吳新慧直線與橢圓的位置關(guān)系(二)

1、直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓的位置關(guān)系怎么判斷它們之間的位置關(guān)系？怎么判斷它們之間的位置關(guān)系？問題問題1：直線與圓的位置關(guān)系有哪幾種？：直線與圓的位置關(guān)系有哪幾種？drd00因為因為所以，方程（）有兩個根，所以，方程（）有兩個根， 則原方程組有兩組解則原方程組有兩組解.- (1)例題講解例題講解（一）（一）. .直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓的位置關(guān)系小結(jié)：橢圓與直線的位置關(guān)系及判斷方法小結(jié)：橢圓與直線的位置關(guān)系及判斷方法判斷方法判斷方法這是求解直線與二次曲線有關(guān)問題的這是求解直線與二次曲線有關(guān)問題的通法通法。0（1）聯(lián)立方程組）聯(lián)立方程組（2）消去一個未知數(shù)）消去一個未知數(shù)（3）看）看：當

2、直線與橢圓相交時，如何求被截的弦長？：當直線與橢圓相交時，如何求被截的弦長？例題講解例題講解例例1、 求直線求直線y=x- 被橢圓被橢圓x2+4y2=2 所截的弦長所截的弦長|ab|.2121 xyx2+4y2=2解：聯(lián)立方程組解：聯(lián)立方程組消去消去y01452 xx- (1)12124515xxxx 由韋達定理得由韋達定理得2|1|ababkxx221)4ababkxxx x（利用弦長公式求解：利用弦長公式求解：（二）（二）. . 弦長問題弦長問題1、直線與圓相交的弦長、直線與圓相交的弦長(幾何法）幾何法）a（x1,y1）小結(jié)：直線與二次曲線相交弦長的求法小結(jié)：直線與二次曲線相交弦長的求法d

3、r2l2、直線與其它二次曲線相交的弦長、直線與其它二次曲線相交的弦長（1）聯(lián)立方程組）聯(lián)立方程組（2）消去一個未知數(shù)）消去一個未知數(shù)（3）利用弦長公式）利用弦長公式:|ab| =22121214kxxx x（）12122114yyy yk2（） k 表示弦的表示弦的斜率斜率，x1、x2、y1、y2表示弦的表示弦的端點端點坐標坐標，一般由，一般由韋達定理韋達定理求得求得 |x1-x2 | 與與 | y1-y2|通法通法b（x2,y2） = 設(shè)而不求設(shè)而不求（三）（三）. .中點弦問題中點弦問題2211,11642xyyxa bab例1.橢圓設(shè)直線與橢圓交于、 兩點，求線段的中點坐標。 弦中點問題

4、的兩種處理方法：弦中點問題的兩種處理方法： （1）聯(lián)立方程組，消去一個未知數(shù)，）聯(lián)立方程組，消去一個未知數(shù)，利用韋達定理；利用韋達定理； （2）設(shè)兩端點坐標，代入曲線方程相）設(shè)兩端點坐標，代入曲線方程相減可求出弦的斜率。減可求出弦的斜率。 練習練習:中心在原點一個焦點為的中心在原點一個焦點為的橢圓的截直線所得弦的中點橫橢圓的截直線所得弦的中點橫坐標為，求橢圓的方程坐標為，求橢圓的方程23 xy21)50, 0 (1f, a b 解：設(shè)所求橢圓的方程為由得把直線方程代入橢圓方程，整理得 設(shè)弦的兩個端點為，則由根與系數(shù)的關(guān)系得 又中點的橫坐標為由此得 12222byax)50, 0(f5022ba

5、0)4(12)(222222abxbxba),(11yxa),(22yxb22221912babxx21223ba 25,7522ba1257522xy.故所求的橢圓方程為:例例2：在橢圓：在橢圓x2+4y2=16中，求通過點中，求通過點m（2，1）且被這一點平分的弦所在的直線方程且被這一點平分的弦所在的直線方程.-2-424xym(2,1)024181622221kkxxk21解一：（顯然，只須求出這條直線的斜率即可）解一：（顯然，只須求出這條直線的斜率即可）如果弦所在的直線的斜率不存在，如果弦所在的直線的斜率不存在，即直線垂直于即直線垂直于x軸，軸，則點則點m（2，1）顯然不可能是這條弦的

6、中點。）顯然不可能是這條弦的中點。故可設(shè)弦所在的直線方程為故可設(shè)弦所在的直線方程為y=k(x-2)+1，代入橢圓方程得代入橢圓方程得x2+4k(x-2)+12=16即得即得(1+4k2)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-12=0直線與橢圓有兩個交點直線與橢圓有兩個交點, 故故 =16(k2+4k+3)0又又 兩式聯(lián)立解得k=，直線方程為直線方程為x+2y-4=0. 44181622kkk評：評：.本例在解題過程中，充分考慮本例在解題過程中，充分考慮了橢圓與直線相交有兩個交點這一事實，了橢圓與直線相交有兩個交點這一事實，由此得出由此得出=16(k2+4k+3)0，又利用了，又利用了中

7、點坐標，列出了方程，從而使問題得到中點坐標，列出了方程，從而使問題得到解決解決.這種方法是常用的方法，大家務(wù)必這種方法是常用的方法，大家務(wù)必掌握掌握. 但是，這種解法顯得較繁但是，這種解法顯得較繁（特別是方程組（特別是方程組 16( )0顯得較繁顯得較繁 ）342 kk0422212121xxyyyyxx21210422212121xxyyyyxx：設(shè)弦的兩個端點分別為：設(shè)弦的兩個端點分別為p(x1,y1) , q(x2,y2)則則 x1+x2=4, y1+y2=2在在p(x1,y1) , q(x2,y2)橢圓上橢圓上, 故有故有x12+4y12=16 x22+4y22=16兩式相減得兩式相減

8、得(x1+x2 )(x1-x2 )+4( y1+y2) ( y1-y2)=0點點m（2，1）是）是pq的中點的中點, 故故x1x2，兩邊同除兩邊同除(x1-x2 )得得 即4+8k=0 k=弦所在的直線方程為弦所在的直線方程為y-1= (x-2) 即即x+2y-4=0.評：評：.本解法設(shè)了兩個端點的坐標，而我們并沒本解法設(shè)了兩個端點的坐標，而我們并沒有真的求出它們，而是通過適當變形，得到了有真的求出它們，而是通過適當變形，得到了從而揭示了弦所在的直線斜率從而揭示了弦所在的直線斜率k與弦中點坐標與弦中點坐標(x0,y0)之間在橢圓標準方之間在橢圓標準方程的前提下的關(guān)系：程的前提下的關(guān)系：mx0+

9、ny0k=0 . 顯得很簡便顯得很簡便.但在解題過程中應(yīng)注意考慮但在解題過程中應(yīng)注意考慮x1x2的條件！如果有這種可能性，可采的條件！如果有這種可能性，可采用討論的方法，先給以解決用討論的方法，先給以解決. 如果不可能有這種情況，則應(yīng)先說明如果不可能有這種情況，則應(yīng)先說明 例例2：在橢圓：在橢圓x2+4y2=16中，求通過點中，求通過點m（2，1）且被這一點平分的弦所在的直線方程且被這一點平分的弦所在的直線方程.-2-424xym(2,1)0 練習：在橢圓練習：在橢圓 中，求通過點中，求通過點m（1，1）且被這一點平分的弦所在的直線方程）且被這一點平分的弦所在的直線方程.16422 yx綜合：

10、綜合：已知橢圓已知橢圓 與直線與直線 相交于相交于 兩點，兩點， 是的是的 中中點若點若 ， 斜率為斜率為 （為原點），（為原點），求橢圓方程求橢圓方程122nymx1 yx22ab abc ccaboc22分析：分析：本例是一道綜合性比較強的問題，求解本例是一道綜合性比較強的問題，求解本題要利用中點公式求出點坐標，從而得的斜本題要利用中點公式求出點坐標，從而得的斜率，另外還要用到弦長公式：率，另外還要用到弦長公式：2121abkxx解：由方程組解：由方程組1122yxnymx消去消去 整理得：整理得：y012)(2nnxxnm112233(,)(,)(,)a xyb xycxy設(shè)、12121

11、21212120021,222()2,22nnxxxxmnmnnmyyxxmnmnxxyynmxymnmn則22mn則 由 題 設(shè) 得 :22212121221(1) ()424(1)2 ()22abkxxkxxx xnnmnmn又即：即：1nmmnnm解解得得.32,31nm132322yx所求的橢圓方程為所求的橢圓方程為 （四）（四）. .橢圓中的最值問題橢圓中的最值問題1.1.過橢圓過橢圓 的右焦點與的右焦點與x x軸垂直的直線與橢圓軸垂直的直線與橢圓交于交于a,ba,b兩點，求弦長兩點，求弦長|ab|ab|22113 12xy222.14 -5400.259 xyl xyl已知橢圓，直

12、線：橢圓上是否存在一點，它到直線的距離最??？最小距離是多少？ oxy450mllxyk解：設(shè)直線 平行于 ，則 可寫成：224501259xykxy由方程組2222258-2250064-4 25-2250yxkxkkk 消去 ，得由，得（） oxy12k25k25解得=，=-2225402515414145kmld由圖可知，直線 與橢圓的交點到直線 的距離最近。且思考：最大的距離是多少？222.14 -5400.259 xyl xyl已知橢圓，直線：橢圓上是否存在一點，它到直線的距離最??？最小距離是多少？3.如果點的坐標為（，），如果點的坐標為（，），f1是橢圓是橢圓 的左焦點，點是橢圓上的

13、左焦點，點是橢圓上 的動點，求的動點，求:（1）|pa | + | pf1 | 的最小值；的最小值； （2）|pa | +| pf1 |的最大值和最小值的最大值和最小值459522yx1pfpa（2）設(shè)右焦點為）設(shè)右焦點為 , 欲求欲求 的最大的最大值怎樣使它與值怎樣使它與 聯(lián)系在一起呢？聯(lián)系在一起呢？21pfpf 1pfpa 2f2662af2222pfpaapapfa 數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合簡便直觀簡便直觀234. 5. 5.設(shè)設(shè)abab為過橢圓為過橢圓 的中心的的中心的弦弦,f,f1 1是左焦點是左焦點, ,求求 的面積的最大值的面積的最大值. .1162522yx1abfo oa ab bf

14、 f1 1f f2 23、弦中點問題的兩種處理方法：、弦中點問題的兩種處理方法： （1）聯(lián)立方程組，消去一個未知數(shù)，利用韋達定理；）聯(lián)立方程組，消去一個未知數(shù)，利用韋達定理； （2）設(shè)兩端點坐標，代入曲線方程相減可求出弦的斜率。）設(shè)兩端點坐標，代入曲線方程相減可求出弦的斜率。 1、直線與橢圓的三種位置關(guān)系及等價條件；、直線與橢圓的三種位置關(guān)系及等價條件；2、弦長的計算方法：、弦長的計算方法：（1）垂徑定理：）垂徑定理：|ab|= （只適用于圓）（只適用于圓）（2）弦長公式：）弦長公式： |ab|= = （適用于任何曲線）（適用于任何曲線） 222dr 12122114yyy yk2（）2212

15、1214kxxx x（）作業(yè)作業(yè)1.k為何值時為何值時,直線直線y=kx+2和曲線和曲線2x2+3y2=6有兩個有兩個公共點公共點?有一個公共點有一個公共點?沒有公共點沒有公共點?2.無論無論k為何值為何值,直線直線y=kx+2和曲線和曲線交點情況滿足交點情況滿足( )a.沒有公共點沒有公共點 b.一個公共點一個公共點c.兩個公共點兩個公共點 d.有公共點有公共點22194xy 3、y=kx+1與橢圓與橢圓 恰有公共點，則恰有公共點，則m的范圍的范圍（ ） a、（、（0，1） b、（、（0，5 ） c、 1，5）（5，+ ） d、（、（1，+ ） 4、過橢圓、過橢圓 x2+2y2=4 的左焦點

16、作傾斜角為的左焦點作傾斜角為300的直線，的直線， 則弦長則弦長 |ab|= _ , 193622yx5、求橢圓、求橢圓 被過右焦點且垂直于被過右焦點且垂直于x軸軸 的直線所截得的弦長。的直線所截得的弦長。1422 yx7、中心在原點，一個焦點為、中心在原點，一個焦點為f（0， ）的橢圓被）的橢圓被 直線直線 y=3x-2所截得弦的中點橫坐標是所截得弦的中點橫坐標是1/2，求橢圓，求橢圓 方程。方程。506、如果橢圓被、如果橢圓被 的弦被（的弦被（4，2）平分，那么）平分，那么這弦所在直線方程為（這弦所在直線方程為（ ）a、x-2y=0 b、x+2y- 4=0 c、2x+3y-12=0 d、x

17、+2y-8=0193622yx作業(yè)作業(yè)1.k為何值時為何值時,直線直線y=kx+2和曲線和曲線2x2+3y2=6有兩個有兩個公共點公共點?有一個公共點有一個公共點?沒有公共點沒有公共點?2.無論無論k為何值為何值,直線直線y=kx+2和曲線和曲線交點情況滿足交點情況滿足( )a.沒有公共點沒有公共點 b.一個公共點一個公共點c.兩個公共點兩個公共點 d.有公共點有公共點22194xy 3、y=kx+1與橢圓與橢圓 恰有公共點，則恰有公共點，則m的范圍的范圍（ ） a、（、（0，1） b、（、（0，5 ） c、 1，5）（5，+ ） d、（、（1，+ ） 4、過橢圓、過橢圓 x2+2y2=4 的左焦點作傾斜角為的左焦點作傾斜角為300的直線，的直線， 則弦長則弦長 |ab|= _ , 19