全等三角形幾何證明常用輔助線

1、百度文庫-讓每個人平等地提升自我?guī)缀巫C明-常用輔助線(一)中線倍長法： 例1、求證：三角形一邊上的中線小于其他兩邊和的一半。1已知：如圖， ABC中，AD是BC邊上的中線，求證：AD < (AB+AC)1分析：要證明 AD < - (AB+AC)，就是證明AB+AO2AD，也就是證明兩條線 段之和大于第三條線段，而我們只能用“三角形兩邊之和大于第三邊” ，但題中 的三條線段共點，沒有構(gòu)成一個三角形，不能用三角形三邊關(guān)系定理，因此應(yīng)該 進行轉(zhuǎn)化。待證結(jié)論 AB+AO2AD中，出現(xiàn)了 2AD，即中線AD應(yīng)該加倍。證明：延長 AD至E,使DE=AD，連CE,貝U AE=2AD。在厶ADB

2、和厶EDC中，ACDAD= DEZADB二 ZEDCBD= DC ADB EDC(SAS) AB=CE又在厶ACE中，AC+CE > AE1 AC+AB >2AD，即 AD < (AB+AC) 小結(jié)：涉及三角形中線問題時，常采用延長中線一倍的辦法，即 中線倍長法- 它可以將分居中線兩旁的兩條邊 AB、AC和兩個角/ BAD和/ CAD集中于同一 個三角形中，以利于問題的獲解11課題練習：ABC中，AD是 BAC的平分線，且 BD=CD，求證AB=ACA例2:中線一倍輔助線作法AB.冬 ABC中/ ' /AD是BC邊中線 £BNDFA作CF丄AD于F,作BE丄

3、AD的延長線于X連接BEBDECA例 3:A ABC 中，AB=5，AC=3，求中線 AD方式1:延長AD到E,C使 DE=AD , 連接BED方式2:間接倍長EA/A延長MD到N,EM</ 使 DN=MDA連接CDBCN的取值范圍例4:已知在 ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長線上， DE交BC于F,且DF=EF，求證：BD=CEDCFE課堂練習：已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且 BE=AC，延長BE交AC于F,求證：AF=EFFEBCD例5：已知：如圖，在 ABC中，AB 交 AE于點 F, DF=AC.求證：AE平分 BACAC，D、E 在

4、BC上，且 DE=EC 過 D作 DF / BAC課堂練習：已知 CD=AB，/ BDA= / BAD , AE 是厶 ABD的 中線，求證：/ C=Z BAE作業(yè)：1 在四邊形 ABCD中，AB / DC, E為BC邊的中點，/ BAE= / EAF , AF與DC的延長線 相交于點F。試探究線段 AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論2、已知：如圖， ABC 中， C=90 , CM AB 于 M , AT 平分 BAC交CM于D，交BC于T,過D作DEAC3:已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線, 于F，求證：AF=EFE是AD上一點，且 BE=AC，延長BE 交 AC4:已知

5、 CD=AB，/ BDA= / BAD , AE 是厶 ABD的中線，求證：/ C=Z BAEAC5、在四邊形 ABCD中，AB / DC, E為BC邊的中點，/ BAE= / EAF，AF與DC的延長線 相交于點F。試探究線段 AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論 /F圖1-1E求證：CD=A»BC（二）截長補短法例1.已知，如圖1-1，在四邊形 ABCD中，BC>AB A=DC BD平分/ ABC求證：/ BAD/BCD180° .分析：因為平角等于180。，因而應(yīng)考慮把兩個不在一起的通過全等轉(zhuǎn) 化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直

6、角三角形, 可通過“截長補短法”來實現(xiàn) 證明：過點D作DE垂直BA的延長線于點 E,作DF丄BC于點F,如圖1-2/ BD平分/ ABC： DE=DF在 RtA ADE與 RtA CDF中,DE DFAD CD Rt ADE RtA CDF HD，：/ DAE/ DCF又/ BAD/ DAE=180°,./ BAD/ DCI=180即/ BAD/ BCD180°例2.如圖 2-1 , AD/ BC 點 E在線段 AB上,/ ADE/ CDE / DCE/ ECB例3.已知，如圖 3-1，/ 1 = / 2, P為 BN上一點，且 PDL BC于點 D, ABnBC=2BD求

7、證：/ BAP+ / BCP180圖3-1例4.已知：如圖 4-1，在 ABC中，/ C= 2/ B,Z 1 = Z 2.求證：A&AGCD作業(yè):百度文庫-讓每個人平等地提升自我132、五邊形 ABCD中，AB=AE BGDE=CD / ABC/ AED180°,求證：AD平分/ CDE1、已知：如圖，ABCD是正方形，/ FAD：/ FAE求證：BBDFAE（三）其它幾種常見的形式:1、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全 等三角形。B例：如圖1:已知ABC的中線，且/ 1 = / 2, / 3=/ 4, 求證：BE CF> EF02、有以線段中點為端點

8、的線段時，常延長加倍此線段，構(gòu)造全 等三角形。例：如圖 2： AD ABC的中線，且/ 1 = / 2,/ 3=/4,求證：BECF> EFA練習：已知 ABC AD是BC邊上的中線，分別以 AB邊、AC邊為直角邊各 向形外作等腰直角三角形，如圖 4,求證EF= 2ADF、圖 43、延長已知邊構(gòu)造三角形：例如：如圖6:已知AC= BD, ADLAC于A , BCLBD于B, 求證：AD= BC4、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。7例如：如圖 7: AB/ CD AD/ BC求證：AB=CD5、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。例如：如圖 8:在 Rt ABC中，AB= AC / BAC= 90°,/ 1 的延長于E。求證：BD= 2CE6連接