趣味數(shù)學(xué)麥比烏斯帶經(jīng)典版

1、數(shù)學(xué)上流傳著這樣一個故事：有人數(shù)學(xué)上流傳著這樣一個故事：有人曾提出，先用一張長方形的紙條，首曾提出，先用一張長方形的紙條，首尾相粘，做成一個紙圈，然后只允許尾相粘，做成一個紙圈，然后只允許用一種顏色，在紙圈上的一面涂抹，用一種顏色，在紙圈上的一面涂抹，最后把整個紙圈全部抹成一種顏色，最后把整個紙圈全部抹成一種顏色，不留下任何空白。這個紙圈應(yīng)該怎樣不留下任何空白。這個紙圈應(yīng)該怎樣粘？粘？ 跟我學(xué)魔術(shù)：跟我學(xué)魔術(shù)：2、將紙帶一頭不變，另、將紙帶一頭不變，另一頭擰一頭擰180度，兩頭粘度，兩頭粘貼貼 。1、將紙帶兩頭粘貼、將紙帶兩頭粘貼 。猜猜看：猜猜看：“怪圈怪圈”有幾條邊幾個面？有幾條邊幾個面？

2、2 2條邊條邊2 2個面?zhèn)€面1 1條邊條邊1 1個面?zhèn)€面麥比烏斯帶麥比烏斯帶(mobius strip) 麥比烏斯圈、怪圈麥比烏斯圈、怪圈 給紙帶起個名字吧！給紙帶起個名字吧！德國數(shù)學(xué)家麥比烏斯德國數(shù)學(xué)家麥比烏斯 麥比烏斯帶的發(fā)現(xiàn)對于這樣一個看來十分簡單的問題，數(shù)百年間，曾有許多科學(xué)家進(jìn)行了認(rèn)真研究，結(jié)果都沒有成功。后來，德國的數(shù)學(xué)家麥比烏斯對此發(fā)生了濃厚興趣，他長時間專心思索、試驗，也毫無結(jié)果。 有一天，他被這個問題弄得頭昏腦漲了，便到野外去散步。新鮮的空氣，清涼的風(fēng)，使他頓時感到輕松舒適，但他頭腦里仍然只有那個尚未找到的圈兒。 一片片肥大的玉米葉子，在他眼里變成了“綠色的紙條兒”，他不由自

3、主地蹲下去，擺弄著、觀察著。葉子彎曲著聳拉下來，有許多扭成半圓形的，他隨便撕下一片，順著葉子自然扭的方向?qū)映梢粋€圓圈兒，他驚喜地發(fā)現(xiàn)，這“綠色的圓圈兒”就是他夢寐以求的那種圓圈。 麥比烏斯回到辦公室，裁出紙條，把紙的一端扭轉(zhuǎn)180，再將一端的正面和背面粘在一起，這樣就做成了只有一個面的紙圈兒。 圓圈做成后，麥比烏斯捉了一只小甲蟲，放在上面讓它爬。結(jié)果，小甲蟲不翻越任何邊界就爬遍了圓圈兒的所有部分。麥比烏斯激動地說：“公正的小甲蟲，你無可辯駁地證明了這個圈兒只有一個面?！?麥比烏斯圈就這樣被發(fā)現(xiàn)了。 實踐：實踐：體會怪圈的神秘體會怪圈的神秘從從1 12 2處處剪開！剪開！繼續(xù)見證奇跡：繼續(xù)見證

4、奇跡： 1、將一個麥比烏斯帶沿中間線剪開得一新、將一個麥比烏斯帶沿中間線剪開得一新環(huán)帶，將新環(huán)帶又按中間線剪開環(huán)帶，將新環(huán)帶又按中間線剪開; 2、將這種操作至少進(jìn)行六次，、將這種操作至少進(jìn)行六次， 3、記錄每次剪開所得新環(huán)帶的個數(shù)、長度、記錄每次剪開所得新環(huán)帶的個數(shù)、長度、扭轉(zhuǎn)半圈數(shù)和連接情況，然后分析記錄的扭轉(zhuǎn)半圈數(shù)和連接情況，然后分析記錄的結(jié)果，找出規(guī)律結(jié)果，找出規(guī)律. 給我們的哲學(xué)啟示給我們的哲學(xué)啟示-宇宙的奧秘宇宙的奧秘兩張疊在一起的長方形紙帶制成的麥比烏斯帶兩張疊在一起的長方形紙帶制成的麥比烏斯帶（1）將兩張疊在一起的長方形紙帶同時扭轉(zhuǎn)半）將兩張疊在一起的長方形紙帶同時扭轉(zhuǎn)半圈，把相

5、應(yīng)的端頭粘合在一起；圈，把相應(yīng)的端頭粘合在一起；（2）把食指放在兩層帶之間移動；）把食指放在兩層帶之間移動；（3）把雙層帶拉開成單層帶，比較雙、單層帶）把雙層帶拉開成單層帶，比較雙、單層帶的長度與扭轉(zhuǎn)半圈數(shù)；的長度與扭轉(zhuǎn)半圈數(shù)；（4）將單層帶恢復(fù)為雙層帶，同時沿它的中間）將單層帶恢復(fù)為雙層帶，同時沿它的中間線剪開。線剪開。再次見證奇跡還有更神奇的！還有更神奇的！從從1 13 3處剪開處剪開 ！從從1 14 4處剪開處剪開 ！從從1 1n n處剪開處剪開 ！表表1 麥比烏斯帶從邊緣麥比烏斯帶從邊緣 處剪開處剪開記錄情況記錄情況n的取值的取值所得新環(huán)所得新環(huán)帶個數(shù)帶個數(shù)新環(huán)帶與新環(huán)帶與原帶長度原帶

6、長度新環(huán)帶扭新環(huán)帶扭轉(zhuǎn)半圈數(shù)轉(zhuǎn)半圈數(shù)新環(huán)帶之新環(huán)帶之間的關(guān)系間的關(guān)系n121為原帶為原帶長長2倍倍232大：倍大：倍?。合嗟刃。合嗟却螅捍螅盒。盒。哼B接連接2都為原帶都為原帶長倍長倍連接連接研究報告提綱研究報告提綱分為奇、偶數(shù)兩種情況分析：分為奇、偶數(shù)兩種情況分析：1、用、用n表示剪得的新環(huán)帶個數(shù)；表示剪得的新環(huán)帶個數(shù)；2、新環(huán)帶與原帶長的數(shù)量關(guān)系；、新環(huán)帶與原帶長的數(shù)量關(guān)系；3、新環(huán)帶扭轉(zhuǎn)的半圈數(shù)；、新環(huán)帶扭轉(zhuǎn)的半圈數(shù)；4、新環(huán)帶之間的位置關(guān)系。、新環(huán)帶之間的位置關(guān)系。課題延伸課題延伸 1、 麥比烏斯帶的意義麥比烏斯帶的意義 麥比烏斯帶乍看起來似乎不過是新奇的玩麥比烏斯帶乍看起來似乎不過是新

7、奇的玩具而已，但它的涵義卻是很深刻的麥比具而已，但它的涵義卻是很深刻的麥比烏斯烏斯1858年就發(fā)現(xiàn)了它，可有關(guān)論文在巴年就發(fā)現(xiàn)了它，可有關(guān)論文在巴黎研究院的卷宗里埋藏了黎研究院的卷宗里埋藏了7年之久年之久1865 年發(fā)表出來后以它奇妙的單側(cè)性吸引無數(shù)學(xué)年發(fā)表出來后以它奇妙的單側(cè)性吸引無數(shù)學(xué)者步人了拓?fù)涞牡钐?，對至今才僅有一百者步人了拓?fù)涞牡钐茫瑢χ两癫艃H有一百多年歷史的扮撲學(xué)科的誕生和發(fā)展起了不多年歷史的扮撲學(xué)科的誕生和發(fā)展起了不可估量的作用可估量的作用2、麥比烏斯帶的應(yīng)、麥比烏斯帶的應(yīng)用與價值用與價值 機(jī)械傳動中使用的平面皮機(jī)械傳動中使用的平面皮帶若以麥比烏斯帶的方式帶若以麥比烏斯帶的方式制

8、作，損耗就較平均，從制作，損耗就較平均，從而可延長使用壽命而可延長使用壽命1979年，美國著名輪胎公司百年，美國著名輪胎公司百路馳創(chuàng)造性地把傳送帶制成麥路馳創(chuàng)造性地把傳送帶制成麥比烏斯圈形狀，這樣一來，整比烏斯圈形狀，這樣一來，整條傳送帶環(huán)面各處均勻地承受條傳送帶環(huán)面各處均勻地承受磨損，避免了普通傳送帶單面磨損，避免了普通傳送帶單面受損的情況，使得其壽命延長受損的情況，使得其壽命延長了整整一倍。了整整一倍。 美國科羅拉多大學(xué)化學(xué)系的沃爾巴等三美國科羅拉多大學(xué)化學(xué)系的沃爾巴等三位教授在實驗室第一次合成了形狀和麥比烏位教授在實驗室第一次合成了形狀和麥比烏斯帶一樣的麥比烏斯分子制作這種分子的斯帶一樣

9、的麥比烏斯分子制作這種分子的方法同制作麥比烏斯帶的方法極其相似：先方法同制作麥比烏斯帶的方法極其相似：先制造出四經(jīng)基甲撐二醇制造出四經(jīng)基甲撐二醇p磺酸聯(lián)甲苯三元化合磺酸聯(lián)甲苯三元化合物（簡稱迪米二醇聯(lián)甲苯合物），然后將該物（簡稱迪米二醇聯(lián)甲苯合物），然后將該化合物分子兩端按麥比烏斯帶的方式化合物分子兩端按麥比烏斯帶的方式“連接連接”起來，就形成了具有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的迪米起來，就形成了具有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的迪米麥比麥比烏斯分子若將這種分子的雙鍵剖開，可得烏斯分子若將這種分子的雙鍵剖開，可得到環(huán)徑加一倍而分子量不變的大環(huán)三位科到環(huán)徑加一倍而分子量不變的大環(huán)三位科學(xué)家還打算合成拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)更為驚人的有機(jī)分學(xué)家還打算合

10、成拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)更為驚人的有機(jī)分子，以便探索出一套研究有機(jī)化學(xué)的新方子，以便探索出一套研究有機(jī)化學(xué)的新方法法針式打印機(jī)靠打印針擊打色帶在紙上留下一個一個的墨點，為充分利用色帶的全部針式打印機(jī)靠打印針擊打色帶在紙上留下一個一個的墨點，為充分利用色帶的全部表面，色帶也常被設(shè)計成麥比烏斯圈。表面，色帶也常被設(shè)計成麥比烏斯圈。在美國匹茲堡著名肯尼森林游樂園里，就有一部在美國匹茲堡著名肯尼森林游樂園里，就有一部“加強(qiáng)版加強(qiáng)版”的云霄飛車的云霄飛車它的軌道是一個麥比烏斯圈。乘客在軌道的它的軌道是一個麥比烏斯圈。乘客在軌道的兩面上飛馳。兩面上飛馳。 垃圾回收標(biāo)志power architecture 標(biāo)志麥比烏斯圈

11、循環(huán)往復(fù)的幾何特征，蘊(yùn)含著永恒、無限的意義，因麥比烏斯圈循環(huán)往復(fù)的幾何特征，蘊(yùn)含著永恒、無限的意義，因此常被用于各類標(biāo)志設(shè)計。微處理器廠商此常被用于各類標(biāo)志設(shè)計。微處理器廠商power architecture的商的商標(biāo)就是一條麥比烏斯圈，甚至垃圾回收標(biāo)志標(biāo)就是一條麥比烏斯圈，甚至垃圾回收標(biāo)志和麥比烏斯帶相似的三維封閉形和麥比烏斯帶相似的三維封閉形 克萊因瓶：克萊因瓶： 克萊因瓶是德國數(shù)學(xué)家克萊因克萊因瓶是德國數(shù)學(xué)家克萊因1882年發(fā)現(xiàn)的，年發(fā)現(xiàn)的，它是麥比烏斯帶的三維情況。從拓?fù)鋵W(xué)的觀點看，它它是麥比烏斯帶的三維情況。從拓?fù)鋵W(xué)的觀點看，它實際上是兩條麥比烏斯帶沿邊緣粘合而成的，說得直實際上是

12、兩條麥比烏斯帶沿邊緣粘合而成的，說得直觀些，它就是將圓柱面兩端的觀些，它就是將圓柱面兩端的圓周扭轉(zhuǎn)圓周扭轉(zhuǎn)180粘合而成的，粘合而成的，這是一個閉曲面，也是單側(cè)的，這是一個閉曲面，也是單側(cè)的，沒有里面和外面之分，在拓?fù)錄]有里面和外面之分，在拓?fù)鋵W(xué)中，它差不多與麥比烏斯帶學(xué)中，它差不多與麥比烏斯帶齊名齊名在在 1882年，著名數(shù)學(xué)家菲利克斯年，著名數(shù)學(xué)家菲利克斯克萊因克萊因 (felix klein) 發(fā)現(xiàn)了后發(fā)現(xiàn)了后來以他的名字命名的著名來以他的名字命名的著名“瓶子瓶子”。這是一個象球面那樣封閉的。這是一個象球面那樣封閉的（也就是說沒有邊）曲面，但是它卻只有一個面。在圖片上我們（也就是說沒有邊

13、）曲面，但是它卻只有一個面。在圖片上我們看到，克萊因瓶的確就象是一個瓶子。但是它沒有瓶底，它的瓶看到，克萊因瓶的確就象是一個瓶子。但是它沒有瓶底，它的瓶頸被拉長，然后似乎是穿過了瓶壁，最后瓶頸和瓶底圈連在了一頸被拉長，然后似乎是穿過了瓶壁，最后瓶頸和瓶底圈連在了一起。如果瓶頸不穿過瓶壁而從另一邊和瓶底圈相連的話，我們就起。如果瓶頸不穿過瓶壁而從另一邊和瓶底圈相連的話，我們就會得到一個輪胎面會得到一個輪胎面(即環(huán)面即環(huán)面)。 克萊因瓶是一個在四維空克萊因瓶是一個在四維空間中才可能真正表現(xiàn)出來間中才可能真正表現(xiàn)出來的曲面，如果我們一定要的曲面，如果我們一定要把它表現(xiàn)在我們生活的三把它表現(xiàn)在我們生活的三維空間中我們只好將就點，維空間中我們只好將就點，只好把它表現(xiàn)得似乎和自只好把它表現(xiàn)得似乎和自己相交一樣。事實上克萊己相交一樣。事實上克萊因瓶的瓶頸是穿過了第四因瓶的瓶頸是穿過了第四維空間再和瓶底連起來的，維空間再和瓶底連起來的，并不穿過瓶壁。并不穿過瓶壁?？巳R因瓶從上往下的投影即為太極圖?？巳R因瓶從上往下的投影即為太極圖。 太極圖抽象地表達(dá)了存在于一切事物之中的絕對性質(zhì)太極圖抽象地表達(dá)了存在于一切事物之中的絕對性質(zhì)陰與陽和它們的統(tǒng)一，陰與陽和它們的統(tǒng)一，這就是古老的中國理念這就是古老的中國理念“道道” 和和“易易”。“知其白，守其黑，為天下式，常德知其白，守其黑，為天下式，常德不忒，