計量經(jīng)濟學(xué)第6章假設(shè)檢驗

1、 第第6章章 回歸模型的假設(shè)檢驗回歸模型的假設(shè)檢驗 回歸分析回歸分析是要判斷解釋變量解釋變量x是否是被解釋變被解釋變量量y的一個顯著性的影響因素。 在一元線性模型一元線性模型中，就是要判斷x是否對y具有顯著的線性性影響。這就需要進行變量的顯著性變量的顯著性檢驗。檢驗。 變量的顯著性檢驗所應(yīng)用的方法是數(shù)理統(tǒng)計變量的顯著性檢驗所應(yīng)用的方法是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中的學(xué)中的假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗。 計量經(jīng)計學(xué)中計量經(jīng)計學(xué)中，主要是針對變量的參數(shù)真值，主要是針對變量的參數(shù)真值是否為零來進行顯著性檢驗的。是否為零來進行顯著性檢驗的。 第一節(jié)第一節(jié) 假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗 所謂假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗，就是事先對總體參數(shù)或總體分就是事先

2、對總體參數(shù)或總體分布形式作出一個假設(shè)，然后利用樣本信息來判斷布形式作出一個假設(shè)，然后利用樣本信息來判斷原假設(shè)是否合理，即判斷樣本信息與原假設(shè)是否原假設(shè)是否合理，即判斷樣本信息與原假設(shè)是否有顯著差異，從而決定是否接受或否定原假設(shè)有顯著差異，從而決定是否接受或否定原假設(shè)。 假設(shè)檢驗采用的邏輯推理方法是反證法。假設(shè)檢驗采用的邏輯推理方法是反證法。 先假定原假設(shè)正確，然后根據(jù)樣本信息，觀察由此假設(shè)而導(dǎo)致的結(jié)果是否合理，從而判斷是否接受原假設(shè)。 判斷結(jié)果合理與否，是基于判斷結(jié)果合理與否，是基于“小概率事件不易小概率事件不易發(fā)生發(fā)生”這一原理的這一原理的 1、顯著性檢驗、顯著性檢驗t檢驗檢驗 ),(221

3、1ixn)2(1112211ntsxtit t值是用來檢驗根據(jù)值是用來檢驗根據(jù)olsols估計出來的回歸系數(shù)是否顯著估計出來的回歸系數(shù)是否顯著的統(tǒng)計量。的統(tǒng)計量。 檢驗步驟：檢驗步驟： （1）對總體參數(shù)提出假設(shè) h0： 1=0， h1：10（2）以原假設(shè)h0構(gòu)造t統(tǒng)計量，并由樣本計算其值（3）給定顯著性水平，查t分布表，得臨界值t /2(n-2)(4) 比較，判斷 若 |t| t /2(n-2)，則拒絕h0 ，接受h1 ； 若 |t| t /2(n-2)，則拒絕h1 ，接受h0 ；t=11(2)( )bt ns b 對于一元線性回歸方程中的0，可構(gòu)造如下t統(tǒng)計量進行顯著性檢驗： )2(0022

4、200ntsxnxtii在上述收入-消費支出例中，首先計算2的估計值 134022107425000777. 04590020222221222nxyneiii0425. 00018. 07425000/13402221ixs41.98742500010/53650000134022220iixnxst統(tǒng)計量的計算結(jié)果分別為： 29.180425. 0777. 0111st048. 141.9817.103000st 給定顯著性水平=0.05，查t分布表得臨界值 t 0.05/2(8)=2.306 |t1|2.306，說明家庭可支配收入在家庭可支配收入在95%95%的置信的置信度下顯著，即是消

5、費支出的主要解釋變量；度下顯著，即是消費支出的主要解釋變量； |t2|2.306,表明在95%的置信度下，無法拒絕截距項為零的假設(shè)。 2、顯著性檢驗、顯著性檢驗f檢驗檢驗 f檢驗屬于回歸方程的顯著性檢驗，它是對所有參數(shù)感興趣的一種顯著性檢驗。其檢驗步驟為： 第一步：提出假設(shè)。 原假設(shè)h0： （ 同時為零） 備擇假設(shè)h1： 不同時為零01，01=001，第二步：構(gòu)造f統(tǒng)計量?？梢宰C明：1(1,2)(2)essffnrssn(2.4.6)即f統(tǒng)計量服從第一自由度為，第二自由度為n-2的t分布。f統(tǒng)計量的計算一般通過下列方差分析表進行。表2.4.2 方差分析表 變差來源 平方和 自由度 均方 f統(tǒng)計

6、量 回歸 殘差 ess rss 1 2n ess 22erss ns 1(2)essfrssn 總變差 tss 1n 21ytss ns 第三步：給定顯著水平 ，查f分布臨界值得到第四步：做出統(tǒng)計決策(1,2)fn例2.3.2仍以例2.2.1資料為例，f檢驗過程如下： 第一步：提出假設(shè)。 原假設(shè)h0： （ 同時為零） 備擇假設(shè)h1： 不同時為零01，01=001，第二步：計算f統(tǒng)計量 因為ess1602708.6 (計算過程見表2.4.3) 或直接取自輸出結(jié)果2.2.1中的方差分析部分“回歸分析（行） ss（列）”(1602708.6)。21()niirssyy 40158.071 (計算過程

7、見計算表2.3.3) 或直接取自輸出結(jié)果2.2.1中的方差分析部分“殘差（行） ss（列）”(40158.071)。(見方差分析表2.3.4)1602708.6/11399.0999940158.071 /10(2)essfrssn或直接取自輸出結(jié)果2.2.1中的方差分析部分“回歸分析（行） f（列）”(399.09999)。(見表2.4.4) 表2.4.3 計算表 汽車銷售量（輛） y 廣告費（萬元） x iy 2()iiyy 2 ()iyy 1000 1100 1250 1280 1360 1480 1500 1720 1800 1890 2100 2200 357 385 420 406

8、 490 525 602 651 735 721 840 924 1087.996761 1144.805205 1215.81576 1187.411538 1357.83687 1428.847425 1585.070646 1684.485423 1854.910755 1826.506533 2067.94242 2238.367752 7743.429946 2007.506395 1168.562264 8572.623296 4.679131397 2616.585929 7237.014811 1261.285179 3015.191015 4031.420352 1027.6

9、88435 1472.084394 219651.4805 169629.8636 116179.3406 136349.35 39533.28804 16337.75854 806.786042 16337.63447 88949.53623 72813.55346 261402.8959 464716.3697 表2.4.4 方差分析表 方差分析 變差來源 df ss ms f significance f 回歸 1 1602708.6 1602708.6 399.09999 2.16982e-09 殘差 10 40158.071 4015.8071 總計 11 1642866.7 第三步

10、：給定顯著水平5%，查f分布臨界值得到0.05(1,10)4.96f 第四步：做出統(tǒng)計決策 ，所以我們拒絕原假設(shè)0h，接受備擇假設(shè)，認為x與y 關(guān)系顯著即回歸方程顯著，f檢驗通過。 因為f=399.099990.05(1,10)4.96f三，結(jié)構(gòu)變化的三，結(jié)構(gòu)變化的f檢驗檢驗 結(jié)構(gòu)變化的f檢驗，也成為chow test，用于調(diào)查，檢驗經(jīng)濟分析中一個極其重要的問題，即“是否存在結(jié)構(gòu)變化”。步驟步驟1：在利用時間序列所做的回歸分析中，找出估算期間內(nèi)發(fā)生結(jié)構(gòu)變化的時點（分界點），以此時點為標(biāo)準(zhǔn)，將期間分為前期和后期。步驟步驟2：對前期，后期，全部期間進行回歸分析，求各自的殘差平方和 。步驟步驟3：根

11、據(jù)結(jié)構(gòu)變化的f檢驗公式，計算f值。rsrsssrs, 2s, 1:1ssr前期的殘差平方和 :1n前期的樣本數(shù) :2ssr后期的殘差平房和 :2n后期的樣本數(shù) :srr 全部期間的殘差平方和 :k解釋變量的數(shù) （1） ，1, 121knkn的情形。 結(jié)構(gòu)變化的 f 檢驗為 1) 1( 22s1) 21s(21kknnrsssrssrrsssrf （2） ，, 11 kn的情形（以及) 11 kn 21) 1(11nknssrssrssrf 步驟步驟4: 利用f分布表，對步驟3計算出的f值進行檢驗。在檢驗時，分別就上述（1）的情形中，自由度（分子，分母）= ，(2)的情形中，自由度 進行f檢驗。

12、 如果計算出的f值大于f分布表中的判定值，放棄“前期的回歸系數(shù)與后期的回歸系數(shù)完全相等”的假設(shè)，說明出現(xiàn)了結(jié)構(gòu)性變化。相反，如果計算出的f值小于f分布表中的判定值，不放棄“前期的回歸系數(shù)與后期的回歸系數(shù)完全相等”的假設(shè)，說明沒有發(fā)生結(jié)構(gòu)性變化。)22, 1(21knnk) 1,(12knn4、相關(guān)系數(shù)檢驗（r-test）由于一元線性回歸方程研究的是變量x與變量y之間的線性相關(guān)關(guān)系，所以我們可以用反映變量x與變量y之間的相關(guān)關(guān)系密切程度的相關(guān)系數(shù)來檢驗回歸方程的顯著性。 由于總體相關(guān)系數(shù)定義為ov( , )( )( )cx yvar xvar y設(shè)( ,),1,2,.,iix yin是( , )

13、x y的n組樣本觀測值，則我們稱 12211()()()()ninniiiixxyylxyrlxxlyyxxyy11122221111nnniiiiiiinnnniiiiiiiinx yxynxxnyy 1lxxblyy其中 xyl1()()nix xy y xxl21()niixxyyl21()niiyy為x與y的簡單線性相關(guān)系數(shù)，簡稱相關(guān)系數(shù)。它表示x和y的線性相 關(guān)關(guān)系的密切程度。其取值范圍為|r| 1，即-1 r 1。 當(dāng)r=-1時，表示x與y之間完全負相關(guān)； 當(dāng)r=1時，表示x與y之間完全正相關(guān)；當(dāng)r=0時，表示x與y之間無線性相關(guān)關(guān)系，即說明x與y可能無相關(guān)關(guān)系或x與y之間存在非線

14、性相關(guān)關(guān)系。5、四種檢驗的關(guān)系 前面介紹了t檢驗、擬合優(yōu)度（ ）檢驗、f檢驗和相關(guān)系數(shù)（r）檢驗，對于一元線性回歸方程來說，可以證明，這四種檢驗：2r221r ntr(2.4.8)2(2)frnf(2.4.9)2f t (2.4.10) 2rr (2.4.11)因此，對于一元線性回歸方程，我們只需作其中的一種檢驗即可。但對于多元線性回歸方程這四種檢驗有著不同的意義，并不是等價的，需分別進行檢驗。是等價的。5、回歸方程的標(biāo)準(zhǔn)記法 為了方便，我們往往將回歸方程的參數(shù)估計和系數(shù)的顯著性檢驗統(tǒng)計量結(jié)果放在一起。例如，對于例2.2.1，我們可以采用以下標(biāo)準(zhǔn)記法： 363.6891 + 2.028873x

15、 s（62.455288） （0.101558） t（ ）（ ）iy*5.8231909*19.977487 有時s（回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，有時也記為 ）也可不寫；t統(tǒng)計量右上角*的表示顯著性水平的大小，*一般表示在顯著性水平1下顯著，*一般表示在顯著性水平5下顯著，無*表示5下不顯著。 es第第2節(jié)節(jié) 預(yù)測與控制預(yù)測與控制 一、預(yù)測一、預(yù)測 （點預(yù)測、區(qū)間預(yù)測）（點預(yù)測、區(qū)間預(yù)測）二、控制二、控制 對于一元線性回歸模型iixy10給定樣本以外的解釋變量的觀測值x0，可以得到被解釋變量的預(yù)測值0 0 ，可以此作為其條件均值條件均值e(y|x=x0)或個別值個別值y0的一個近似估計注意：注意：嚴格地

16、說，這只是被解釋變量的預(yù)測值的估計值，而不是預(yù)測值。 原因:（1）參數(shù)估計量不確定； （2）隨機項的影響一、預(yù)測（一）點預(yù)測即0 y是0()e y的無偏估計量，但不是0y的無偏估計量。但00()0e yy，說明預(yù)測誤差00()yy在多次觀察中，平均值趨于零。因此，也可以用0 y作為0y的點估計值。 于是，我們把點預(yù)測分為兩種：一是平均值的點預(yù)測，二是個別值的點預(yù)測。利用回歸方程，對于x的一個固定值，推算出y的平均值的一個估計值，就是平均值的點預(yù)測；如果對于x的一個特定值，推算出y的一個個別值的估計值，則屬于個別值的點預(yù)測。例2.5.1仍以例2.2.1資料為例，若要估計廣告費用為1000萬元時，

17、所有12個汽車銷售分公司的汽車 銷售量的平均數(shù)為 0()e y363.6891 2.02887310002393（輛）， 就是平均值的點預(yù)測；若要估計廣告費用為602萬元的那個汽車銷售分公司的汽車銷售量為 0 y363.6891 2.0288736021585（輛） 就屬于個別值的點預(yù)測。 ( (二二) )、區(qū)間預(yù)測值、區(qū)間預(yù)測值 1、總體均值預(yù)測值的置信區(qū)間、總體均值預(yù)測值的置信區(qū)間 由于0100xy),(2211ixn),(22200iixnxn)(),(2)()(12010000varxcovxvaryvar0101000)()()(xexeye于是可以證明 2210/),(ixxcov

18、因此222022022202)(iiiixxxxxxnxyvar200222222xxxxnxnxxii)(20222xxnxxii故)(1(,(22020100ixxxnxny)2()(00100ntsxyty)(1(22020iyxxxns其中于是，在1-的置信度下，總體均值總體均值e(y|x0)的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 0202000)|(yystyxyesty2、總體個值預(yù)測值的預(yù)測區(qū)間、總體個值預(yù)測值的預(yù)測區(qū)間 由 y0=0+1x0+ 知:),(20100xny于是 )(11 (, 0(220200ixxxnnyy)2(0000ntsyytyy式中 :)(11 (220200iyyx

19、xxns從而在1-的置信度下， y0的置信區(qū)間的置信區(qū)間為002020000yyyystyysty在上述收入收入-消費支出消費支出例中，得到的樣本回歸函數(shù)為iixy777. 0172.103則在 x0=1000處， 0 = 103.172+0.7771000=673.84 29.37277425000)21501000(10113402)(20yvar而05.61)(0ys因此，總體均值總體均值e(y|x=1000)的95%的置信區(qū)間為： 673.84-2.30661.05 e(y|x=1000) 673.84+2.30661.05或 （533.05, 814.62） 同樣地，對于y在x=10

20、00的個體值個體值，其95%的置信區(qū)間為： 673.84 - 2.30661.05yx=1000 673.84 + 2.30661.05或 (372.03, 975.65) 總體回歸函數(shù)的置信帶（域）置信帶（域）（confidence band） 個體的置信帶（域）置信帶（域） 對于y的總體均值e(y|x)與個體值的預(yù)測區(qū)間（置信區(qū)間）:（1）樣本容量n越大，預(yù)測精度越高，反之預(yù)測精度越低；（2）樣本容量一定時，置信帶的寬度當(dāng)在x均值處最小，其附近進行預(yù)測（插值預(yù)測）精度越大；x越遠離其均值，置信帶越寬，預(yù)測可信度下降。二、控制所謂控制實際上就是預(yù)測的反問題。 即若因變量y取值于一定范圍內(nèi)，例

21、如 ， 已經(jīng)給定，求自變量x應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)。這等價于求 與 ，使得當(dāng) 時，因變量y以1- 的概率取值于 。12yyy12yy和1x2x1212( ,)( ,)min x xxmax x x1,2()y y 對于個別值的區(qū)間預(yù)測101 10022012002(2)()(2)()ybb xtnvar yyybb xtnvar yy由可以解出1x與2x作為x的控制限。 但應(yīng)注意，要實現(xiàn)控制必須 ，即應(yīng)有120 xx21002(2)()0yytnvar yy從而1y和2y應(yīng)滿足 210022(2)()yytnvar yy當(dāng)此條件滿足時，1212( ,),( ,)min x xmax x x 即為x

22、的控制范圍。 同理，對于平均值的區(qū)間預(yù)測2101 100222012002(2)()(2)()ybb xtnvar ye yybb xtnvar ye y由可以解出1x與2x作為x的控制限。 第第3 3節(jié)節(jié) 案例：案例：一元線性回歸模一元線性回歸模型的應(yīng)用型的應(yīng)用 已知某地區(qū)1978年2003年的國內(nèi)生產(chǎn)總值gdp與貨運周轉(zhuǎn)量的數(shù)據(jù)如下表所示：年 份 gdp (億元) 貨運周轉(zhuǎn)量 （億噸公里） 年 份 gdp (億元) 貨運周轉(zhuǎn)量 （ 億 噸 公里） 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 5.0 8.7

23、 12.0 16.0 19.0 22.0 25.0 28.0 36.0 40.0 41.0 32.0 34.0 9.0 12.0 14.0 15.0 17.0 20.0 20.5 23.5 30.0 35.0 32.0 24.0 28.0 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 44.0 47.0 54.0 56.5 56.0 57.0 59.0 63.0 66.5 67.0 70.5 70.6 73.0 32.0 34.0 37.0 40.0 44.0 43.5 43.5 43.5 44.0 45.5

24、47.0 46.0 52.0 試對其進行一元線性回歸分析。若2005年國內(nèi)生產(chǎn)總值gdp達到80億元，試對其貨運周轉(zhuǎn)量做出區(qū)間預(yù)測 。(5%)一、相關(guān)分析 繪制散點圖，以觀察國內(nèi)生產(chǎn)總值gdp與貨運周轉(zhuǎn)量之間的關(guān)系形態(tài)。 用excel軟件制作散點圖的步驟如下： 第一步：選擇“插入”下拉菜單。 第二步：選擇“圖表”選項 第三步：選擇xy散點圖。第四步：輸入數(shù)據(jù)區(qū)域。第五步：定義x軸為“國內(nèi)生產(chǎn)總值gdp”、y軸為“貨運周轉(zhuǎn)量”。 第六步：選擇新工作表插入還是作為其中的對象插入(在這里我們選擇作為其中的對象插入)。按“完成”。圖形如2.6.1所示。0102030405060020406080由圖2.6.1可以看出，國內(nèi)生產(chǎn)總值gdp與貨運周轉(zhuǎn)量之間具有線性相關(guān)關(guān)系。于是我們可以對國內(nèi)生產(chǎn)總值x與貨運周轉(zhuǎn)量y建立一元線性回歸方程 iy01bbix進行回歸分析。 二、回歸分析 用excel軟件進行回歸計算的步驟如下：第一步：選擇“工具”下拉菜單。第二步：選擇“數(shù)據(jù)分析”選項。第三步：在分析工具中，選擇“回歸”，然后按“確定”。第四步：定義自變量、因變量、置信度、輸出區(qū)域。選擇“確定”后得到如輸出結(jié)果62.6.1所示。summary output 回 歸 統(tǒng) 計 multiple r 0.9893081 r square 0.9787304 adjusted r sq