數(shù)學(xué)物理方程ppt24

1、 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 1Email: 數(shù)理方程與特殊函數(shù)數(shù)理方程與特殊函數(shù)任課教師：楊春任課教師：楊春數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 2本次課主要內(nèi)容本次課主要內(nèi)容貝塞爾函數(shù)及其性質(zhì)貝塞爾函數(shù)及其性質(zhì)(一一)、貝塞爾方程的引入、貝塞爾方程的引入(二二)、貝塞爾方程的求解與貝塞爾函數(shù)、貝塞爾方程的求解與貝塞爾函數(shù)(三三)、貝塞爾函數(shù)的母函數(shù)及遞推公式、貝塞爾函數(shù)的母函數(shù)及遞推公式 0.8 1 0.6 0.4

2、0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 3例例1、 設(shè)有半徑為設(shè)有半徑為R的薄圓盤，其側(cè)面絕緣，若圓盤邊界上的薄圓盤，其側(cè)面絕緣，若圓盤邊界上的溫度恒保持為零度，且初始溫度為已知。求圓盤內(nèi)的瞬時的溫度恒保持為零度，且初始溫度為已知。求圓盤內(nèi)的瞬時溫度分布規(guī)律溫度分布規(guī)律 222222222220,0txyRuuuaxyRtxyux yu(一一)、貝塞爾方程的引入、貝塞爾方程的引入定解問題為：定解問題為：采用分離變量法求解采用分離變量法求解 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 4)()

3、,(),(tTyxVtyxu2( )( )0(1)T taT t (1)、時空變量分離、時空變量分離令：令：得：得：22220(2)VVVxy(2)、空間變量分離、空間變量分離對對(2)，采用極坐標并考慮邊界條件得：，采用極坐標并考慮邊界條件得：22222110,()(3)0RVVVVRV 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 5)()(),( PV22( )( )() ( )0(5)PPP 令：令：得：得：( )( )0(4)(3)、求固有值問題、求固有值問題 ( )( )02 固有值為：固有值為：2,(0,1,2.)nn

4、n 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 6), 2 , 1( ,sincos)()(2)(00nnbnaannn為常數(shù)222( )( )() ( )0(6)( )0,(0)PPnPP RP 固有函數(shù)為：固有函數(shù)為：另一個固有值問題為：另一個固有值問題為：為使該分離變量求解能進行下去，需要求解為使該分離變量求解能進行下去，需要求解(6)中中常微分方程。在分離變量求解中常常遇到這種方常微分方程。在分離變量求解中常常遇到這種方程。程。再看一個例子：再看一個例子： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1

5、.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 7例例2、在圓柱內(nèi)傳播的電磁波問題。設(shè)沿、在圓柱內(nèi)傳播的電磁波問題。設(shè)沿z方向均勻的方向均勻的電磁波在底半徑為電磁波在底半徑為1的圓柱域內(nèi)傳播，在側(cè)面沿法向方的圓柱域內(nèi)傳播，在側(cè)面沿法向方向?qū)?shù)為零，從靜止狀態(tài)開始傳播，初速為向?qū)?shù)為零，從靜止狀態(tài)開始傳播，初速為1-2 2 。求。求其傳播規(guī)律（假設(shè)對極角其傳播規(guī)律（假設(shè)對極角 對稱對稱,即園對稱）即園對稱） 2102001(),(0,01)0,0,1tttttua uutuuuu 定解問題為：定解問題為：(1)、分離變量、分離變量)()(tTRu 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0

6、.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 80)()(2 tTatT220RRR22100(7)0,RRRRR (2)、求固有值問題、求固有值問題(7)中方程與中方程與(6)中方程形式相同！中方程形式相同！對對(6)中方程，作變換：中方程，作變換： 并記：并記：r( )rF rP 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 9222( )( )() ( )0(8)r FrrF rrnF r 得到：得到：定義定義1：形如：形如(8)的常微分方程稱為的常微分方程稱為n階貝塞爾方程，階貝塞爾方程，n是實數(shù)或復(fù)數(shù)是實數(shù)或復(fù)數(shù).

7、(二二)、貝塞爾方程的求解與貝塞爾函數(shù)、貝塞爾方程的求解與貝塞爾函數(shù)假定方程形式為：假定方程形式為：0)(22222ynxdxdyxdxydx同時假定：同時假定：0n 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 10假定方程有一個廣義冪級數(shù)解假定方程有一個廣義冪級數(shù)解, 其形式為其形式為 ：20120(),0ckkyx aa xa xa xa0c kkka x把假定解代入方程中確定把假定解代入方程中確定c與與ak (k=0,1,2,.)代入方程得代入方程得 ：0220.1.kkckxanxkckckc化簡后得：化簡后得：0.1.2

8、2221122022kkckkccxaankcxancxanc 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 11于是得下列各式：于是得下列各式： 0)(220nca01221nca), 3 , 2( , 0222kaankckk于是得到：于是得到： nc01a暫取暫取 ： ，由此得由此得：nc 2(2, 3,.)(2)kkaakknk 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 1201a由由 得：得： 07531aaaa022(22)aan而而062 4 6(22)

9、(24)(26)aannn042 4(22)(24)aann02( 1),1,2,2 4 62 (22)(24)(22 )mmaamm nnnm 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 13)()2)(1( !2) 1(20mnnnmamm于是得假定解的一般項為：于是得假定解的一般項為：)()2)(1(!2)1(220mnnnmxammnm012(1)nan為了簡化上面系數(shù)的表示，特選取為了簡化上面系數(shù)的表示，特選取 ：221( 1),0,1,2,2! (1)mmnmammnm 得得 ： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0

10、 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 14于是得到于是得到n階階Bessel方程的一個特解為：方程的一個特解為：2120( )( 1),(0)2! (1)nmmnmmxy xnmnm定義定義2：n階第一類階第一類Bessel函數(shù)為：函數(shù)為：)0( ,) 1(!2) 1()(022nmnmxxJmmnmnmn取取 c=-n時時 ，用同樣方法可得另一特解：，用同樣方法可得另一特解： 220( )( 1),(0)2! (1)nmmnnmmxJxnmnm 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 15定義

11、定義3：負：負n階第一類階第一類Bessel函數(shù)函數(shù)為：220( )( 1),(0)2! (1)nmmnnmmxJxnmnm 對于正、負對于正、負n階第一類貝塞爾函數(shù)，當階第一類貝塞爾函數(shù)，當n為整數(shù)時，稱為整數(shù)時，稱為第一類整數(shù)階貝塞爾函數(shù)，為第一類整數(shù)階貝塞爾函數(shù)，n為分數(shù)時，稱為第一類為分數(shù)時，稱為第一類分數(shù)階貝塞爾函數(shù)。分數(shù)階貝塞爾函數(shù)。1()()0 , (0 )(1)21()(), (0 )(1)2nnnnxJxxnxJxxn由于當由于當n為非整數(shù)時有：為非整數(shù)時有：所以，正、負非整數(shù)所以，正、負非整數(shù)n階貝塞爾函數(shù)是階貝塞爾函數(shù)是n階貝塞爾方程的兩階貝塞爾方程的兩個線性無關(guān)特解，于

12、是得非整數(shù)個線性無關(guān)特解，于是得非整數(shù)n階貝塞爾方程通解為：階貝塞爾方程通解為： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 16)()(xBJxAJynn由達朗貝爾判別法：由達朗貝爾判別法：2221limlim04()mmmmaam mn所以，第一類貝塞爾函數(shù)的收斂域為：所以，第一類貝塞爾函數(shù)的收斂域為：0 x 第一類貝塞爾函數(shù)一般是級數(shù)表達式，但一些特殊階第一類貝塞爾函數(shù)一般是級數(shù)表達式，但一些特殊階貝塞爾函數(shù)有初等函數(shù)形式貝塞爾函數(shù)有初等函數(shù)形式(要關(guān)注！要關(guān)注！)。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.

13、5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 17例例1、試證半奇階、試證半奇階Bessel函數(shù)函數(shù) xxxJsin2)(21022122121) 121(!2) 1()(mmmmmmxxJ證明：證明：12)12(531)23(mmm由于：由于： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 18所以：所以：211022( 1)2( )sin(21)!mmmJxxxxmx例例2、求如下貝塞爾方程通解、求如下貝塞爾方程通解22221()04d ydyxxxydxdx解：這是解：這是1/2階貝塞爾方程階貝塞爾方程122( )sin

14、Jxxx122()cosJxxx1222sincosyCxCxxx 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 19整數(shù)階貝塞爾函數(shù)整數(shù)階貝塞爾函數(shù)2()2( )()( 1)2!(1)mnmnmnxxJxmmn性質(zhì)：對于性質(zhì)：對于n 階整數(shù)階貝塞爾函數(shù)有：階整數(shù)階貝塞爾函數(shù)有：( )( 1)( )nnnJxJx 證明：證明：令：令： 則則mnl220()2( )()( 1)2()! !lnnnlnlxxJxnll 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 2020(

15、 )2( 1)( 1)( 1)( )! (1)l nnlnnlxJxlnl 該性質(zhì)表明：對于該性質(zhì)表明：對于n 階整數(shù)階貝塞爾函數(shù)，階整數(shù)階貝塞爾函數(shù)，Jn(x)與與J-n(x)是線性相關(guān)的，因此，不能由它們直接的線性組合寫出是線性相關(guān)的，因此，不能由它們直接的線性組合寫出對應(yīng)的方程的通解。但如果定義：對應(yīng)的方程的通解。但如果定義：( )cos( )( )*sinnnJxJxY xLim可以驗證可以驗證*為為n階貝塞爾方程的特解，且可以證明：階貝塞爾方程的特解，且可以證明：00( ),( )(nnxxLimY xLimJxC 常數(shù)） 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5

16、1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 21定義第二類定義第二類Bessel函數(shù)為：函數(shù)為： 2100200( 1) ( )2212( )( )()2(!)1mmmmkxxY xJx Lncmk( )cos( )( )*sinnnJxJxY xLim利用洛比達法則可得：利用洛比達法則可得： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 225772. 0)131211 (LnnnLimcn結(jié)論：不論結(jié)論：不論n是否為整數(shù)，是否為整數(shù)，Bessel方程的通解都可表方程的通解都可表示為示為 ：)()(xBYxAJynn12021

17、100021(1)!( )( )()( )2!2( 1) ( )1112()!()!11nnmnnmmnmn mmmkkxnmxY xJx Lncmxm nmkk 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 231、整數(shù)階、整數(shù)階Bessel函數(shù)的母函數(shù)（生成函數(shù)）函數(shù)的母函數(shù)（生成函數(shù)） 20( )2!kxzkkxezk120( )2()!lxzllxezl(三三)、貝塞爾函數(shù)的母函數(shù)及其遞推公式、貝塞爾函數(shù)的母函數(shù)及其遞推公式 考慮函數(shù)考慮函數(shù) (x為參數(shù)為參數(shù))在在0|z| +內(nèi)羅朗展式：內(nèi)羅朗展式：1()2(,)xzzGx

18、ze所以：所以： 1()20020(1)()! !2(1)()( )()! ! 2xlzklklzklllnnnnnlnxezk lxzJx znll 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 24為整數(shù)階為整數(shù)階Bessel函數(shù)的母函數(shù)。函數(shù)的母函數(shù)。1()2( , )xzzG x ze定義：稱函數(shù)定義：稱函數(shù)如果令：如果令： ，則：，則：iiez cos01( )2( )cosixnnneJxi Jxn當當x為實數(shù)時，通過等式的比較可得：為實數(shù)時，通過等式的比較可得：021cos( cos )( )2( 1)( )cos2mmmxJxJxm 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 25210sin( cos )2( 1)( )cos(21)mmmxJxm例例3、 用母函數(shù)證明整數(shù)階貝塞爾函數(shù)加法公式：用母函數(shù)證明整數(shù)階貝塞爾函數(shù)加法公式： kknknyJxJyxJ)()()(1()exp()2nnnxyJxy zzz證明：在母函數(shù)等式中用證明：在母函數(shù)等式中用x+