高三第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題——三角函數(shù)

1、牢記重點(diǎn)知識(shí)專題：三角函數(shù)1.掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，能熟練解決形如yAsin(x)B的函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題；2.熟練掌握同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系、正余弦的誘導(dǎo)公式、兩角和與兩角差的正余弦和正切公式、二倍角的正余弦和正切公式；3.學(xué)會(huì)運(yùn)用正弦、余弦定理解三角形，掌握解三角形的一般思路與方法化邊或化角(1)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的研究主要涉及的方向?yàn)檎嘞液瘮?shù)相加后所得函數(shù)，首先需要對(duì)所給函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，在化簡(jiǎn)的過(guò)程中要注意“角”“名”“次”的統(tǒng)一，化簡(jiǎn)后的函數(shù)需要整體處理(換元)，再研究其性質(zhì)，對(duì)ysin x，ycos x，ytan x的性質(zhì)必須掌握來(lái)源:Z+xx+k.Com(2)在三角函數(shù)的性質(zhì)研究時(shí)

2、，要注意“形”和“式”之間的聯(lián)系，即A，x，對(duì)函數(shù)性質(zhì)和圖象的影響(3)三角函數(shù)圖象的變換中要注意先伸縮變換后平移變換與先平移變換后伸縮變換的差異(4)在三角化簡(jiǎn)、求值、證明中，表達(dá)式往往出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角與角之間的和差、倍半、互補(bǔ)、互余的關(guān)系，運(yùn)用角的變換，溝通條件與結(jié)論中的角，使問(wèn)題獲解如角的變形：15°45°30°60°45°，()，2()().特別地，與為互余角，它們之間可以互相轉(zhuǎn)化，在三角變形中使用頻率高(5)兩定理的形式、內(nèi)容、證法及變形應(yīng)用必須引起足夠的重視，通過(guò)向量的數(shù)量積把三角形和三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，用向量方法證明兩定理

3、，突出了向量的工具性，是向量知識(shí)應(yīng)用的實(shí)例另外，利用正弦定理解三角形時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對(duì)大角”定理及幾何作圖來(lái)幫助理解自我檢測(cè)1.已知函數(shù)f(x)sin(x)（0）的最小正周期為，則_，它的對(duì)稱中心是_，對(duì)稱軸方程是_，單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)，若x0，則函數(shù)f(x)的值域?yàn)開(kāi)變式：函數(shù)f(x)sin2cos2sin xcos x，x，則f(x)的最大值為 2.函數(shù)f(x)Asin(x)(A，為常數(shù)，A0，0，0)的圖象如下圖所示，則f()的值為 3已知0，函數(shù)f(x)sin(x)在(，)上單調(diào)遞減，則的取值范圍是_4.在ABC中，A為最小角，C為最大角，已知co

4、s(2AC)，sin B，則cos 2(BC)_.ABDC（第5題）5.如圖,在 ABC中, B=45°,D是BC邊上一點(diǎn), AD=5，AC=7,DC=3,則AB的長(zhǎng)為_(kāi). 例1、(1)給出下列六種圖象變換方法：圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變；圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變；圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度；圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度；圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度；圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度請(qǐng)用上述變換中的兩種變換，將函數(shù)ysin x的圖象變換到函數(shù)ysin的圖象，那么這兩種變換的序號(hào)依次是_(填上一種你認(rèn)為正確的答案即可)(2)函數(shù)f(x)Asin(x)(A>0，&g

5、t;0，0,2)的圖象如圖所示，則_. 例2、(1)已知函數(shù)f(x)2sin(x)(>0)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，且f0，則的最小值為_(kāi)(2)設(shè)函數(shù)f(x)sin(x)cos(x)的最小正周期為，且f(x)f(x)，則f(x)的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)ABDOCxy(例4題圖)例3、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，終邊與單位圓O交于點(diǎn)A(x1 ，y1 )，(，)將角終邊繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，交單位圓于點(diǎn)B(x2，y2)（1）若x1，求x2；（2）過(guò)A，B作x軸的垂線，垂足分別為C，D，記AOC及 BOD的面積分別為S1，S2，且S1S2，求tan的值例4、在斜三角

6、形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.(1)若2sin Acos Csin B，求的值；(2)若sin(2AB)3sin B，求的值三角函數(shù)作業(yè)一、填空題：（請(qǐng)將答案填在空白處，在空行間寫出簡(jiǎn)要過(guò)程）1、已知函數(shù)，則的最小正周期為_(kāi).2、設(shè),且.則= .3、已知函數(shù)的圖象如圖所示，則 4、要得到函數(shù)的圖象，需將函數(shù)的圖象向左至少平移 個(gè)單位。5、在中,若,則的形狀是_.6、已知、分別是的三個(gè)內(nèi)角、所對(duì)的邊，若，則 7、在ABC中，角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c已知ac2b，sinBsinC，則cosA 8、在平面直角坐標(biāo)系中，直線與函數(shù)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為 9、設(shè)函數(shù)

7、的圖像與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖像交于另外兩點(diǎn).是坐標(biāo)原點(diǎn)，則= 二、解答題：10、設(shè)函數(shù)(其中 )在處取得最大值2,其圖象與軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為.(1)求的解析式; (2)求函數(shù)的值域.11、在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且1（1）求B； （2）若cos(C)，求sinA的值12、在ABC中，已知，.(1)求證:； (2)若,求ABC的面積.13、已知一塊半徑為的殘缺的半圓形材料，O為半圓的圓心，殘缺部分位于過(guò)點(diǎn)的豎直線的右側(cè)現(xiàn)要在這塊材料上截出一個(gè)直角三角形，有兩種設(shè)計(jì)方案：如圖甲，以為斜邊；如圖乙，直角頂點(diǎn)在線段上，且另一個(gè)頂點(diǎn)在上要使截出的直角三角形的面積

8、最大，應(yīng)該選擇哪一種方案？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出截得直角三角形面積的最大值A(chǔ)BOCD（第16題甲圖）ABOCD（第16題乙圖）E專題：三角函數(shù)江蘇高考考試說(shuō)明中，三角函數(shù)部分涵蓋了八個(gè)知識(shí)點(diǎn)，其中兩角和（差）的正弦、余弦和正切為C級(jí)點(diǎn)，函數(shù)yAsin(x)的圖象和性質(zhì)及幾個(gè)三角恒等式為A級(jí)點(diǎn)，其余均為B級(jí)點(diǎn)高考中一般以基礎(chǔ)題為主，難度基本為容易題或中檔題，涉及到的問(wèn)題主要有三個(gè)方面三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角變換和解三角形復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)緊緊抓住這三個(gè)方面，對(duì)于典型問(wèn)題應(yīng)從解題策略上講清講透，使學(xué)生對(duì)典型問(wèn)題的解題思路和方法做到心中有數(shù)，讓學(xué)生練到位，力爭(zhēng)拿高分牢記重點(diǎn)知識(shí)1.掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；2.

9、熟練掌握同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系、正余弦的誘導(dǎo)公式、兩角和與兩角差的正余弦和正切公式、二倍角的正余弦和正切公式；3.能夠運(yùn)用三角公式將所給函數(shù)解析式正確轉(zhuǎn)化成yAsin(x)B的形式，進(jìn)而研究函數(shù)的單調(diào)性，周期性，奇偶性，及函數(shù)在某給定區(qū)間上的值域問(wèn)題；3.學(xué)會(huì)運(yùn)用正弦、余弦定理解三角形，掌握解三角形的一般思路與方法化邊或化角自我檢測(cè)1.已知函數(shù)f(x)sin(x)（0）的最小正周期為，則_，它的對(duì)稱中心是_，對(duì)稱軸方程是_，單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)，若x0，則函數(shù)f(x)的值域?yàn)開(kāi)1、2；(，0)，kZ；x，kZ；k，k，kZ；，1變式：函數(shù)f(x)sin2cos2sin xcos x，x，則f(x)

10、的最大值為 -0.5 2.（南京、鹽城市2014屆高三第二次模擬（淮安三模）函數(shù)f(x)Asin(x)(A，為常數(shù)，A0，0，0)的圖象如下圖所示，則f()的值為 2、13.設(shè)函數(shù)f(x)sin(x)，給出以下四個(gè)論斷：它的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱；它的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；它的周期為；在區(qū)間上是增函數(shù)以其中兩個(gè)論斷作為條件，余下論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的兩個(gè)命題：(1)_；(2)_解析：成立時(shí)，f(x)的圖象可能為下圖中的一個(gè)但圖2不能滿足<<.在圖中可得端點(diǎn)A，B，故成立同理成立時(shí)，成立答案：；3已知0，函數(shù)f(x)sin(x)在(，)上單調(diào)遞減，則的取值范圍是_3，4設(shè)為銳角，若si

11、n()，則cos(2)的值為_(kāi)44(2012·南京名校4月階段性考試)若3，tan()2，則tan(2)_.解析：由題意得3.所以tan 2. 又tan()2，所以tan()2.所以(2)tan(). 答案：5.在ABC中，A為最小角，C為最大角，已知cos(2AC)，sin B，則cos 2(BC)_.解析：A為最小角，2ACAAC<ABC180°.cos(2AC)，sin(2AC). C為最大角，B為銳角又sin B，故cos B. 即sin(AC)，cos(AC).cos(BC)cos Acos(2AC)(AC)，ABDC（第5題）cos 2(BC)2cos2(

12、BC)1. 答案：6.如圖,在ABC中,B=45°,D是BC邊上一點(diǎn), AD=5，AC=7,DC=3,則AB的長(zhǎng)為_(kāi). 6.；剖析經(jīng)典例題例1、(1)給出下列六種圖象變換方法：圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變；圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變；圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度；圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度；圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度；圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度請(qǐng)用上述變換中的兩種變換，將函數(shù)ysin x的圖象變換到函數(shù)ysin的圖象，那么這兩種變換的序號(hào)依次是_(填上一種你認(rèn)為正確的答案即可)(2)函數(shù)f(x)Asin(x)(A>0，>0，0,2)的圖象如圖所示，則_

13、.解析(1)ysin x，ysin，ysin，或ysin x，ysinx，ysinsin.(2)T2(73)8，A3，f(x)3sin，將(3,0)代入得2k，即2k.又0,2)，所以.答案(1)或(填出其中一種即可)(2)題后小結(jié)：(1)三角函數(shù)圖象進(jìn)行變換時(shí)，要注意先伸縮變換后平移變換與先平移變換后伸縮變換的差異(2)A，這三個(gè)值求解以最困難，其中如果圖象上沒(méi)有給出最高點(diǎn)和最低點(diǎn)坐標(biāo)，而只給了函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，要區(qū)分對(duì)待，如點(diǎn)(3,0)在減區(qū)間內(nèi)，則32k，如點(diǎn)(7,0)在增區(qū)間內(nèi)，則72k.本題也可由對(duì)稱性得到最低點(diǎn)坐標(biāo)(5，3)，代入函數(shù)式求.例2、(1)已知函數(shù)f(x)2sin(x)(&

14、gt;0)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，且f0，則的最小值為_(kāi)(2)設(shè)函數(shù)f(x)sin(x)cos(x)的最小正周期為，且f(x)f(x)，則f(x)的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)解析(1)由題意得k，又k1，所以k，即4k2，又>0，所以的最小值為2.(2)f(x)sin，由題意知，且k(kZ)，解得2，k(kZ)又|<，. f(x)sincos 2x.令2k2x2k，得kxk， 故f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(kZ)答案(1)2(2)(kZ)題后小結(jié)：(1)三角函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心都可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于，的二元方程(2)由周期性可確定的值，由f(x)f(x)可求出的值，確定解析式后，即可求出三角函數(shù)的性質(zhì)A

15、BDOCxy(例4題圖)例4、（南京、鹽城市2014屆高三第二次模擬（淮安三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸，終邊與單位圓O交于點(diǎn)A(x1 ，y1 )，(，)將角終邊繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，交單位圓于點(diǎn)B(x2，y2)（1）若x1，求x2；（2）過(guò)A，B作x軸的垂線，垂足分別為C，D，記AOC及 BOD的面積分別為S1，S2，且S1S2，求tan的值解：（1）解法一：因?yàn)閤1，y10，所以y1 所以sin，cos 2分所以x2cos()coscossinsin 6分 解法二：因?yàn)閤1，y10，所以y1A(，)，則(，)，2分 (x2，y2)， 因?yàn)?#183

16、;|cosAOB，所以x2y2 4分 又x22y221，聯(lián)立消去y2得50 x2230x270 解得x2或，又x20，所以x2 6分 解法三：因?yàn)閤1，y10，所以y1 因此A(，)，所以tan2分 所以tan()7，所以直線OB的方程為y7x 4分 由得x±，又x20，所以x2 6分（2）S1sincossin2 8分因?yàn)?，)，所以(，) 所以S2sin()cos()sin(2)cos210分 因?yàn)镾1S2，所以sin2cos2，即tan2 12分所以，解得tan2或tan 因?yàn)?，)，所以tan214分題后小結(jié)：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值，常從角的差異入手，尋求條件與結(jié)論之間的關(guān)系

17、，通過(guò)三角恒等變換消除差異，使問(wèn)題獲解例5、(2012·南通第一次調(diào)研)在斜三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.(1)若2sin Acos Csin B，求的值；(2)若sin(2AB)3sin B，求的值解(1)由正弦定理得. 從而2sin Acos Csin B可化為2acos Cb.由余弦定理得2a×b. 整理得ac，即1.(2)在斜三角形ABC中，ABC，所以sin(2AB)3sin B可化為sin(AC)3sin(AC)，即sin(AC)3sin(AC)故sin Acos Ccos Asin C3(sin Acos Ccos Asin C)整理得4

18、sin Acos C2cos Asin C，因?yàn)锳BC是斜三角形，所以cos Acos C0，所以.題后小結(jié)：解三角形常用的工具是正弦定理和余弦定理，要熟悉它們的使用的條件，合理選用解三角形常與三角恒等變換、三角求值綜合考查，要注意三角形中角的限制條件備選題：已知函數(shù)f(x)sin2cos2sin xcos x，xR.(1)求f(x)的最大值及取得最大值時(shí)的x的值；(2)求f(x)在0，上的單調(diào)增區(qū)間解(1)f(x)sin 2x1(sin 2xcos 2x)sin1.當(dāng)2x2k，即xk，kZ時(shí)，f(x)取得最大值為1.(2)由2k2x2k，得kxk，kZ.又因?yàn)?x，所以f(x)在0，上的增區(qū)

19、間為和.題后小結(jié)：三角函數(shù)性質(zhì)的研究，關(guān)鍵是三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，本題所給函數(shù)的解析式中方次均為二次，故需要用二倍角公式進(jìn)行降冪，再觀察角分別為2x與2x，還需要用和差角公式進(jìn)行統(tǒng)一，最終化歸為yAsin(x)B的形式，即可將x看做整體，研究函數(shù)的性質(zhì)備選題：（三角應(yīng)用題）(1)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的研究主要涉及的方向?yàn)檎嘞液瘮?shù)相加后所得函數(shù)，首先需要對(duì)所給函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，在化簡(jiǎn)的過(guò)程中要注意“角”“名”“次”的統(tǒng)一，化簡(jiǎn)后的函數(shù)需要整體處理(換元)，再研究其性質(zhì)，對(duì)ysin x，ycos x，ytan x的性質(zhì)必須掌握來(lái)源:Z+xx+k.Com(2)在三角函數(shù)的性質(zhì)研究時(shí)，要注意“形”和“式”之間的聯(lián)系，即A，x，對(duì)函數(shù)性質(zhì)和圖象的影響(3)三角函數(shù)圖象的變換中要注意先伸縮變換后平移變換與先平移變換后伸縮變換的差異(4)在三角化簡(jiǎn)、求值、證明中，表達(dá)式往往出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角與角之間的和差、倍半、互補(bǔ)、互余的關(guān)系，運(yùn)用角的變換，溝通條件與結(jié)論中的角，使問(wèn)題獲解如角的變形：15°45°30°60°45°，()，2()().特別地，與為互余