解封軍信息工程學(xué)院信號(hào)系統(tǒng)課件

1、2-1 引引 言言線(xiàn)性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析，就是一個(gè)建立和求解線(xiàn)性微分線(xiàn)性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析，就是一個(gè)建立和求解線(xiàn)性微分方程的過(guò)程。方程的過(guò)程。 一、建立數(shù)學(xué)模型一、建立數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型的建立過(guò)程與應(yīng)用系統(tǒng)的特性有關(guān)。對(duì)電系統(tǒng)而言，數(shù)學(xué)模型的建立過(guò)程與應(yīng)用系統(tǒng)的特性有關(guān)。對(duì)電系統(tǒng)而言，電路分析電路分析課程中已經(jīng)提供了相應(yīng)的理論和方法，主要有課程中已經(jīng)提供了相應(yīng)的理論和方法，主要有kcl和和kvl方程。方程。 線(xiàn)性非時(shí)變系統(tǒng)的微分方程的一般形式為：線(xiàn)性非時(shí)變系統(tǒng)的微分方程的一般形式為：)()(.)()()()(.)()(0111101111tebtedtdbtedtdbtedtdbtrat

2、rdtdatrdtdatrdtdmmmmmmnnnnn第二章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析二、求解（時(shí)域解）二、求解（時(shí)域解）1、時(shí)域法、時(shí)域法將響應(yīng)分為通解和特解兩部分：將響應(yīng)分為通解和特解兩部分：1） 通解：有方程左邊部分得到的特征方程所得到的特征頻率解通解：有方程左邊部分得到的特征方程所得到的特征頻率解得的系統(tǒng)的自然響應(yīng)（或自由響應(yīng)）；得的系統(tǒng)的自然響應(yīng)（或自由響應(yīng)）；2） 特解：由激勵(lì)項(xiàng)得到的系統(tǒng)的受迫響應(yīng)；特解：由激勵(lì)項(xiàng)得到的系統(tǒng)的受迫響應(yīng)；3） 帶入初始條件，確定通解和特解中的待定系數(shù)。帶入初始條件，確定通解和特解中的待定系數(shù)。 經(jīng)典解法在激勵(lì)信號(hào)形式簡(jiǎn)單時(shí)求解比較簡(jiǎn)單，但是激勵(lì)信號(hào)經(jīng)典

3、解法在激勵(lì)信號(hào)形式簡(jiǎn)單時(shí)求解比較簡(jiǎn)單，但是激勵(lì)信號(hào)形式比較復(fù)雜時(shí)求解就不容易了形式比較復(fù)雜時(shí)求解就不容易了這時(shí)候很難確定特解的形式。這時(shí)候很難確定特解的形式。 2、卷積法（或近代時(shí)域法，算子法）、卷積法（或近代時(shí)域法，算子法） 這種方法將響應(yīng)分為兩個(gè)部分，分別求解：這種方法將響應(yīng)分為兩個(gè)部分，分別求解： 1）零輸入響應(yīng)：系統(tǒng)在沒(méi)有輸入激勵(lì)的情況下，僅僅由）零輸入響應(yīng)：系統(tǒng)在沒(méi)有輸入激勵(lì)的情況下，僅僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)引起的響應(yīng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)引起的響應(yīng) ； 2）狀態(tài)為零（沒(méi)有初始儲(chǔ)能）的條件下，僅僅由輸入信）狀態(tài)為零（沒(méi)有初始儲(chǔ)能）的條件下，僅僅由輸入信號(hào)引起的響應(yīng)號(hào)引起的響應(yīng) 。)(trzi)(

4、trzs l l 系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)可以用經(jīng)典法求解，在其中只有自然響應(yīng)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)可以用經(jīng)典法求解，在其中只有自然響應(yīng)部分；部分；l l 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)也可以用經(jīng)典法求解，但是用卷積積分法系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)也可以用經(jīng)典法求解，但是用卷積積分法更加方便。借助于計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算，可以求出任意信號(hào)激勵(lì)下的更加方便。借助于計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算，可以求出任意信號(hào)激勵(lì)下的響應(yīng)（數(shù)值解）。所以這種方法有很大的實(shí)用價(jià)值。響應(yīng)（數(shù)值解）。所以這種方法有很大的實(shí)用價(jià)值。l l 卷積法要求激勵(lì)信號(hào)是一個(gè)有始信號(hào)，否則無(wú)法確定初始狀卷積法要求激勵(lì)信號(hào)是一個(gè)有始信號(hào)，否則無(wú)法確定初始狀態(tài)。態(tài)。l l 零輸入響應(yīng)與自然響應(yīng)、

5、零狀態(tài)響應(yīng)與受迫響應(yīng)之間并不相零輸入響應(yīng)與自然響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)與受迫響應(yīng)之間并不相等，具體對(duì)比見(jiàn)等，具體對(duì)比見(jiàn)2-9 經(jīng)典法在高等數(shù)學(xué)中已有詳細(xì)介紹。本課程中重點(diǎn)介紹近代時(shí)經(jīng)典法在高等數(shù)學(xué)中已有詳細(xì)介紹。本課程中重點(diǎn)介紹近代時(shí)域法。域法。 一、微分算子一、微分算子通過(guò)微分算子可以簡(jiǎn)化微分方程的表示。通過(guò)微分算子可以簡(jiǎn)化微分方程的表示。微分算子：令微分算子：令 ， ，dtdp nnndtdp tdp)(1 l l 利用算子可以將電路中的電感和電容的伏安特性記利用算子可以將電路中的電感和電容的伏安特性記為：為： 即可以將電感和電容記成阻值為即可以將電感和電容記成阻值為 和和 的電阻的電阻。llip

6、luccipcu1plpl1l l 利用算子可以將微分方程表示為：利用算子可以將微分方程表示為：)()(.)()()()(.)()(01110111tebtpebtepbtepbtratpratrpatrpmmmmnnn2-2 系統(tǒng)微分方程的算子表示系統(tǒng)微分方程的算子表示 注意上面只是微分方程的一種簡(jiǎn)單記法，并不代表能進(jìn)行注意上面只是微分方程的一種簡(jiǎn)單記法，并不代表能進(jìn)行這樣的計(jì)算。這樣的計(jì)算。)().()().(01110111tebpbpbpbtrapapapmmmmnnn按照代數(shù)運(yùn)算法則，提取公因子，可以將上式簡(jiǎn)化為：按照代數(shù)運(yùn)算法則，提取公因子，可以將上式簡(jiǎn)化為：)().().()(0

7、1110111teapapapbpbpbpbtrnnnmmmm或進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：或進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：)()().().()(01110111pdpnapapapbpbpbpbphnnnmmmm定義：定義：)()()(tephtr則：則： 二、算子運(yùn)算法則二、算子運(yùn)算法則1、 mp+np=(m+n)p ，其中，其中m,n為任意整數(shù)。為任意整數(shù)。2、 pmpn=p(m+n) ,其中其中m,n同為任意正整數(shù)（或負(fù)整數(shù)）。同為任意正整數(shù)（或負(fù)整數(shù)）。3、 ，但是：但是：1） 不一定等于不一定等于1微分和積分的次序不能交換；微分和積分的次序不能交換；2）如果）如果px(t)=py(t) ,不一定能夠推出不一定

8、能夠推出 x(t)=y(t) ，只能得到，只能得到x(t)=y(t) +c 等式兩邊的公共因子不能抵消。等式兩邊的公共因子不能抵消。 可見(jiàn)，大部分代數(shù)運(yùn)算法則可以使用，但是有一些不能用。可見(jiàn)，大部分代數(shù)運(yùn)算法則可以使用，但是有一些不能用。11pppp1233)(2pppph三、舉例三、舉例2-3 系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)對(duì)它有兩種解法：對(duì)它有兩種解法：1）經(jīng)典解法）經(jīng)典解法2)、等效源法、等效源法0)().()()(0111trapapaptrpdnnn零輸入響應(yīng)是下列其次方程的解：零輸入響應(yīng)是下列其次方程的解：一、經(jīng)典法一、經(jīng)典法用經(jīng)典法求解零輸入響應(yīng)由如下兩步構(gòu)成用經(jīng)典法求解零輸入

9、響應(yīng)由如下兩步構(gòu)成1、確定系統(tǒng)的自然頻率、確定系統(tǒng)的自然頻率令令d(p)=0，將，將p看成一個(gè)代數(shù)量，解得其看成一個(gè)代數(shù)量，解得其n個(gè)特征根。個(gè)特征根。2、確定零輸入響應(yīng)的形式解：、確定零輸入響應(yīng)的形式解：1）如果沒(méi)有重根，則可以確定其形式解為：）如果沒(méi)有重根，則可以確定其形式解為：n,.,21nititnttziinecececectr121.)(21nccc,.,21其中其中 為待定常數(shù)。為待定常數(shù)。 3、根據(jù)初始條件，確定待定系數(shù)。、根據(jù)初始條件，確定待定系數(shù)。一般的初始條件為已知零時(shí)刻的響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)一般的初始條件為已知零時(shí)刻的響應(yīng)及其各階導(dǎo)數(shù)帶入形式解中就可以確定待定系數(shù)。帶入形式

10、解中就可以確定待定系數(shù)。)0(),.,0( ),0( ),0()1( nrrrrnnnnnnnnnnncccrcccrcccrcccr)1(2)1(21)1(1)1(2222121221121.)0(.)0( .)0( .)0(其它形式的初始條件，其它形式的初始條件，以及特征方程中有重根以及特征方程中有重根的情況下的待定系數(shù)也的情況下的待定系數(shù)也可以用相似的方法和過(guò)可以用相似的方法和過(guò)程解出。程解出。 2）如果有重根，假設(shè)）如果有重根，假設(shè) 1 是一個(gè)是一個(gè)k重根，即重根，即 1 = 2 = k nkitikitiitntktkktttziinkecetcececetcetctecectr11

11、1112321111111.)(則形式解為：則形式解為：例例1：r=2 ,l=1h,c=1f,il(0-)=0,uc(0-)=10v,求求rlc串聯(lián)電路串聯(lián)電路的響應(yīng)電流的響應(yīng)電流i(t),t0lcruluci+- -+- -+- -ur223)(2pppphr(0)=1,r(0)=2,求零輸入響應(yīng)求零輸入響應(yīng)答案：答案：i(t)= -10te-t， r(t)=e-t(cost+3sint)例例2:223)(2pppph 二、等效源法二、等效源法 這種方法將初始條件看成是一個(gè)在這種方法將初始條件看成是一個(gè)在t=0的瞬間加上的激勵(lì)源的瞬間加上的激勵(lì)源（階躍或沖激），然后將系統(tǒng)的初始條件歸為零，從

12、而將求（階躍或沖激），然后將系統(tǒng)的初始條件歸為零，從而將求解零輸入響應(yīng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解零狀態(tài)響應(yīng)的問(wèn)題，在后面解零輸入響應(yīng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解零狀態(tài)響應(yīng)的問(wèn)題，在后面求解零狀態(tài)響應(yīng)中一并處理。求解零狀態(tài)響應(yīng)中一并處理。 求解零狀態(tài)響應(yīng)的基本思想求解零狀態(tài)響應(yīng)的基本思想1） 將任意信號(hào)分解為一系列將任意信號(hào)分解為一系列“標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一”的子信號(hào)之和的子信號(hào)之和（或積分）；（或積分）；2） 求系統(tǒng)對(duì)各個(gè)子信號(hào)的響應(yīng)；求系統(tǒng)對(duì)各個(gè)子信號(hào)的響應(yīng)；3） 將各子信號(hào)的響應(yīng)相疊加，從而得到系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)信號(hào)的將各子信號(hào)的響應(yīng)相疊加，從而得到系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)信號(hào)的響應(yīng)。這其中利用到了信號(hào)的齊次性和疊加性；響應(yīng)。這其中利用

13、到了信號(hào)的齊次性和疊加性；子信號(hào)的選取對(duì)系統(tǒng)分析至關(guān)重要。為了利于分析，要求子信號(hào)的選取對(duì)系統(tǒng)分析至關(guān)重要。為了利于分析，要求子信號(hào)具有：子信號(hào)具有：1）完備性：任意函數(shù)（或決大部分函數(shù)）都可以分解為該）完備性：任意函數(shù)（或決大部分函數(shù)）都可以分解為該子信號(hào)的和，沒(méi)有（或幾乎沒(méi)有）例外；子信號(hào)的和，沒(méi)有（或幾乎沒(méi)有）例外；2）簡(jiǎn)單性：容易求得系統(tǒng)對(duì)該子信號(hào)的響應(yīng)；）簡(jiǎn)單性：容易求得系統(tǒng)對(duì)該子信號(hào)的響應(yīng)；3）相似性：不同子信號(hào)的響應(yīng)具有內(nèi)在聯(lián)系，可以類(lèi)推。）相似性：不同子信號(hào)的響應(yīng)具有內(nèi)在聯(lián)系，可以類(lèi)推。一一 單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)1. 定義定義 0)( 10)( 0)(ttt )(t 用用來(lái)

14、描述開(kāi)關(guān)的動(dòng)作來(lái)描述開(kāi)關(guān)的動(dòng)作t = 0合閘合閘 u(t) = e)(t t = 0合閘合閘 i(t) = is)(t t (t)01isk)(tiu(t)(te keu(t)2-4 奇異函數(shù)2. 單位階躍函數(shù)的延遲單位階躍函數(shù)的延遲 )( 1)( 0)(000tttttt 3. 由單位階躍函數(shù)可組成復(fù)雜的信號(hào)由單位階躍函數(shù)可組成復(fù)雜的信號(hào)例例 1)()()(0ttttf (t)tf(t)101t0tf(t)0t (t-t0)t001t0- (t-t0)1t1 f(t)0)(tt )1()1( tt4、性質(zhì)、性質(zhì)任何一個(gè)函數(shù)任何一個(gè)函數(shù)f(t)乘以單位階躍函數(shù)后，其乘積在階躍之乘以單位階躍函數(shù)

15、后，其乘積在階躍之前為零，在階躍之后保持原前為零，在階躍之后保持原f(t)值。值。例：畫(huà)出f(t-2)(t-2)的波形1t1 f(t)0-11t1 f(t-2) (t-2)02例例 21t1 f(t)0f(t)=t(t)- (t-1)+ (t-1)=t (t)-(t-1) (t-1)二、單位沖激函數(shù)二、單位沖激函數(shù)1. 單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù) p(t)()(1)( tttp 1d)( ttp 1/ tp(t)0 1 0)()(lim0ttp 2. 單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù) (t) / 21/ tp(t)- / 2)2()2(1)( tttp 定義定義 0)( 00)( 0)(ttt 1d)(

16、tt t (t)(1)0+-c+uc-icus例例 2/ 2/2/)2/(2/ 0 tettetusscuu uste /20- /2tuciccdd )2/()2/( ttcece/ ic 0uce (t)ic ce (t)ictce (t)0ucte0ict /2ce/ 0- /2ucte /20- /2)()(tdtdtk+ucecic3. 單位沖激函數(shù)的延遲單位沖激函數(shù)的延遲 (t-t0) 1d)()( 0)(000ttttttt t = t0ictce (t-t0)t00t (t-t0)t00（1）4. 函數(shù)的篩分性函數(shù)的篩分性 tttfd)()( )(d)()(00tfttttf

17、同理有：同理有： d)6()(sin tttt f(0) (t)02. 162166sin )0(d)()0(fttf 例例t (t)(1)0f(t)f(0)* f(t)在在 t0 處連續(xù)處連續(xù) 總結(jié)：總結(jié)：1）l l 顯然，該函數(shù)只在顯然，該函數(shù)只在t=0處為非零值，其它各處都為零處為非零值，其它各處都為零；l l 和和 互為微分和積分互為微分和積分 l l 沖激函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)沖激函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)l l ， l l l l 沖激函數(shù)的圖形表示方法：位置，強(qiáng)度。沖激函數(shù)的圖形表示方法：位置，強(qiáng)度。 )(t)()(tdtdt)(t)(ttdt)()(1)(d)()(tt)0()()()(ftt

18、ft)()()()(000tftttftt)0()()(fdtttf)()()(00tfdttttf)(1)(taatt)()(0ttatf(a)t0 2）分配函數(shù)）分配函數(shù)這是沖激函數(shù)的另外一種定義方法，它通過(guò)函數(shù)對(duì)另外一個(gè)函數(shù)這是沖激函數(shù)的另外一種定義方法，它通過(guò)函數(shù)對(duì)另外一個(gè)函數(shù)的作用來(lái)定義這個(gè)函數(shù)。參見(jiàn)的作用來(lái)定義這個(gè)函數(shù)。參見(jiàn)p93附錄。這種定義在數(shù)學(xué)上比較附錄。這種定義在數(shù)學(xué)上比較嚴(yán)格，但是難于理解。嚴(yán)格，但是難于理解。例例1：計(jì)算：計(jì)算02)(dttetf(t)44t（1）（2）f(t)t1att2f(t)11t（3）-12例例2：寫(xiě)出所示信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式：寫(xiě)出所示信號(hào)的時(shí)域表達(dá)

19、式f(t)，并畫(huà)出，并畫(huà)出f(t)的導(dǎo)數(shù)的波形。的導(dǎo)數(shù)的波形。在近代時(shí)域法中使用的子信號(hào)是階躍函數(shù)和沖激函數(shù)。本節(jié)在近代時(shí)域法中使用的子信號(hào)是階躍函數(shù)和沖激函數(shù)。本節(jié)討論如何將信號(hào)分解為沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的和（或積分）討論如何將信號(hào)分解為沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的和（或積分）。 一、任意有始函數(shù)表示為階躍信號(hào)的和（積分）一、任意有始函數(shù)表示為階躍信號(hào)的和（積分） 將任意信號(hào)近似表示為多個(gè)階躍函數(shù)之和。各個(gè)子信號(hào)為將任意信號(hào)近似表示為多個(gè)階躍函數(shù)之和。各個(gè)子信號(hào)為：)()0()(0tftfttttftfttftftf)()0()()()0()()(1ttktttkftkftkttkftkftfk) 1

20、() 1()()() 1()()(2-5 信號(hào)的時(shí)域分解信號(hào)的時(shí)域分解tktf(0)f(t)t(k-1)tf(kt)- f(k-1)t)總和為：總和為： .) 1() 1()(.)()2()(0)()(0.)(.)()()(10ttktttkftkftttttftftttftftftftftftfka）（tkttkftktttkftkf)( ) 1() 1()(tdtftftf0)()( )()0()(令令 td（或0） ，則，則tktf(0)f(t)t(k-1)tf(kt)- f(k-1)t)fa(t)l l 如果如果f(t)在在t=0處連續(xù)可導(dǎo)，上式可以簡(jiǎn)化為：處連續(xù)可導(dǎo)，上式可以簡(jiǎn)化為：

21、tdtftf0)()( )( 這種分析方法在六十年代應(yīng)用比較廣泛，當(dāng)時(shí)沖激函數(shù)沒(méi)有這種分析方法在六十年代應(yīng)用比較廣泛，當(dāng)時(shí)沖激函數(shù)沒(méi)有得到應(yīng)用。由于它需要計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，比較麻煩，現(xiàn)在，沖得到應(yīng)用。由于它需要計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，比較麻煩，現(xiàn)在，沖激函數(shù)應(yīng)用以后，這種分解方法就很少應(yīng)用了。激函數(shù)應(yīng)用以后，這種分解方法就很少應(yīng)用了。 二、任意函數(shù)表示為沖激函數(shù)之和（積分）二、任意函數(shù)表示為沖激函數(shù)之和（積分）將任意函數(shù)近似表示為一系列矩性脈沖函數(shù)之和，定義：將任意函數(shù)近似表示為一系列矩性脈沖函數(shù)之和，定義：其它001)(ttu則：則：)()0()(0tuftft)()()(1ttutftft)2()2

22、()(2ttutftft)()()(tktutkftftk.)()(.)()()()0(.)(.)()()(10tktutkfttutftuftftftftftttkb求和，可得：求和，可得：tktf(0)f(t)t(k-1)tf(kt)fb(t0)()(.)()(.)()()()0(ktttttttktutkftttktutkfttttutftttuf)0(或dt )()(tktttktut0)()()(dtftf令令，則，則dtftf)()()(l l 這個(gè)公式實(shí)際上可以直接從沖激函數(shù)的定義或性質(zhì)中這個(gè)公式實(shí)際上可以直接從沖激函數(shù)的定義或性質(zhì)中推導(dǎo)出，但是上面的推導(dǎo)更利于觀察其含義。推導(dǎo)出

23、，但是上面的推導(dǎo)更利于觀察其含義。l l 這種分解不僅可以用于有始信號(hào)，也可以用于一般信這種分解不僅可以用于有始信號(hào)，也可以用于一般信號(hào)，這時(shí)候公式可以改寫(xiě)成為：號(hào)，這時(shí)候公式可以改寫(xiě)成為： 這個(gè)公式更具有普遍性。這個(gè)公式更具有普遍性。)()(lim0ttp / 21/ tp(t)- / 2l l 公式中的積分上限也可以從公式中的積分上限也可以從 改為改為t，這樣不會(huì)影，這樣不會(huì)影響結(jié)果。這時(shí)候公式為：響結(jié)果。這時(shí)候公式為：tdtftf0)()()()()(trdtdthstsdhtr0)()(2-6 階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)一、定義一、定義階躍響應(yīng)：系統(tǒng)對(duì)單位階躍信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)

24、；階躍響應(yīng)：系統(tǒng)對(duì)單位階躍信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)；沖激響應(yīng)：系統(tǒng)對(duì)單位沖激信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)；沖激響應(yīng)：系統(tǒng)對(duì)單位沖激信號(hào)的零狀態(tài)響應(yīng)；一般用一般用 h(t)表示系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，表示系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，rs(t) 表示階躍響應(yīng)；表示階躍響應(yīng)；系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)之間有對(duì)應(yīng)關(guān)系：系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)之間有對(duì)應(yīng)關(guān)系： 因?yàn)樵谝驗(yàn)樵趖=0時(shí)可能發(fā)生狀態(tài)的跳變，所以必須對(duì)時(shí)可能發(fā)生狀態(tài)的跳變，所以必須對(duì)t=0左右左右的狀態(tài)加以區(qū)分，這就引出了兩個(gè)特殊的時(shí)刻：的狀態(tài)加以區(qū)分，這就引出了兩個(gè)特殊的時(shí)刻： 0-起始起始狀態(tài)；狀態(tài)； 0+初始狀態(tài)；初始狀態(tài)； 如前所述，現(xiàn)在很少將信號(hào)分解為階躍信號(hào)，所以一般如前所

25、述，現(xiàn)在很少將信號(hào)分解為階躍信號(hào)，所以一般沒(méi)有必要求階躍響應(yīng)，只要求沖激響應(yīng)就可以了。沒(méi)有必要求階躍響應(yīng)，只要求沖激響應(yīng)就可以了。二、系統(tǒng)沖激響應(yīng)的求解方法二、系統(tǒng)沖激響應(yīng)的求解方法l l 根據(jù)前面對(duì)信號(hào)的分解，根據(jù)前面對(duì)信號(hào)的分解， 信號(hào)可以分解為多個(gè)沖激信號(hào)信號(hào)可以分解為多個(gè)沖激信號(hào)f( ) (t- )的積分。如果知道信號(hào)的積分。如果知道信號(hào)對(duì)對(duì) (t)的響應(yīng)，利用線(xiàn)性移不變系統(tǒng)的線(xiàn)性和移不變特性，就可的響應(yīng)，利用線(xiàn)性移不變系統(tǒng)的線(xiàn)性和移不變特性，就可以得到系統(tǒng)對(duì)任意子信號(hào)以得到系統(tǒng)對(duì)任意子信號(hào)f( ) (t- )的響應(yīng)，從而就可以得到系統(tǒng)的響應(yīng)，從而就可以得到系統(tǒng)對(duì)整個(gè)信號(hào)的響應(yīng)。對(duì)整個(gè)

26、信號(hào)的響應(yīng)。l l 求解系統(tǒng)沖激響應(yīng)的方法有：求解系統(tǒng)沖激響應(yīng)的方法有：1）系統(tǒng)方程法：根據(jù)微分方程求解。書(shū)上）系統(tǒng)方程法：根據(jù)微分方程求解。書(shū)上p54頁(yè)介紹。頁(yè)介紹。2）初始條件法：將沖激激勵(lì)轉(zhuǎn)化成）初始條件法：將沖激激勵(lì)轉(zhuǎn)化成 0+ 時(shí)刻的初始條件，然后利時(shí)刻的初始條件，然后利用零輸入響應(yīng)的求解方法求解。用零輸入響應(yīng)的求解方法求解。p56頁(yè)介紹。頁(yè)介紹。3）系數(shù)平衡法：比較等式兩邊相同函數(shù)的系數(shù)，得到解答；例）系數(shù)平衡法：比較等式兩邊相同函數(shù)的系數(shù)，得到解答；例題題2-3 (p58)使用了這種方法。使用了這種方法。4）lt變換法：利用拉普拉斯變換求解。這種方法最簡(jiǎn)單。在后變換法：利用拉普拉

27、斯變換求解。這種方法最簡(jiǎn)單。在后面面ch5中介紹。中介紹。dtftf)()()()()()( tkthth1、一階系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的求解、一階系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的求解 ，或用算子表示為：，或用算子表示為：微分方差兩邊同時(shí)乘以微分方差兩邊同時(shí)乘以 e- t ，可以得到：，可以得到：)()(tpkth)()()( tkethethettt)()(tkethedtdttttdkedhedd00)()()()()(tketpktht或者簡(jiǎn)單記為：或者簡(jiǎn)單記為：三、沖激響應(yīng)的系統(tǒng)方程求解方法三、沖激響應(yīng)的系統(tǒng)方程求解方法heaviside 部分分式分解方法部分分式分解方法e- t h(t)-h(0-)=k (

28、t)h(t) =k e t (t) （注意：零狀態(tài)（注意：零狀態(tài)h(0-)=0，)2、一般系統(tǒng)，系統(tǒng)的特征根（、一般系統(tǒng)，系統(tǒng)的特征根（d(p)=0的根）無(wú)重根的根）無(wú)重根).()().().().()()()(21011101110111nmmmmnnnmmmmpppbpbpbpbapapapbpbpbpbpdpnph一般使用一般使用heaviside部分分式分解法，其基本原理等同于部分分式分解法，其基本原理等同于lt法。法。它將復(fù)雜系統(tǒng)變?yōu)樵S多個(gè)簡(jiǎn)單系統(tǒng)的和。它將復(fù)雜系統(tǒng)變?yōu)樵S多個(gè)簡(jiǎn)單系統(tǒng)的和。1） mn時(shí)，可以將時(shí)，可以將h(p)分解為分解為)(.)()(.)(2211111nnnnnm

29、mnmmpkpkpkcpcpcpcph)(.)()()(.)()()(2121)1(1)(tektektektctctcthtnttnnmmnmmn3、當(dāng)系統(tǒng)的特征根（、當(dāng)系統(tǒng)的特征根（d(p)=0的根）有重根假設(shè)的根）有重根假設(shè)m0時(shí)的零輸入響應(yīng)時(shí)的零輸入響應(yīng)a、具體電路、具體電路 b、化為初態(tài)的方法、化為初態(tài)的方法 d(p)h0(t)=n(p) (t)+)()()(0111tthapapapannnn確定初始條件：確定初始條件：0)0()0( )0()0()0()3()2(1)1(hhhhhnnann例：設(shè)微分方程例：設(shè)微分方程初態(tài)初態(tài))()(2)( 3)( tththth0)0(h求求h

30、(t)先求：先求： d(p)h (t)= (t)中的中的h(t)，即：即：則：則：h0(t)=n(p)h(t)tdtetete0)()( )()0()()()(trt)()(trt)()( )()( tretettdtredte00)()( )()( ttdtretredtete00)()( )()0()()( )()0(2-7 卷積積分卷積積分討論如何通過(guò)沖激響應(yīng)或階躍響應(yīng)求解系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的響應(yīng)。討論如何通過(guò)沖激響應(yīng)或階躍響應(yīng)求解系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的響應(yīng)。一、通過(guò)階躍響應(yīng)求解一、通過(guò)階躍響應(yīng)求解杜阿美爾積分杜阿美爾積分信號(hào)可以分解為一系列階躍函數(shù)的積分：信號(hào)可以分解為一系列階躍函數(shù)的積分：系統(tǒng)對(duì)階躍信

31、號(hào)的響應(yīng)：系統(tǒng)對(duì)階躍信號(hào)的響應(yīng)：時(shí)不變時(shí)不變齊次性齊次性疊加疊加tdtretrete0)()( )()0()(杜阿美積分杜阿美積分 可見(jiàn)，如果得到了系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，通過(guò)杜阿美積分，可見(jiàn)，如果得到了系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，通過(guò)杜阿美積分，就可以計(jì)算出系統(tǒng)對(duì)任意連續(xù)可導(dǎo)的信號(hào)就可以計(jì)算出系統(tǒng)對(duì)任意連續(xù)可導(dǎo)的信號(hào)e(t)的響應(yīng)。的響應(yīng)。1、如果激勵(lì)信號(hào)在、如果激勵(lì)信號(hào)在t=0處可導(dǎo)，則上式為：處可導(dǎo)，則上式為： tdtretrete0)()( )()0()(tdtrete0)()( )(2、通過(guò)變化積分變量，可以得到杜阿美積分的另外一種形式為：、通過(guò)變化積分變量，可以得到杜阿美積分的另外一種形式為： tdr

32、tetrete0)()( )()0()(因?yàn)樾枰?jì)算信號(hào)的導(dǎo)數(shù)，需要信號(hào)連續(xù)可導(dǎo)，所以這種方法目因?yàn)樾枰?jì)算信號(hào)的導(dǎo)數(shù)，需要信號(hào)連續(xù)可導(dǎo)，所以這種方法目前不常用。前不常用。 二、通過(guò)沖激響應(yīng)求解二、通過(guò)沖激響應(yīng)求解卷積積分卷積積分 信號(hào)可以分解為一系列沖激函數(shù)的積分：信號(hào)可以分解為一系列沖激函數(shù)的積分： tdtete0)()()()()(tht )()(tht)()()()(thetettdthedte00)()()()(tdthete0)()()(卷積積分卷積積分 可見(jiàn)，如果得到了系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，通過(guò)卷積積分，就可以計(jì)算可見(jiàn)，如果得到了系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，通過(guò)卷積積分，就可以計(jì)算出系統(tǒng)對(duì)任意信號(hào)

33、出系統(tǒng)對(duì)任意信號(hào)e(t)的響應(yīng)。與杜阿美積分相比，這里并不需的響應(yīng)。與杜阿美積分相比，這里并不需要信號(hào)連續(xù)，可導(dǎo)，所以其實(shí)用性大大優(yōu)于杜阿美積分。要信號(hào)連續(xù)，可導(dǎo)，所以其實(shí)用性大大優(yōu)于杜阿美積分。 tdthete0)()()(卷積積分卷積積分 1、通過(guò)變化積分變量，同樣可以得到卷積積分的另外一種、通過(guò)變化積分變量，同樣可以得到卷積積分的另外一種形式為：形式為： tdhtete0)()()(2、以上公式的應(yīng)用條件是：有始信號(hào)作用于因果系統(tǒng)。卷、以上公式的應(yīng)用條件是：有始信號(hào)作用于因果系統(tǒng)。卷積積分有另外一種更加通用的形式是：積積分有另外一種更加通用的形式是：dthete)()()(卷積卷積 dt

34、yxtytx)()()(*)(則卷積積分可以表示為：則卷積積分可以表示為： )(*)()(thtetr2-8 卷積及其性質(zhì)卷積及其性質(zhì) 一、卷積的定義一、卷積的定義dtfftftf)()()()(2121二、卷積的圖解二、卷積的圖解tdthethtetr0)()()(*)()(反褶反褶平移平移相乘相乘疊加（積分）疊加（積分） e(t)h(t)e() h(-1)t=-1,0r(-1)=0r(0)=0r(t)2th(-1)-1e()e()h(1-)1e() h(1-)1面積為面積為r(1)t=1e()h(2-)2e() h(2-)2面積為面積為r(2)t=2e()h(4-)4e() h(4-)4面

35、積為面積為r(4)t=4h(-)-1e()e() h(-)例：已知例：已知 f f1 1(t)=t(t)=t (t)- (t)- (t+1)(t+1)，f f2 2(t)= (t)= (t)- (t)- (t-1)(t-1) 求求 f(t)=ff(t)=f1 1(t) (t) f f2 2(t)(t)f(t)=0.5(1-t2) (t+1)- (t+1)- (t)+0.5(1-t)(t)+0.5(1-t)2 2 (t)- (t)- (t-1)(t-1)f f2 2(t-(t-) )1-1tf f1 1( () )-11f f1 1( ()f)f2 2(t-(t-) )-11t當(dāng)-1t0時(shí)梯形面

36、積為梯形面積為0.5(-t+1)(1+t)-1+tf f1 1( ()f)f2 2(t-(t-) )f f2 2(t-(t-) )1-1tf f1 1( () )-11-11當(dāng)0t1時(shí)面積為面積為0.5 (1-t)2f f1 1(t)(t)-11tf f2 2(t)(t)11tf f2 2(t-(t-) )1-1t=0三、卷積的性質(zhì)三、卷積的性質(zhì) 卷積的計(jì)算類(lèi)似于函數(shù)的乘法計(jì)算。它的很多性質(zhì)與乘法卷積的計(jì)算類(lèi)似于函數(shù)的乘法計(jì)算。它的很多性質(zhì)與乘法運(yùn)算性質(zhì)相同，但是也有一些不同。通過(guò)這些性質(zhì)，可以方便運(yùn)算性質(zhì)相同，但是也有一些不同。通過(guò)這些性質(zhì)，可以方便卷積的計(jì)算。卷積的計(jì)算。 1、與乘法運(yùn)算相

37、同的性質(zhì)：（、與乘法運(yùn)算相同的性質(zhì)：（ 代數(shù)運(yùn)算）代數(shù)運(yùn)算）1）交換率：）交換率：u(t) v(t)=v(t) u(t)2）分配率：）分配率：u(t) v(t)+w(t)= u(t) v(t)+ u(t) w(t)3）結(jié)合率：）結(jié)合率：u(t) v(t) w(t)= u(t) v(t) w(t)2、卷積的微積分、卷積的微積分與乘法不同與乘法不同 1）微分：）微分： )(*)()(*)()(*)(tvdtdtutvtudtdtvtudtd2）積分：）積分： tttdvtutvdudvu)(*)()(*)()(*)(3）微積分：）微積分： ttdvdttdudttdvdutvtu)()()()()

38、()(3、函數(shù)延時(shí)后的卷積、函數(shù)延時(shí)后的卷積 假設(shè)：假設(shè)： u(t) v(t)=f(t)則：則： u(t-t1) v(t-t2)=f(t-t1-t2)4、幾個(gè)特殊函數(shù)的卷積：、幾個(gè)特殊函數(shù)的卷積： )()(*)(tfttf)()(*)(00ttftttf)( )( *)(tfttf)( )( *)(00ttftttf)()(*)(0)(0)(ttftttfnntdfttf)()(*)( (t) (t) =t (t) ，e t (t) e t (t)=t e t (t) 若若f(t)=fa(t)*fb(t)fa(t)定義在定義在(ta1，ta2)fb(t)定義在定義在(tb1，tb2)則則f(t

39、)的定義范圍為：的定義范圍為：(ta1 +tb1， ta2 + tb2)例例1：求如圖所示：求如圖所示f1(t) f2(t)=y(t)在在t=0時(shí)的時(shí)的y(0)值。值。tf1(t)2-22-20f2(t)(2)1t0例例2：畫(huà)出如圖所示：畫(huà)出如圖所示f1(t) f2(t)=y(t)的波形圖。的波形圖。f1(t)1230tf2(t)-120t-0.5-4.5-4y(t)10t-2.5-1-22.51例例3： t(t)為周期為為周期為t的周期性單位沖激函數(shù)序列，的周期性單位沖激函數(shù)序列，)()2()()()()(ktttttttktttktf(t)如圖示如圖示2 tt0 t(t)3t2tt-2t

40、-t試求試求f(t) t(t)f (t)a- t0f (t) t(t)a- t0a +tta-t- -ta2t2-9 線(xiàn)性系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)域求解法線(xiàn)性系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)域求解法 一、近代時(shí)域法求解步驟一、近代時(shí)域法求解步驟1、求系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子、求系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子h(p)2、求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)求解方法：經(jīng)典法，等效源法求解方法：經(jīng)典法，等效源法l l 如果系統(tǒng)的初始條件為零，則本步可以省略。如果系統(tǒng)的初始條件為零，則本步可以省略。3、求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)、求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)1）求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)；）求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)；2）通過(guò)卷積積分，求系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)信號(hào)的響應(yīng)；）通過(guò)卷積積分，求系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)信號(hào)的

41、響應(yīng)；如果積分難于計(jì)算，可以通過(guò)計(jì)算機(jī)數(shù)值積分計(jì)算。如果積分難于計(jì)算，可以通過(guò)計(jì)算機(jī)數(shù)值積分計(jì)算。4、將零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)相疊加，得到總響應(yīng)。、將零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)相疊加，得到總響應(yīng)。 二、系統(tǒng)對(duì)指數(shù)激勵(lì)信號(hào)二、系統(tǒng)對(duì)指數(shù)激勵(lì)信號(hào)e(t)=est (t)的響應(yīng)的響應(yīng)受迫響應(yīng)自然響應(yīng)受迫響應(yīng)自然響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng))()()()()()()()()*()()()()(1111111teshteskcteskteskcteeskteceektectrtrtrstnitjjinjstjjnitjjinjtstjjnitinisttinitizsziiiiiii 其中其中h(s)為將激勵(lì)信

42、號(hào)的指數(shù)因子為將激勵(lì)信號(hào)的指數(shù)因子s帶入轉(zhuǎn)移算子帶入轉(zhuǎn)移算子h(p)中，作為代數(shù)表達(dá)式中，作為代數(shù)表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算而得到的數(shù)值。這個(gè)值實(shí)際上就是后面將要討論的拉普拉斯變換。進(jìn)行計(jì)算而得到的數(shù)值。這個(gè)值實(shí)際上就是后面將要討論的拉普拉斯變換。 小結(jié)：小結(jié)： 1、響應(yīng)信號(hào)按照其數(shù)學(xué)特性可以分為自然響應(yīng)和受迫響應(yīng)，、響應(yīng)信號(hào)按照其數(shù)學(xué)特性可以分為自然響應(yīng)和受迫響應(yīng)，也可以按照物理特性分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。其中零輸入也可以按照物理特性分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。其中零輸入響應(yīng)與自然響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)與受迫響應(yīng)從表面上看相似，但是響應(yīng)與自然響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)與受迫響應(yīng)從表面上看相似，但是它們并不相同：它們

43、并不相同： 1）零輸入響應(yīng)是自然響應(yīng)的一部分，但是自然響應(yīng)還包括了）零輸入響應(yīng)是自然響應(yīng)的一部分，但是自然響應(yīng)還包括了零狀態(tài)響應(yīng)響應(yīng)的一部分；零狀態(tài)響應(yīng)響應(yīng)的一部分； 2）受迫響應(yīng)是零狀態(tài)響應(yīng)的一部分，但零狀態(tài)響應(yīng)還包括自）受迫響應(yīng)是零狀態(tài)響應(yīng)的一部分，但零狀態(tài)響應(yīng)還包括自然響應(yīng)的一部分；然響應(yīng)的一部分； 2、系統(tǒng)響應(yīng)又有另外一種分法：、系統(tǒng)響應(yīng)又有另外一種分法： 1）瞬態(tài)響應(yīng)：隨時(shí)間增長(zhǎng)而趨于零的部分；）瞬態(tài)響應(yīng)：隨時(shí)間增長(zhǎng)而趨于零的部分； 2）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：隨時(shí)間增長(zhǎng)而不趨向零的部分。）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：隨時(shí)間增長(zhǎng)而不趨向零的部分。對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，自然響應(yīng)必定屬于瞬態(tài)響應(yīng)，受迫響應(yīng)則可能為對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，自然響應(yīng)必定屬于瞬態(tài)響應(yīng)，受迫響應(yīng)則可能為瞬態(tài)響應(yīng)，也可是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，具體情況視激勵(lì)信號(hào)的形式而定。瞬態(tài)響應(yīng)，也可是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，具體情況視激勵(lì)信號(hào)的形式而定?？傊?，信號(hào)的響應(yīng)有三種分類(lèi)：總之，信號(hào)的響應(yīng)有三種分類(lèi)： （1）零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)；）零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)； （2）自然響應(yīng)和受迫響應(yīng)；）自然響應(yīng)和受迫響應(yīng)； （3）瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。）瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 如果激勵(lì)信號(hào)的指數(shù)如果激勵(lì)信號(hào)的指數(shù)s與系統(tǒng)的某