuǎn)角，這是的輻角的幾何意義。00Czz旋轉(zhuǎn)角僅與有關(guān)，而與過(guò)的曲線無(wú)關(guān)，即( )wf z解析函數(shù)所構(gòu)旋轉(zhuǎn)成的映射有角不變性0arg(),fz 導(dǎo)數(shù)輻角的幾何意義導(dǎo)數(shù)輻角的幾何意義: :變換變換 在在 的的旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)角。( )wf z0z 導(dǎo)數(shù)模的幾何意義導(dǎo)數(shù)模的幾何意義: :0000( )()()limzzf zf zfzCzz稱|為曲線經(jīng)函數(shù)0( )wf zz映射后在處的伸縮率.它僅與它僅與 有關(guān)，而與過(guò)有關(guān)，而與過(guò) 的曲線的曲線 的方向無(wú)的方向無(wú)關(guān)。即解析函數(shù)關(guān)。

4、即解析函數(shù) 所構(gòu)成的映射具有所構(gòu)成的映射具有伸縮率不變性伸縮率不變性。0z0z( )wf zC 例例 1 1 試求變換試求變換 在在點(diǎn)點(diǎn) 處的旋轉(zhuǎn)角，并指出它將處的旋轉(zhuǎn)角，并指出它將 平平面的哪個(gè)部分放大？哪個(gè)部分縮??？面的哪個(gè)部分放大？哪個(gè)部分縮?。?( )2wf zzz12zi z 解解 因因( )222(1),fzzz( 12 )2( 121)4 ,fiii 故在故在 處的旋轉(zhuǎn)角處的旋轉(zhuǎn)角12i arg( 12 ).2fi 設(shè)設(shè) 則則 而而 的充要條件是的充要條件是zxiy22( )2 (1),fzxy( )1fz2221(1),2xy故故 把以把以-1-1為心，為心， 為半徑為半徑的圓

5、周內(nèi)部縮小，外部放大。的圓周內(nèi)部縮小，外部放大。2( )2wf zzz12解析函數(shù)的保角性解析函數(shù)的保角性： 考慮考慮z z 平面上過(guò)平面上過(guò) 的兩條有向曲線的兩條有向曲線 它們?cè)诘淖儞Q下它們?cè)诘淖儞Q下 的像曲線為的像曲線為 我們稱我們稱 的切線方向所成的夾角為兩曲的切線方向所成的夾角為兩曲線在該點(diǎn)的線在該點(diǎn)的夾角夾角。 12,C C12,. ( )wf z12,C C0z 設(shè)設(shè) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的切線傾角為處的切線傾角為12,C C0z12,. 設(shè)設(shè) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的切線傾角處的切線傾角為為 則由（則由（6.16.1）有）有12, 00()wf z12,. 1C0z( )wf z10wOxyzOv

6、uw22212C1 保角性保角性，這種保角性既保持夾角的大小，這種保角性既保持夾角的大小，又保持夾角的方向。又保持夾角的方向。11及及22,1212,6.2（）0126.2zC ,C（）式表明，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的任意兩條曲線在01200z()wf z點(diǎn)的夾角與其像曲線 ，在點(diǎn)處的夾角大小相等且方向相同， 即解析函數(shù)具有 定理定理6.16.1 若函數(shù)若函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 內(nèi)內(nèi)解析解析, ,則它在導(dǎo)數(shù)不為零的點(diǎn)處具有保角性則它在導(dǎo)數(shù)不為零的點(diǎn)處具有保角性和伸縮率不變性。和伸縮率不變性。( )wf zD6.1.2 6.1.2 共形映射的概念共形映射的概念1212( )6.,( )1(),( )wf zDz z

7、Df zf zf zD 假設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析 若任意不同兩點(diǎn)有那么單葉解析函稱為內(nèi)的，簡(jiǎn)數(shù)單定稱為義葉函數(shù)。 定義定義6.26.2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域 內(nèi)的內(nèi)的單葉函數(shù)，且在區(qū)域單葉函數(shù)，且在區(qū)域 內(nèi)的任一點(diǎn)處具有保內(nèi)的任一點(diǎn)處具有保角性和伸縮率不變性，則稱函數(shù)角性和伸縮率不變性，則稱函數(shù) 構(gòu)構(gòu)成的映射為區(qū)域成的映射為區(qū)域 內(nèi)的內(nèi)的共形映射（或保形映共形映射（或保形映射）射），也稱它為，也稱它為 內(nèi)的內(nèi)的共形（保形）變換共形（保形）變換. . ( )wf z( )wf zDDDD 定理定理6.26.2 若函數(shù)若函數(shù) 是區(qū)域是區(qū)域 內(nèi)內(nèi)單葉解析函數(shù)單葉解析函數(shù), ,且且 則則 構(gòu)構(gòu)成的映射是

8、區(qū)域成的映射是區(qū)域 內(nèi)的共形映射。內(nèi)的共形映射。( )wf zD( )0,fz( )wf zD 若若 在區(qū)域在區(qū)域 內(nèi)內(nèi)（整體）共形（整體）共形，必然在必然在 內(nèi)處處內(nèi)處處（局部）共形（局部）共形，但反過(guò)來(lái)不，但反過(guò)來(lái)不一定真。一定真。( )wf zDD 例例 2 2 討論討論 為正整數(shù)為正整數(shù)) )的保角的保角性和保形性性和保形性. .(nwzn解解 （1 1）因?yàn)椋┮驗(yàn)?0(0),ndwnzzdz故故 在在 平面上除原點(diǎn)外，處處都是保平面上除原點(diǎn)外，處處都是保角的。角的。nwzz （2 2）由于）由于 的單葉性區(qū)域頂點(diǎn)在的單葉性區(qū)域頂點(diǎn)在原點(diǎn)，張度不超過(guò)原點(diǎn)，張度不超過(guò) 的角形區(qū)域。故在此

9、的角形區(qū)域。故在此角形區(qū)域內(nèi)角形區(qū)域內(nèi) 是共形的。在張度超過(guò)是共形的。在張度超過(guò) 的角形區(qū)域內(nèi)，則不是共形的，但在其中各的角形區(qū)域內(nèi)，則不是共形的，但在其中各點(diǎn)的鄰域內(nèi)是共形的。點(diǎn)的鄰域內(nèi)是共形的。nwz2nnwz2n6.1.3 6.1.3 共形映射的基本問(wèn)題共形映射的基本問(wèn)題 問(wèn)題一問(wèn)題一 已知區(qū)域已知區(qū)域 及定義在及定義在 內(nèi)的內(nèi)的解析函數(shù)解析函數(shù) ，如何求像集，如何求像集 ，并討論并討論 是否將是否將 共形映射成共形映射成( )wf zD()Gf DDD.G( )wf z 問(wèn)題二問(wèn)題二 已知區(qū)域已知區(qū)域 和區(qū)域和區(qū)域 ，如何求，如何求一個(gè)解析函數(shù)一個(gè)解析函數(shù) ，使，使 將區(qū)域?qū)^(qū)域 共形

10、映射成區(qū)域共形映射成區(qū)域DG( )wf z( )wf zD.G 定理定理6.36.3( (保域定理保域定理) ) 設(shè)設(shè) 在區(qū)在區(qū)域域D D內(nèi)解析且不恒為常數(shù)內(nèi)解析且不恒為常數(shù), ,則則D D的象的象 也是一個(gè)區(qū)域也是一個(gè)區(qū)域. . ( )wf z()Gf D 定理定理6.46.4( (邊界對(duì)應(yīng)定理邊界對(duì)應(yīng)定理) )設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域 的邊界的邊界為簡(jiǎn)單閉曲線為簡(jiǎn)單閉曲線 函數(shù)函數(shù) 在閉區(qū)域在閉區(qū)域 上解析，且將上解析，且將 雙方單值地映射成簡(jiǎn)單閉曲雙方單值地映射成簡(jiǎn)單閉曲線線 , ,則則 將區(qū)域?qū)^(qū)域 共形映射成曲線共形映射成曲線 所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域 ，并使，并使 關(guān)于區(qū)域關(guān)于區(qū)域 的正向的正

11、向?qū)?yīng)于對(duì)應(yīng)于 關(guān)于區(qū)域關(guān)于區(qū)域 的正向的正向. . DC( )f zDDCC( )wf zDGCDG作業(yè)作業(yè)：P100.T1; T3.P100.T1; T3. 定理定理6.56.5( (黎曼定理黎曼定理) ) 設(shè)設(shè) 和和 是任意是任意的兩個(gè)單連通區(qū)域，他們的邊界至少包含兩的兩個(gè)單連通區(qū)域，他們的邊界至少包含兩個(gè)點(diǎn)，則一定存在解析函數(shù)個(gè)點(diǎn)，則一定存在解析函數(shù) 把區(qū)域把區(qū)域 共形映射成區(qū)域共形映射成區(qū)域 . . ( )wf zGDDG 一、分式線性函數(shù)的分解一、分式線性函數(shù)的分解 二、分式線性映射的性質(zhì)二、分式線性映射的性質(zhì) 三、唯一決定分式線性映射的條件三、唯一決定分式線性映射的條件 四、兩類(lèi)

12、典型的分式線性映射四、兩類(lèi)典型的分式線性映射6.2.1 分式線性函數(shù)的分解分式線性函數(shù)的分解分式線性函數(shù)指如下形式的函數(shù):1. 分式線性函數(shù)的定義分式線性函數(shù)的定義,azbwczd, ,0.a b cdadbc其中及 是復(fù)常數(shù) 且說(shuō)明說(shuō)明:1.0,.adbc 保證了映射的保角性2,0,()dwadbcwdzczd否則由于有常數(shù).zw于是,整個(gè) 平面映射成 平面上的一點(diǎn)2.0,.azbcwczd 稱整式線性映射3.azbwczd 由,dwbzcwa.即分式線性映射的逆映射也是分式線性映射4.azbwCczd 將的定義域及值域推廣到擴(kuò)充復(fù)平面0,;azbcwzwczd 當(dāng)將映射成0,;azbdcw

13、zzczdcawwc 當(dāng)將及映射成及5. 一般的分式線性方程由下面四種簡(jiǎn)單的函數(shù)復(fù)合可得：(1)() ();wz 為常數(shù) 平移(2)() ();iwe z 為實(shí)數(shù) 旋轉(zhuǎn)(3)() ();wz 為正實(shí)數(shù) 相似映射1(4)().wz 反演映射 分式線性變換可理解成下述簡(jiǎn)單類(lèi)型變換的分式線性變換可理解成下述簡(jiǎn)單類(lèi)型變換的復(fù)合復(fù)合: :( )(0),Iwkzhk1().IIwz2. 四種簡(jiǎn)單的分式線性映射四種簡(jiǎn)單的分式線性映射(1)() ();wz 為常數(shù) 平移(為方便起見(jiàn)為方便起見(jiàn), 令令w平面與平面與z平面重合平面重合)o)()(wz zw, ()z在此映射下沿向量即復(fù)數(shù)所表示的向量 , .w的方

14、向平移一段距離后 就得到(2)() ();iwe z 為實(shí)數(shù) 旋轉(zhuǎn)wzo)()(wz .zw把 旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度 得到(3)() ();wz 為正實(shí)數(shù) 相似映射.zw把| |伸長(zhǎng) 倍后得到wo)()(wz z 定義定義6.36.3 關(guān)于圓周關(guān)于圓周 對(duì)稱是指對(duì)稱是指 都在從圓心都在從圓心 出發(fā)的同一條出發(fā)的同一條射線上射線上, ,且合且合 12,z z:CzaR12,z za212.za zaR 規(guī)定，圓周上的點(diǎn)和自己對(duì)稱，規(guī)定圓規(guī)定，圓周上的點(diǎn)和自己對(duì)稱，規(guī)定圓心和心和 對(duì)稱對(duì)稱. .1(4)().wz 反演映射?呢呢的的對(duì)對(duì)稱稱點(diǎn)點(diǎn)找找到到關(guān)關(guān)于于圓圓周周如如何何由由przp ., , ,即即

15、互互為為對(duì)對(duì)稱稱點(diǎn)點(diǎn)與與那那么么交交于于與與的的垂垂線線作作由由連連接接切切線線作作圓圓周周的的從從在在圓圓外外設(shè)設(shè)pppopTpopToppTppoPTP ,izre設(shè)1.wz反演映射111,.wwwz令則111 ,iwezr則有11,iwwer1 1.wz 從而1 1zwz 故 與是關(guān)于單位園周的對(duì)稱點(diǎn).ozw1ww.1w.z.關(guān)于單位圓對(duì)稱關(guān)于單位圓對(duì)稱關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱6.2.2. 6.2.2. 分式線性變換的性質(zhì)分式線性變換的性質(zhì). . 顯然，分式線性變換在擴(kuò)充顯然，分式線性變換在擴(kuò)充 平面上是平面上是單葉的。因此要證明它是共形的，只需證明單葉的。因此要證明它是共形的，只需證明

16、它是保角的。下面證明它是保角的它是保角的。下面證明它是保角的 z 對(duì)于反演變換對(duì)于反演變換 只要只要 則有則有1.wz0,z 210.dwdzz 平移、旋轉(zhuǎn)和相似映射顯然滿足平移、旋轉(zhuǎn)和相似映射顯然滿足0,dwdz由定理由定理6.16.1知它們們?cè)谑潜＝堑摹Ｖ鼈儌冊(cè)谑潜＝堑摹?由定理由定理6.16.1知反演變換在知反演變換在 的各處是的各處是保角的。至于在保角的。至于在 處，需要考慮兩處，需要考慮兩曲線在無(wú)窮遠(yuǎn)處的交角的意義。曲線在無(wú)窮遠(yuǎn)處的交角的意義。0,z 0,zz 定義定義6.36.3 二曲線在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的交角為二曲線在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的交角為 就是指它們?cè)诜囱葑儞Q下的象曲線在原點(diǎn)處就是指它們?cè)?/p>

17、反演變換下的象曲線在原點(diǎn)處的交角為的交角為 . 由定義由定義6.36.3知，知， 反演變換在反演變換在 處是保角的。因而在擴(kuò)充處是保角的。因而在擴(kuò)充 平面上是保角的。平面上是保角的。0,zz z 定理定理6.66.6 分式線性變換在擴(kuò)充分式線性變換在擴(kuò)充 平面上平面上是保形的是保形的. .z 注注 在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)不考慮伸縮率的不變性在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)不考慮伸縮率的不變性 性質(zhì)性質(zhì)1 1 分式線性映射具有保角性分式線性映射具有保角性. .分式線性變換的保圓性分式線性變換的保圓性. . 在平面上，圓周或直線的方程可表為在平面上，圓周或直線的方程可表為 0,(6.1)AzzzzC( ,A C為實(shí)數(shù)，為實(shí)數(shù)，2)

18、AC當(dāng)當(dāng) 時(shí)表示直線。因此在這里，圓周時(shí)表示直線。因此在這里，圓周和直線等同看待和直線等同看待. .0A 由幾何意義知，由幾何意義知， 型變換將圓周（直型變換將圓周（直線）變?yōu)閳A周（直線）。線）變?yōu)閳A周（直線）。( ) I 型變換型變換 將（將（6.16.1）變成）變成()II1wz它表示圓周或直線。它表示圓周或直線。0,CwwwwA 因此因此 型變換將圓周（直線）變?yōu)閳A型變換將圓周（直線）變?yōu)閳A周（直線）。周（直線）。()II 又因?yàn)榉质骄€性變換（又因?yàn)榉质骄€性變換（6.36.3）是由幾個(gè)）是由幾個(gè) 型變換和型變換和 型變換復(fù)合而成，于是得型變換復(fù)合而成，于是得( ) I()II 定理定理6

19、.76.7 分式線性變換將擴(kuò)充平面上分式線性變換將擴(kuò)充平面上的圓周的圓周( (直線直線) )變?yōu)閳A周或直線變?yōu)閳A周或直線. . 注注 在擴(kuò)充平面上，直線可看作經(jīng)過(guò)無(wú)在擴(kuò)充平面上，直線可看作經(jīng)過(guò)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的圓周。窮遠(yuǎn)點(diǎn)的圓周。 引理引理6.16.1 擴(kuò)充擴(kuò)充 平面上兩點(diǎn)平面上兩點(diǎn) 關(guān)于關(guān)于圓周圓周 對(duì)稱的充要條件是對(duì)稱的充要條件是: :通過(guò)通過(guò) 的任意的任意圓周都與圓周都與 正交。正交。z12,z z12,z z 證證 當(dāng)當(dāng) 為直線時(shí)，定理顯然成立。下為直線時(shí)，定理顯然成立。下面證面證 是有限圓是有限圓 的情形。的情形。: zaR 必要性必要性 設(shè)設(shè) 關(guān)于圓周關(guān)于圓周 對(duì)稱，則由對(duì)稱，則由對(duì)稱點(diǎn)的

20、定義知，過(guò)對(duì)稱點(diǎn)的定義知，過(guò) 的直線必然與的直線必然與 正正交。交。12,z z12,z z分式線性變換的保對(duì)稱點(diǎn)性分式線性變換的保對(duì)稱點(diǎn)性. . 設(shè)設(shè) 是過(guò)是過(guò) 的任一圓周（非直線），的任一圓周（非直線），由由 引引 的切線的切線 為切點(diǎn)。由平面幾何的為切點(diǎn)。由平面幾何的定理得定理得12,z za,a 212.aza za圖圖7.57.5a 1z2z但由但由 關(guān)于圓周關(guān)于圓周 對(duì)稱的定義，有對(duì)稱的定義，有12,z z212.za zaR所以所以aR即即 是圓周是圓周 的半徑，因此的半徑，因此 與與 正交。正交。a 充分性充分性 設(shè)過(guò)設(shè)過(guò) 的每一圓周都與的每一圓周都與 正正交。過(guò)交。過(guò) 作一圓

21、周（非直線）作一圓周（非直線） 則則 與與 正交。設(shè)交點(diǎn)之一為正交。設(shè)交點(diǎn)之一為 ，則，則 的半徑的半徑 必必為為 的切線。的切線。12,z z12,z z,a 聯(lián)結(jié)聯(lián)結(jié) 延長(zhǎng)后必經(jīng)過(guò)延長(zhǎng)后必經(jīng)過(guò) （因過(guò)（因過(guò) 的的12,z z12,z za直線與直線與 正交）。于是正交）。于是 在從在從 出發(fā)的同出發(fā)的同一條射線上，并由平面幾何的定理得一條射線上，并由平面幾何的定理得12,z za2212.Raza za由定義知由定義知 關(guān)于圓周關(guān)于圓周 對(duì)稱。對(duì)稱。12,z z 定理定理6.8 6.8 設(shè)擴(kuò)充設(shè)擴(kuò)充 平面上兩點(diǎn)平面上兩點(diǎn) 關(guān)關(guān)于圓周于圓周 對(duì)稱，對(duì)稱， 為一分式線性變換為一分式線性變換,

22、,則則 關(guān)于圓周關(guān)于圓周 對(duì)對(duì)稱。稱。z12,z z( )wL z1122( ),()wL zwL z( )L 證證 設(shè)設(shè) 是是擴(kuò)充擴(kuò)充 平面上經(jīng)過(guò)平面上經(jīng)過(guò) 的的w12,w w任意圓周。此時(shí)，必然存在一個(gè)圓周任意圓周。此時(shí)，必然存在一個(gè)圓周 ，經(jīng)，經(jīng)過(guò)過(guò) 并使并使 因?yàn)橐驗(yàn)?關(guān)于圓周關(guān)于圓周 對(duì)對(duì)稱，故由引理稱，故由引理6.16.1， 與與 正交。由于正交。由于分式分式線性變換的保角性，線性變換的保角性， 與與 亦亦正交。正交。 再由再由引理引理6.16.1知知 關(guān)于關(guān)于 對(duì)稱。對(duì)稱。12,z z( ).L 12,z z( )L ( )L ( )L 12,w w 定理定理6.106.10 設(shè)

23、分式線性變換將擴(kuò)充設(shè)分式線性變換將擴(kuò)充 平面平面上三個(gè)相異點(diǎn)上三個(gè)相異點(diǎn) 指定變?yōu)槿齻€(gè)相異點(diǎn)指定變?yōu)槿齻€(gè)相異點(diǎn)z123,z zz 則此分式線性變換被唯一確定則此分式線性變換被唯一確定, ,并并可寫(xiě)成可寫(xiě)成 即即 123,w w w123123(, )( , )w w w wz zz z311232:wwwwwwww131232:zzzzzzzz（即三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)能唯一確定一個(gè)分式線性變（即三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)能唯一確定一個(gè)分式線性變換）換） 例例1 1 求將求將 對(duì)應(yīng)地變成對(duì)應(yīng)地變成 的的線性變換線性變換. . 2, , 2i 1, ,1i解解 所求分式線性變換為所求分式線性變換為( 1, ,1, )(2,

24、 , 2, ),iwiz即即1 1 1222:,12wzwiizii 化簡(jiǎn)后得化簡(jiǎn)后得6.32ziwiz 例例2 2 把上半把上半 平面共形映射成上半平面共形映射成上半 平面的分式線性變換可寫(xiě)成平面的分式線性變換可寫(xiě)成zw,azbwczd其中其中 是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù), ,且滿足條件且滿足條件 , , ,a b c d0adbc20,()dwadbcdzczd 事實(shí)上，事實(shí)上，上述變換將實(shí)軸變?yōu)閷?shí)軸，且上述變換將實(shí)軸變?yōu)閷?shí)軸，且當(dāng)當(dāng) 是實(shí)數(shù)時(shí)是實(shí)數(shù)時(shí)z即實(shí)軸變?yōu)閷?shí)軸是同向的，因此上半平面共即實(shí)軸變?yōu)閷?shí)軸是同向的，因此上半平面共形映射成上半平面。形映射成上半平面。 也可由下面推導(dǎo)看出：也可由下面推導(dǎo)看出

25、：11Im()22azbazbwwwii czdczd221()Im .2adbcadbczzziczdczd 例例 求出將上半求出將上半 平面共形映射成上平面共形映射成上半半 平面的分式線性變換平面的分式線性變換 使合條件使合條件 zw( )wL z1( ),0(0).iL iL 解解 設(shè)所求分式線性變換設(shè)所求分式線性變換 為為( )wL z,azbwczd其中其中 都是實(shí)數(shù)，且都是實(shí)數(shù)，且, , ,a b c d0.adbc 由于實(shí)軸變成實(shí)軸，且由于實(shí)軸變成實(shí)軸，且 必必 因而因而 用用 除分子分母，則除分子分母，則 變變形為形為( )wL z0(0),L0,b 0.a a,zwezf其中

26、其中 都是實(shí)數(shù)，都是實(shí)數(shù)，,cdefaa 再由條件再由條件 得得1( )iL i 1,iieif 即即()()fei fei所以所以0,1,fefe解得解得1,2ef故分式線性變換所求為故分式線性變換所求為2.11122zzwzz 例例3 3 求出將上半平面求出將上半平面 共形映共形映射成單位圓射成單位圓 的分式線性變換，并使上的分式線性變換，并使上半平面上一點(diǎn)半平面上一點(diǎn) 變成變成Im0z 1w 0.w (Im0)zaa 解解 點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)為關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)為 而而 關(guān)于單位圓周對(duì)稱點(diǎn)為關(guān)于單位圓周對(duì)稱點(diǎn)為 根據(jù)分式線性根據(jù)分式線性變換保對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)知，所求變換應(yīng)把點(diǎn)變換保對(duì)稱點(diǎn)的

27、性質(zhì)知，所求變換應(yīng)把點(diǎn) 變到變到 把點(diǎn)把點(diǎn) 應(yīng)該變到應(yīng)該變到 把把 變到變到 因此，這個(gè)變換應(yīng)當(dāng)具有形式因此，這個(gè)變換應(yīng)當(dāng)具有形式a, a0w .w ;w a0;w aIm0z 1.w ,z aw kz a其中其中 為復(fù)常數(shù)。為復(fù)常數(shù)。 k(Im0).6.2izaweaza（）.awka因此因此1.awkka所以，可令所以，可令 是實(shí)數(shù)）得所求變換為是實(shí)數(shù)）得所求變換為(ike 的確定的確定：如果：如果 是實(shí)數(shù)，如是實(shí)數(shù)，如 則則它變到單位圓周上的一點(diǎn)它變到單位圓周上的一點(diǎn)k0,z z 由于由于 是實(shí)數(shù)時(shí)，是實(shí)數(shù)時(shí)， 因此它把直線因此它把直線z1.w 映射成圓映射成圓 從而把上半平面從而把上半

28、平面Im0z 1.w 映射成映射成 或或 又因當(dāng)又因當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 因此這個(gè)函數(shù)正是我們所要求因此這個(gè)函數(shù)正是我們所要求的。的。Im0z 1w 1,w za01,w 在變換（在變換（6.26.2）中，即使）中，即使 給定了，還給定了，還需需確定一個(gè)實(shí)參數(shù)確定一個(gè)實(shí)參數(shù) 為了確定為了確定 需指出實(shí)需指出實(shí)軸上一點(diǎn)與單位圓周上某點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。或軸上一點(diǎn)與單位圓周上某點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系?；蛐柚赋鲈谛柚赋鲈?處的旋轉(zhuǎn)角處的旋轉(zhuǎn)角 我們可我們可以驗(yàn)證變換（以驗(yàn)證變換（6.26.2） 在在 處的旋轉(zhuǎn)角處的旋轉(zhuǎn)角a.,zaarg( ),w azaarg( ).2w a , 10)Im( wz映映射射成成單單位位圓圓

29、求求將將上上半半平平面面 .0)2(arg , 0)2( 性映射性映射的分式線的分式線且滿足條件且滿足條件 iwiw解解 : 0)2( 知知由由條條件件 iw . 0 2 wiz映射成映射成依上題結(jié)論得依上題結(jié)論得),22(izizewi 例例 ,)2(4)(2iziezwi 因?yàn)橐驗(yàn)?.4()2(ieiwi 所以所以)4arg(arg)2(argieiwi 從而所求映射為從而所求映射為).22(iziziw , 0)2( .2 所以所以 例例4 4 求出將單位圓求出將單位圓 共形映射成共形映射成單位圓單位圓 的分式線性變換，并使一點(diǎn)的分式線性變換，并使一點(diǎn)1z 1w 變換成變換成 (1)za

30、 a0.w 解解 所求變換應(yīng)把所求變換應(yīng)把 內(nèi)的點(diǎn)內(nèi)的點(diǎn) （不妨（不妨設(shè)設(shè) ）變成）變成 把把 變成變成 根據(jù)分式線性變換保對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，點(diǎn)根據(jù)分式線性變換保對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，點(diǎn) 關(guān)關(guān)于于 的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) 變成變成 關(guān)于單關(guān)于單位圓位圓 的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn) 因此所求變換具因此所求變換具有形式有形式1z 0a 0;w 1;w 1z aa1z 1aa.w 1w 0w ,1zawkza整理得整理得1,1zawkaz其中其中 為復(fù)常數(shù)。為復(fù)常數(shù)。1, k k111,1aka 的確定：的確定：如果如果 例如例如 則它則它變到變到 上的點(diǎn)上的點(diǎn) ，于是，于是 1,z 1,z 1w 1k所以，可令所以，可令 是

31、實(shí)數(shù)）得所求變換為是實(shí)數(shù)）得所求變換為1(ike(1).(6.3)1izaweaaz 的確定還需附加條件，類(lèi)似于例的確定還需附加條件，類(lèi)似于例3 3我們可我們可以驗(yàn)證，對(duì)于變換（以驗(yàn)證，對(duì)于變換（6.36.3），有），有arg( ).w a例例 .021, 021的分式線性映射的分式線性映射圓且滿足條件圓且滿足條件求將單位圓映射為單位求將單位圓映射為單位 ww解解 : 0)21( 知知由條件由條件 w . 021 wz映射成映射成依上題結(jié)論得依上題結(jié)論得.212zzewi ,3421 iew 由此得由此得.212zzw , 021 w因?yàn)橐驗(yàn)?21為正實(shí)數(shù)為正實(shí)數(shù)則則 w所以所求映射為所以所求

32、映射為 .21arg w故故 . 0 得得例例5解解Im01. zw 求將上半平面映射成單位圓的分式線性映射123123 1, 0, 1 1 1,1.xzzzwwwi w 在 軸上任取三點(diǎn)使之依次對(duì)應(yīng)于上的三點(diǎn))(zoxy)(wouv1 .1.i.1 .1.123123 , zzzwww由于與繞向相同123123(,)( , ,),w w w wz zz z所求的線性函數(shù)為11 11 1 1:,10 1 0wzwiiz 即 .1ziwiz化簡(jiǎn)得 注意注意: 本題中如果選取其他三對(duì)不同點(diǎn)本題中如果選取其他三對(duì)不同點(diǎn), 也能得也能得出滿足要求但不同于本題結(jié)果的分式線性映射出滿足要求但不同于本題結(jié)果

33、的分式線性映射.可見(jiàn)可見(jiàn), 把上半平面映射成單位圓的分式線性映射把上半平面映射成單位圓的分式線性映射不唯一不唯一, 有無(wú)窮多個(gè)有無(wú)窮多個(gè).第三節(jié)第三節(jié) 某些初等函數(shù)所構(gòu)成的共形映射某些初等函數(shù)所構(gòu)成的共形映射 1 1 冪函數(shù)與根式函數(shù)冪函數(shù)與根式函數(shù) 先討論冪函數(shù)先討論冪函數(shù) ,nwz其中其中 是大于是大于1 1 的自然數(shù)的自然數(shù). .除了除了 及及 外，它處處具有不為零的導(dǎo)數(shù)，因而在這些外，它處處具有不為零的導(dǎo)數(shù)，因而在這些點(diǎn)處是保角的點(diǎn)處是保角的. . 0z z n 冪函數(shù)冪函數(shù) 在角域在角域 內(nèi)內(nèi)是單葉的是單葉的 ，因而是共形的。于是，因而是共形的。于是nwz:0argdz2(0)nuv

34、OOxy冪函數(shù)冪函數(shù) 將角域?qū)⒔怯?共形映射成角域共形映射成角域nwzd:0arg.DzndnDnwznwzzxyOnnnzwnwzvuOw特別地，特別地， 將角域?qū)⒔怯?共共形映射成平面上除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸后所剩的形映射成平面上除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸后所剩的區(qū)域區(qū)域. .nwz:argdznn 作作 的逆變換的逆變換 nwz,nzw將將 平面上的角域平面上的角域 w:0arg.Dzn(0 共形映射成共形映射成 平面上的角域平面上的角域 2)nz:0argdz 例例 1 1 求一變換求一變換, ,把具有割痕把具有割痕Re,0Imzazh的上半的上半z z平面保形變換成上半平面保形變換成上半w w平面平面解解 如圖所示的五個(gè)變換的復(fù)合如圖所示的五個(gè)變換的復(fù)合22().wzahazOxy1zOxy2zOxy3zOxy4zOxywOuv()C aihBDBD( )C ihBD2()Ch(0)C2()D h2()B h()Bh()D ah( )C a(