第一講—分式分式方程

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載第一、二講分式、分式方程【知識梳理】1.分式的定義：如果 A 、 B 表示兩個整式，并且B 中含有字母，那么式子A 叫做分式 。B2. 分式有意義條件 ：分式的分母 不等于 0；3.分式值為零的條件：當(dāng)分式的分子等于 0 且分母不等于 0 時，分式的值為 0。A（分式的值是在分式有意義的前提下才可以考慮的，所以使分式B 為 0 的條件是 A0，且 B 0）.4.分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0 的整式，分式的值不變。AA CAAC0），其中 A、B、C 是整式用式子表示為B CBB（ CBC注意：（ 1） “C是一個不等于0 的整式 ”是分式基本性

2、質(zhì)的一個制約條件；（ 2）應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時，要深刻理解“同 ”的含義，避免犯只乘分子（或分母）的錯誤；（ 3）若分式的分子或分母是多項式，運用分式的基本性質(zhì)時，要先用括號把分子或分母括上，再乘或除以同一 整式 C；（ 4）分式的基本性質(zhì)是分式進(jìn)行約分、通分和符號變化的依據(jù)。5.分式的通分：和分?jǐn)?shù)類似，利用分式的基本性質(zhì)，使分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼剑桓淖兎质降闹?，把幾個異分母分式化成相同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分 。通分的關(guān)鍵是確定幾個式子的最簡公分母。幾個分式通分時，通常取各分母所有因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母就叫做最簡公分母。求最簡公分母時應(yīng)注意以下幾點：（

3、1） “各分母所有因式的最高次冪 ”是指凡出現(xiàn)的字母（或含字母的式子）為底數(shù)的冪選取指數(shù)最大的；（ 2）如果各分母的系數(shù)都是整數(shù)時，通常取它們系數(shù)的最小公倍數(shù)作為最簡公分母的系數(shù)；（ 3）如果分母是多項式，一般應(yīng)先分解因式。6.分式的約分：和分?jǐn)?shù)一樣，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，約去分式的分子和分母中的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的 約分 。約分后分式的分子、分母中不再含有公因式，這樣的分式叫最簡公因式。約分的關(guān)鍵是找出分式中分子和分母的公因式。（ 1）約分時注意分式的分子、分母都是乘積形式才能進(jìn)行約分；分子、分母是多項式時，通常將分子、分母分解因式，然后再約分；（ 2）找公因式的方

4、法： 當(dāng)分子、分母都是單項式時，先找分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)，再找相同字母的最低次冪，它們的積就是公因式；當(dāng)分子、分母都是多項式時，先把多項式因式分解。易錯點：（ 1）當(dāng)分子或分母是一個式子時，要看做一個整體，易出現(xiàn)漏乘（或漏除以）；（ 2）在式子變形中要注意分子與分母的符號變化，一般情況下要把分子或分母前的“”放在分?jǐn)?shù)線前；（ 3）確定幾個分式的最簡公分母時，要防止遺漏只在一個分母中出現(xiàn)的字母；7.分式的運算：分式乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。分式除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。用式子表示是：a cb dac ; a

5、 bd bcda dbcadbc優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載提示：（ 1）分式與分式相乘，若分子、分母是單項式，可先將分子、分母分別相乘，然后約去公因式，化為最簡分式；若分子、分母是多項式，先把分子、分母分解公因式，看能否約分，然后再相乘；（ 2）當(dāng)分式與整式相乘時，要把整式與分式的分子相乘作為積的分子，分母不變（ 3）分式的除法可以轉(zhuǎn)化為分式的乘法運算；（ 4）分式的乘除混合運算統(tǒng)一為乘法運算。分式的乘除法混合運算順序與分?jǐn)?shù)的乘除混合運算相同，即按照從左到右的順序，有括號先算括號分式的乘除混合運算要注意各分式中分子、分母符號的處理，可先確定積的符號；分式的乘除混合運算結(jié)果要通過約分化為最簡分式（分式

6、的分子、分母沒有公因式）或整式的形式。分式乘方法則： 分式乘方要把分子、 分母各自乘方。 用式子表示是： ( a ) nan（其中 n 是正整數(shù)）bbn注意：（ 1）乘方時，一定要把分式加上括號；（ 2）分式乘方時確定乘方結(jié)果的符號與有理數(shù)乘方相同，即正分式的任何次冪都為正；負(fù)分式的偶次冪為正，奇次冪為負(fù)；（ 3）分式乘方時，應(yīng)把分子、分母分別看做一個整體；（ 4）在一個算式中同時含有分式的乘方、乘法、除法時，應(yīng)先算乘方，再算乘除，有多項式時應(yīng)先分解因式，再約分。分式的加減法則：法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減。a ca±c用式子表示為： b ± b b法則

7、：異分母的分式相加減，先通分，轉(zhuǎn)化為同分母分式，然后再加減。用式子表示為：ac adbc ad±bcb± d bd± bd bd注意：（ 1） “把分子相加減 ”是把各個分子的整體相加減，即各個分子應(yīng)先加上括號后再加減，分子是單項式時括號可以省略；（ 2）異分母分式相加減， “先通分 ”是關(guān)鍵，最簡公分母確定后再通分，計算時要注意分式中符號的處理，特別是分子相減，要注意分子的整體性；（ 3）運算時順序合理、步驟清晰；（ 4）運算結(jié)果必須化成最簡分式或整式。分式的混合運算:分式的混合運算，關(guān)鍵是弄清運算順序，與分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除及乘方的混合運算一樣，先算乘方，再算

8、乘除，最后算加減，有括號要先算括號里面的，計算結(jié)果要化為整式或最簡分式。8. 任何一個不等于零的數(shù)的零次冪等于1， 即 a01(a 0) ；當(dāng) n 為正整數(shù)時， a n1（ a 0)a n注意：當(dāng)冪指數(shù)為負(fù)整數(shù)時，最后的計算結(jié)果要把冪指數(shù)化為正整數(shù)。9. 整數(shù)指數(shù)冪：m÷am namn1若 m、 n 為正整數(shù)， a0，a mana .amm nm mn n n1又因為 a ÷aaa,所以 anan1nn的倒數(shù)，這樣指數(shù)的取值范圍就一般地，當(dāng) n 是正整數(shù)時， a n （ a0），即 a（ a0）是 aa推廣到全體整數(shù)。整數(shù)指數(shù)冪可具有下列運算性質(zhì)：(m,n 是整數(shù) )優(yōu)秀學(xué)

9、習(xí)資料歡迎下載（ 1）同底數(shù)的冪的乘法：a ma nam n ；（ 2）冪的乘方： ( a m ) na mn ;（ 3）積的乘方： (ab) nan bn ；（ 4）同底數(shù)的冪的除法：a manam n ( a ；0)（ 5）商的乘方： ( a ) na n； (b 0)bb n規(guī)定： a0 1（ a0），即任何不等于0 的零次冪都等于1.10. 分式方程： 含分式，并且分母中含未知數(shù)的方程叫做分式方程。分式方程的解法：（ 1）解分式方程的基本思想方法是：分式方程 整式方程（ 2）解分式方程的一般方法和步驟：.去分母：即在方程的兩邊都同時乘以最簡公分母，把分式方程化為整式方程，依據(jù)是等式的基

10、本性質(zhì)；解這個整式方程；檢驗：把整式方程的解代入最簡公分母，使最簡公分母不等于0 的解是原方程的解，使最簡公分母等于0 的解不是原方程的解，即說明原分式方程無解。注意：去分母時，方程兩邊的每一項都乘以最簡公分母，不要漏乘不含分母的項； 解分式方程必須要驗根，千萬不要忘了！解分式方程的步驟：(1) 能化簡的先化簡；(2) 方程兩邊同乘以最簡公分母，化為整式方程；(3) 解整式方程；(4)驗根分式方程檢驗方法：將整式方程的解帶入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解。11.含有字母的分式方程的解法：在數(shù)學(xué)式子的字母不僅可以表示未知數(shù)，也

11、可以表示已知數(shù)，含有字母已知數(shù)的分式方程的解法，也是去分母，解整式方程，檢驗這三個步驟，需要注意的是要找準(zhǔn)哪個字母表示未知數(shù)，哪個字母表示未知數(shù)，還要注意題目的限制條件。計算結(jié)果是用已知數(shù)表示未知數(shù)，不要混淆。12.列分式方程解應(yīng)用題的步驟是：(1) 審： 審清題意； (2)找 : 找出相等關(guān)系； (3) 設(shè)： 設(shè)未知數(shù)； (4) 列： 列出分式方程； (5)解： 解這個分式方程； (6)驗： 既要檢驗根是否是所列分式方程的解，又要檢驗根是否符合題意；(7) 答：寫出答案。應(yīng)用題有幾種類型；基本公式是什么？基本上有五種：(1) 行程問題基本公式： 路程 =速度 ×時間而行程問題中又分

12、相遇問題、追及問題(2) 數(shù)字問題：在數(shù)字問題中要掌握十進(jìn)制數(shù)的表示法(3)工程問題基本公式：工作量=工時 ×工效(4)順?biāo)嫠畣栴}v 順?biāo)?= v 靜水 +v 水 v 逆水 = v靜水 -v 水 11.科學(xué)記數(shù)法： 把一個數(shù)表示成a10n 的形式 （其中1a10 ，n 是整數(shù)）的記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值大于1 的數(shù)時 ，應(yīng)當(dāng)表示為a×10n 的形式 ,其中數(shù)減 1； n面所有 0 的個數(shù) (包括小數(shù)點前面的那個0)， 1 a 10.1 a 10,n 為原整數(shù)部分的位n 為原數(shù)第1 個不為 0 的數(shù)字前【能力訓(xùn)練】（一）優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載一、選擇題：1

13、.代數(shù)式 -3 x,4, xy, x21,7,1, 中是分式的有（）2xy8aA.1 個B.2 個C.3 個D.4 個2.使分式x有意義的是（）x2A. x 2B. x2C. x2D. x 2 或 x23.下列各式中，可能取值為零的是（）m2 1Bm2 1Cm 1m21A m21m 1m21D 1m4.分式4y 3x，x21，x2xy y2a22ab中是最簡分式的有（）4ax41xy，ab2b2A1 個B2 個C3個D4 個5.如果把分式x2 y 中的 x, y 都擴(kuò)大 2倍，則分式的值（）xyA.擴(kuò)大 2 倍B.縮小 2 倍C.是原來的2D.不變3b 天，若甲、乙合作，完成這項工程所需的6.

14、一項工程，甲單獨干，完成需要a 天，乙單獨干，完成需要天數(shù)是（）A.abB.1abD. ab(a b)a bC.aba1b7.如果 xyz0, 那么 xyz 的值是（）234xyzA.7B.8C.9D.108（ - b2） 2n+1 的值是（）mb2n 3b2 n 3b4 n 2b4n 2A B -CD -m2n 1m2 n 1m2 n1m2n 19如果（ a 3 ） 2÷（ a） 2=3 ，那么 a8b4等于（）b2b3A 6B 9C 12D 81二、填空題：x31. 當(dāng) x=時，分式的值為 0.x3優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載2.已知 2+2222,33323,44424,若 10+a1

15、02a ( a, b 為 正 整 數(shù) ） 則a3， b3881515bb.3.化簡x2x26x9x3·x24=_.3xz4. 化簡（ xy23） ·（y）·（ yz ） =_.zx2三、計算題：1. 已知1-1 =3，求5x3xy5 y 的值xyx2xyy2. 先能明白（1）小題的解答過程，再解答第（2）小題，（ 1）已知 a 23a10, 求 a21的值，a211解，由 a23a10知 a 0,a30,即a3 a 2 11 ) 2aa(a2 7 ；a2a（ 2）已知： y 23y1 0,求y 41的值 .y83y 43已知 3a-b+1+（3a- 3 b）2=0

16、求b 2÷（b2aba b） ·（ab ） 的值ab（二）一、選擇、填空題：1.xm1x0，有增根，則m的值是（）的方程若關(guān)于1x 1xA.3B.2C.1D.-1優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載2.若方程AB2 x 1,那么 A、B 的值為（）x 3x4 ( x 3)( x4)A.2 ，1B.1，2C.1， 1D.-1 ， -13.分式方程 x 22x0 的增根是.x24. 一汽車從甲地開往乙地，每小時行駛v1 千米， t 小時可到達(dá)，如果每小時多行駛v2 千米，那么可提前到達(dá) _小時 .5. 農(nóng)機(jī)廠職工到距工廠15 千米的某地檢修農(nóng)機(jī)，一部分人騎自行車先走40 分鐘后，其余人乘汽車出

17、發(fā)，結(jié)果他們同時到達(dá)，已知汽車速度為自行車速度的3 倍，若設(shè)自行車的速度為x 千米 /時，則所列方程為.6.已知 x4 , 則 x 2y2.y5x 2y2二、解答題7. 解方程14x（ 2）x1(1)2x1x2x 33x248. 在四川汶川地震災(zāi)后重建中，某公司擬為災(zāi)區(qū)援建一所希望學(xué)校公司經(jīng)過調(diào)查了解：甲、乙兩個工程隊有能力承包建校工程，甲工程隊單獨完成建校工程的時間是乙工程隊的1.5 倍，甲、乙兩隊合作完成建校工程需要72 天（ 1）甲、乙兩隊單獨完成建校工程各需多少天？（ 2）在施工過程中， 該公司派一名技術(shù)人員在現(xiàn)場對施工質(zhì)量進(jìn)行全程監(jiān)督，每天需要補(bǔ)助100 元若由甲工程隊單獨施工時平均每天的費用為0.8 萬元現(xiàn)公司選擇了乙工程隊，要求其施工總費用不能超過甲工程隊，則乙工程隊單獨施工時平均每天的費用最多為多少？溫馨提示：總費用平均每天的費用天數(shù)補(bǔ)助費優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載9. 某人騎自行車比步行第小時快8 千米，坐汽車比騎自行車每小時快4 千米，然后乘汽