第四章第3節(jié)角——角、角的比較與運算-19

1、年 級初一學(xué) 科數(shù)學(xué)版 本人教新課標課程標題第四章第3節(jié)角角；角的比較與運算編稿老師鞏建兵一校李秀卿二校林卉審核王百玲一、學(xué)習(xí)目標：1、理解角的概念、表示方法、測量方法和畫法2、認識角的度量單位度、分、秒，會進行簡單的換算和角度計算3、學(xué)會比較兩個角的大小，會分析圖中角的和差關(guān)系4、認識角的平分線及角的等分線，會畫角的平分線二、重點、難點：重點：角度的換算，分析角的和差關(guān)系，認識角平分線難點：認識復(fù)雜圖形中角的和差關(guān)系，比較兩個角的大小三、考點分析：本節(jié)的主要考點是角的表示方法和角度的換算角的平分線性質(zhì)是重點考查內(nèi)容，但往往在綜合題中出現(xiàn)本節(jié)內(nèi)容難度不大，直接考查的題目也不多見1、角（1）定義

2、：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩邊角也可以看作是由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形（2）表示方法：角的四種表示方法如下表：表示方法圖示記法適用范圍用三個大寫字母表示AOB或BOA任何情況都適用，表示頂點的字母寫在中間用一個大寫字母表示O以某一點為頂點的角只有一個時用一個阿拉伯數(shù)字表示1任何情況都適用用一個希臘字母表示任何情況都適用（3）平角和周角：如果角的終邊是由始邊旋轉(zhuǎn)半周而得到的（這時的始邊與終邊互為反向延長線），這樣的角叫做平角；如果角的終邊是由始邊旋轉(zhuǎn)一周而得到的（這時終邊與始邊重合），這樣的角叫做周角2、角的度量單位及角度制（1）

3、角的度量單位：角的度量單位是度、分、秒，把一個周角平均分成360等份，每一份就是1°，1°的為1分，記作“1”，1的為1秒，記作“1”（2）角度制的換算：1周角360°，1平角180°，1°60，160（3）角度制是60進位的，它和時間的小時、分鐘、秒間的度量相類似時鐘被分成12格，相當于把圓周12等分，每一等份等于30°，時針每小時走一格為30°，每分鐘走0.5°；分針每小時走一圈是360°，每分鐘走6°3、角的比較與運算（1）角的大小的比較方法：疊合法；度量法（2）角的和差：把兩個角的一邊重

4、合，另兩邊在重合邊的兩側(cè)，則另兩邊的夾角即為這兩角之和；若另兩邊在重合邊的同側(cè)，則另兩邊的夾角即為兩角之差4、角的平分線（1）定義：一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線（2）符號語言敘述：如左圖所示，因為AOCBOC，所以O(shè)C是AOB的平分線反之，如果OC是AOB的平分線，那么AOCBOC，并且有AOCAOB或BOCAOB，以及AOB2AOC或AOB2BOC（3）類似地，還有角的三等分線（如右圖）知識點一：角的表示例1. 如圖所示，角的表示法正確的個數(shù)是（ ）A1個B2個C3個D4個思路分析：1）題意分析：區(qū)別平角與直線、周角與射線，要抓住角的兩個元素：頂點和兩邊2）解

5、題思路：角的表示方法中，要注意用三個大寫字母和一個大寫字母表示的適用范圍、是正確的解答過程：C解題后的思考：表示一個角時，角的符號“”不能省略理解角的兩個要素和角的表示方法是解本題的關(guān)鍵例2. 如圖所示，在直線AB上有一點O，作射線OC、OD、OE、OF，則圖中共有多少個小于平角的角？思路分析：1）題意分析：本題要求數(shù)出小于平角的角的個數(shù)，AOB是平角，不能計算在內(nèi)2）解題思路：數(shù)小于平角的角的個數(shù)的方法應(yīng)是：以O(shè)A為一邊的有AOC、AOD、AOE、AOF；以O(shè)C為一邊的有COD、COE、COF、COB；以O(shè)D為一邊的有DOE、DOF、DOB；以O(shè)E為一邊的有EOF、EOB；以O(shè)F為一邊的有F

6、OB解答過程：圖中小于平角的角有AOC、AOD、AOE、AOF；COD、COE、COF、COB；DOE、DOF、DOB；EOF、EOB；FOB共有4432114個解題后的思考：尋找計數(shù)的規(guī)律，不可遺漏、也不可重復(fù)例3. 觀察下圖，回答問題（1）在AOB內(nèi)部任意畫1條射線OC，則圖中有_個不同的角；（2）在AOB內(nèi)部任意畫2條射線OC、OD，則圖中有_個不同的角；（3）在AOB內(nèi)部任意畫3條射線OC、OD、OE，則圖中有_個不同的角；（4）在AOB內(nèi)部任意畫10條射線OC、OD、，則圖中有_個不同的角；（5）在AOB內(nèi)部任意畫n條射線OC、OD、OE、，則圖中有_個不同的角思路分析：1）題意分析

7、：正確數(shù)出角的個數(shù)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)角的個數(shù)，得到一列有規(guī)律的數(shù)，尋找規(guī)律，推廣到一般2）解題思路：數(shù)角的個數(shù)時，注意不能重，也不能漏如圖中，按逆時針方向，以O(shè)A為邊的角有AOC，AOB；以O(shè)C為邊的角有COB共3個解答過程：（1）213；（2）3216；（3）432110；（4）111092166；（5）（n1）n（n1）21（n1）（n2）解題后的思考：這類題與線段計數(shù)的方法類似，運用分類思想來研究問題小結(jié)：對角的表示方法的考查主要有兩個方面：一是角的四種表示方法分別適合在什么情況下使用；二是在有規(guī)律的圖形中數(shù)角的個數(shù)知識點二：角的比較和運算例4. 鐘表上12時15分鐘時，時針與分針的夾角

8、是（ ）A90°B82.5°C67.5°D60°思路分析：1）題意分析：如圖所示，12時15分時分針正對著數(shù)字“3”，而時針走過了數(shù)字“12”一點點2）解題思路：鐘表上，每一個小格的度數(shù)為6°；每一個大格的度數(shù)為30°解答過程：12時15分鐘時，時針偏轉(zhuǎn)的角度為×30°7.5°，分針偏轉(zhuǎn)的角度為3×30°90°，所以兩針之間的夾角為90°7.5°82.5°所以應(yīng)選B解題后的思考：由本題可知分針每分鐘走6°，時針每分鐘走0.5°

9、例5. 如圖所示，將書頁的一角折過去，使角的頂點落在A處，BC為折痕，BD為ABE的平分線，則CBD_思路分析：1）題意分析：理解折疊的結(jié)果是ABCCBAABA，即BC為ABA的平分線2）解題思路：由BD平分ABE知ABDABE，所以CBD（ABAABE）ABE90°解答過程：90°解題后的思考：由本題知，用折疊的方法可將一個角分成兩個相等的角例6. 從射線OA的端點O引兩條射線OB、OC，如果AOB75°12，BOC26°32求AOC的度數(shù)思路分析：1）題意分析：先根據(jù)題意畫圖，再求AOC的度數(shù)2）解題思路：AOB是確定的，射線OC與AOB有兩種可能的

10、位置關(guān)系解答過程：本題有兩種情況，如圖所示：OC在AOB的外部，AOCAOBBOC75°1226°32101°44；OC在AOB的內(nèi)部，AOCAOBBOC75°1226°3248°40所以AOC的度數(shù)為101°44或48°40解題后的思考：考慮問題要全面例7. 如圖所示，AOB90°，OM平分AOC，ON平分BOC，求MON的度數(shù)思路分析：1）題意分析：本題應(yīng)根據(jù)角的和差關(guān)系求MON的度數(shù)2）解題思路：從圖中可以得到MONMOCNOC，而MOCAOC，NOCBOC，由此可求MON的度數(shù)解答過程：因為OM平

11、分AOC，ON平分BOC，所以MOCAOC，NOCBOC，因為MONMOCNOC，AOB90°，所以MONAOCBOC（AOCBOC）AOB45°解題后的思考：本題中角的數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜，解題時所分析的數(shù)據(jù)要找和已知與所求有關(guān)聯(lián)的數(shù)量關(guān)系例8. 如圖所示，已知AOBBOCCOD324，AOD108°，求AOB、BOC、COD的度數(shù)思路分析：1）題意分析：所求的三個角和已知的角AOD正好組成一個周角2）解題思路：本題中涉及到的四個角的和是周角360°，合理設(shè)出未知數(shù)，列方程求解解答過程：設(shè)AOB3x，則BOC2x，COD4x，則3x2x4x108°

12、360°，解得x28°所以3x84°，2x56°，4x112°即AOB84°，BOC56°，COD112°解題后的思考：用方程解決角的計算問題時，關(guān)鍵是合理設(shè)出未知數(shù)，找出相等關(guān)系，這類問題的相等關(guān)系一般是幾個角的和或差等于已知角（或平角或周角等）小結(jié)：在角的計算問題中，一般都是利用角的和差關(guān)系求角的度數(shù)，這里應(yīng)重點掌握角的平分線的性質(zhì)和運用本講所涉及的思想方法主要是轉(zhuǎn)化思想，主要體現(xiàn)在角的比較大小，往往是把角（形）轉(zhuǎn)化為角的度數(shù)（數(shù)）來比較其次是在分析角的關(guān)系時，要把所求的角轉(zhuǎn)化為已知的角或和已知角有關(guān)系的角另外

13、，在計算角的度數(shù)時，有時會用到方程的思想余角與補角（4.3.3）一、預(yù)習(xí)新知1、余角和補角2、方位角二、預(yù)習(xí)點撥探究與反思探究任務(wù)一：余角和補角【反思】（1）怎樣理解互為余角和互為補角？ （2）余角和補角的性質(zhì)是什么？探究任務(wù)二：方位角【反思】（1）什么是方位角？ （2）怎樣用方位角確定方向？（答題時間：60分鐘）一、選擇題1、如圖所示，圖中小于平角的角的個數(shù)是（ ）A. 3個B. 4個C. 5個D. 6個2、下列各角中，不可能是鈍角的角是（ ）A. 周角B. 平角C. 鈍角D. 直角3、已知射線OA、OB，能判定OC是AOB的平分線的是（ ）A. AOCBOCB. AOB2AOCC. BOC

14、AOBD. A、B、C都能4、如果123，且421，那么3和4間的關(guān)系是（ ）A. 34B. 34C. 34D. 不確定5、用一副三角板不能畫出（ ）A. 75°角B. 135°角C. 160°角D. 105°角6、如圖所示，若AOBCOD，那么（ ）A. 12B. 12C. 12D. 不確定*7、在鐘表上，1點30分時，時針與分針所成的角是（ ）A. 150°B. 165°C. 135°D. 120°*8、如圖，OC是AOB的平分線，OD是BOC的平分線，那么下列各式中正確的是（ ）A. CODAOCB. AOD

15、AOBC. BODAOBD. BOCAOB二、填空題9、如圖所示，把圖中用數(shù)字表示的角，改用大寫字母表示分別是_10、（）°_；6000_°11、如果12，1390°，則23_12、如圖所示，用“”或“”或“”填空：（1）AOC_AOBBOC；（2）AOC_AOB；（3）BODBOC_DOC；（4）AOD_AOCBOD*13、時鐘從3點10分走到3點35分，它的分針轉(zhuǎn)過_度*14、如下圖，OC平分AOB，OD平分AOC，則圖中相等的角有_；AOD_AOC_AOB三、解答題15、計算：（1）49°3866°22；（2）180°79

16、76;19；（3）22°16×516、把一個周角7等分，每一等份是多少度的角？（精確到分）17、如下圖，分別確定四個城市相應(yīng)鐘表上時針與分針所成角的度數(shù)18、如下圖，已知OB平分AOC，OD平分COE，AOC80°，DOE30°求（1）AOB；（2）COD；（3）BOD*19、如下圖，已知AOC60°，BOD90°，AOB是COD的3倍，求AOB的度數(shù)*20、（1）如圖所示，已知AOB90°，BOC30°OM平分AOC，ON平分BOC，求MON的度數(shù)（2）如果（1）中AOB，其他條件不變，求MON的度數(shù)（3）你從（

17、1）、（2）的結(jié)果中能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？一、選擇題：1、C 2、D 3、A 4、B 5、C 6、B7、C 解析：1點30分時，分針正對著數(shù)字“6”，時針在數(shù)字“1”和“2”正中間，此時時針與分針所成的角是135°8、A 解析：根據(jù)題意，CODBOC，又因為BOCAOC，所以CODAOC所以選A選項B、C、D不一定成立二、填空題：9、ADE，BDE，CED，B，AED10、7.5 450 100 （）11、90°12、（1）（2）（3）（4）13、150 解析：分針從3點10分走到3點35分，共走過了25分鐘，轉(zhuǎn)過的角度是360°×150°14、AO

18、CBOC、AODCOD， 三、解答題：15、解：（1）原式115°60116°；（2）原式100°41；（3）原式110°80111°2016、解：根據(jù)題意，360°÷751°2617、解：巴黎時間是1點整，時針與分針所成的角是：360°×30°；倫敦時間是12點整，時針與分針所成的角是0°；北京時間是8點整，時針與分針所成的角是30°×4120°；東京時間是9點整，時針與分針所成的角是30°×390°18、解：（1）AOBAOC40°；（2）CODDOE30°；（3）BODCODBOCCODAOB70°19、解：AOBBODAODBODAOCCOD因為AOC60°，