-,-,-,-剛體的定軸轉動轉動定律轉動慣量角動量角動量守恒定律動能定理(forC)

1、4- -1剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動第 四 章剛 體 的 轉 動22021-11-12 剛體：剛體：在外力作用下，形狀和大小都不在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體發(fā)生變化的物體( (任意兩質點間距離保持任意兩質點間距離保持不變的特殊質點組不變的特殊質點組) )剛體的運動形式：剛體的運動形式：平動、轉動平動、轉動 剛體是理想模型剛體是理想模型 剛體模型是為簡化問題引進的剛體模型是為簡化問題引進的說明：說明：4- -1剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動32021-11-12 剛體平動剛體平動 質點運動質點運動 平動：平動：剛體中所剛體中所有點的運動軌跡都保有點的運動軌跡都保持完全相同持完全相同

2、 特點：特點：各點運動各點運動狀態(tài)一樣，如：狀態(tài)一樣，如： 等都相同等都相同a、42021-11-12轉動轉動：分分定軸轉動定軸轉動和和非定軸轉動非定軸轉動52021-11-12剛體的一般運動可看作：剛體的一般運動可看作：隨質心的平動隨質心的平動繞質心的轉動繞質心的轉動+的合成的合成62021-11-12沿沿逆時針逆時針方方向轉動向轉動一一 剛體轉動的角速度和角加速度剛體轉動的角速度和角加速度)()(ttt角位移角位移)(t 角坐標角坐標沿沿順時針順時針方方向轉動向轉動tttddlim0角速度角速度 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向P(t+dt)z.OxP(t)72021-11-12角加速

3、度角加速度t dd 剛體剛體定軸定軸轉動轉動( (一維轉動一維轉動) )的的轉動轉動方向方向可以用可以用角速度角速度的正、負的正、負來表示來表示. .00 在在沖擊沖擊等問題中等問題中L常量常量三三 剛體定軸轉動的角動量守恒定律剛體定軸轉動的角動量守恒定律462021-11-12 許多現(xiàn)象都可許多現(xiàn)象都可以用角動量守恒來以用角動量守恒來說明說明.花樣滑冰花樣滑冰跳水運動員跳水跳水運動員跳水472021-11-12解解: 系統(tǒng)角動量守恒系統(tǒng)角動量守恒)(212211JJJJ)(212211JJJJ 例例1 兩個轉動慣量分別為兩個轉動慣量分別為 J1 和和 J2 的圓盤的圓盤 A和和 B. A 是

4、機器上的飛輪是機器上的飛輪, B 是用以改變飛輪轉速的離合器圓是用以改變飛輪轉速的離合器圓盤盤. 開始時開始時, 他們分別以角速度他們分別以角速度1 和和2 繞水平軸轉繞水平軸轉動動. . 然后然后, ,兩圓盤在沿水平軸方向力的作用下，嚙合為兩圓盤在沿水平軸方向力的作用下，嚙合為一體一體, , 其角速度為其角速度為 , , 求求齒輪嚙合后齒輪嚙合后兩圓盤的角速度兩圓盤的角速度482021-11-12 例例2一雜技演員一雜技演員M由距水平蹺板高為由距水平蹺板高為h 處自由下落到蹺板的一端處自由下落到蹺板的一端A，并把蹺板另一，并把蹺板另一端的演員端的演員N彈了起來問演員彈了起來問演員N可彈起多高

5、可彈起多高? ?ll/2CABMN492021-11-12設蹺板是勻質的，長度為設蹺板是勻質的，長度為l，質量為質量為 ，蹺板可繞中部支撐點蹺板可繞中部支撐點C 在豎直平面內轉動，在豎直平面內轉動，演員的質量均為演員的質量均為m假定演員假定演員M落在蹺板上，落在蹺板上，與蹺板的碰撞是與蹺板的碰撞是完全非彈性完全非彈性碰撞碰撞m解解碰撞前碰撞前M落在落在 A點的速度點的速度21M)2( ghv碰撞后的瞬間，碰撞后的瞬間，M、N具有相同的線速度具有相同的線速度2lu 502021-11-12M、N和蹺板組成的系統(tǒng)，角動量守恒和蹺板組成的系統(tǒng)，角動量守恒22M21121222mllmlmuJlmvl

6、l/2CABMN512021-11-12lmmghmmllmlm)6()2(621222122Mv解得解得演員演員N以以u起跳，達到的高度：起跳，達到的高度：hmmmglguh2222)63(8222M21121222mllmlmuJ522021-11-12 例例3 質量很小長度為質量很小長度為l 的均勻細桿，可的均勻細桿，可繞過其中心繞過其中心 O并與紙面垂直的軸在豎直平面并與紙面垂直的軸在豎直平面內轉動內轉動當細桿靜止于水平位置時，有一只當細桿靜止于水平位置時，有一只小蟲以速率小蟲以速率 垂直落在距點垂直落在距點O為 l/4 處，并背處，并背離點離點O 向細桿的端點向細桿的端點A 爬行設小

7、蟲與細桿爬行設小蟲與細桿的質量均為的質量均為m問：欲使細桿以恒定的角速問：欲使細桿以恒定的角速度轉動，小蟲應以多大速率向細桿端點爬行度轉動，小蟲應以多大速率向細桿端點爬行?0vl/4O532021-11-12220)4(1214lmmllmvl0712 v解解蟲與桿的蟲與桿的碰撞前后，系統(tǒng)角碰撞前后，系統(tǒng)角動量守恒動量守恒542021-11-12l0712 v由角動量定理由角動量定理tJtJtLMddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22考慮到考慮到t)712cos(552021-11-12力的空間累積力的空間累積效應：效應： 力的功、動能、動能定理力的功、動能、動

8、能定理力矩的空間累積力矩的空間累積效應：效應： 力矩的功、轉動動能、動能定理力矩的功、轉動動能、動能定理4- -4 力矩的功力矩的功 剛體繞定軸轉動的動能定理剛體繞定軸轉動的動能定理562021-11-12ddddttrFsFrFWddMW 21dMW力矩的功力矩的功一力矩作功一力矩作功 orvFxtF572021-11-12MtMtWPdddd二力矩的功率二力矩的功率rFWd比較比較v FP三轉動動能三轉動動能221iiikmEv22221)(21J582021-11-1221222121d21JJMW四剛體繞定軸轉動的動能定理四剛體繞定軸轉動的動能定理21dMW2111ddddJtJ剛體繞

9、定軸轉動的動能定理剛體繞定軸轉動的動能定理 合外力矩對繞定軸轉動的剛體所作合外力矩對繞定軸轉動的剛體所作的功等于剛體轉動動能的增量。的功等于剛體轉動動能的增量。592021-11-12質點運動與剛體定軸轉動對照質點運動與剛體定軸轉動對照質點運動質點運動剛體定軸剛體定軸轉動轉動速度速度加速度加速度trddvtvdda角速度角速度角加速度角加速度t ddt dd質量質量 m轉動慣量轉動慣量動量動量角動量角動量mrJd2JL vmP 力力力矩力矩FM602021-11-12質點運動規(guī)律與剛體定軸轉動的規(guī)律對照質點運動規(guī)律與剛體定軸轉動的規(guī)律對照運動定律運動定律amF轉動定律轉動定律JM 質點的平動質

10、點的平動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動動量定理動量定理00dvvmmtFtt角動量定理角動量定理00dLLtMtt動量守恒定律動量守恒定律角動量守恒定律角動量守恒定律恒量iiimFv, 0恒量iiJM, 0力的功力的功barFWd力矩的功力矩的功0dMW動能動能2/2kvmE 轉動動能轉動動能2/2kJE 612021-11-12質點運動規(guī)律與剛體定軸轉動的規(guī)律對照質點運動規(guī)律與剛體定軸轉動的規(guī)律對照質點的平動質點的平動剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動動能定理動能定理2022121vvmmW動能定理動能定理2022121JJW重力勢能重力勢能mghE p重力勢能重力勢能CpmghE 機械能守恒機械能

11、守恒恒量pkEE只有保守力作功時只有保守力作功時機械能守恒機械能守恒恒量pkEE只有保守力作功時只有保守力作功時622021-11-12vo以子彈和沙袋為系統(tǒng)以子彈和沙袋為系統(tǒng)動量守恒；動量守恒；角動量守恒；角動量守恒；機械能機械能不不守恒守恒 .討討 論論子子彈彈擊擊入入沙沙袋袋細細繩繩質質量量不不計計632021-11-12子子彈彈擊擊入入桿桿ov以子彈和桿為系統(tǒng)以子彈和桿為系統(tǒng)機械能機械能不不守恒守恒角動量守恒；角動量守恒；動量動量不不守恒；守恒；642021-11-12voompTR圓圓錐錐擺擺圓錐擺系統(tǒng)圓錐擺系統(tǒng)動量動量不不守恒；守恒；角動量守恒；角動量守恒；機械能守恒機械能守恒65

12、2021-11-12 例例1 有一吊扇第一檔轉速為有一吊扇第一檔轉速為 n1 = 7r/s, 第二檔轉速第二檔轉速為為 n2 = 10r/s. 吊扇轉動時要受到阻力矩吊扇轉動時要受到阻力矩 Mf 的作用的作用,一一般來說般來說, 阻力矩與轉速之間的關系要由實驗測定阻力矩與轉速之間的關系要由實驗測定, 但但作為近似計算作為近似計算, 我們取阻力矩與角速度之間的關系為我們取阻力矩與角速度之間的關系為 Mf = k 2, 其中系數(shù)其中系數(shù) k = 2.7410-4 Nmrad-2s2 . 試求試求（1）吊扇的電機在這兩種轉速下所消耗的功率）吊扇的電機在這兩種轉速下所消耗的功率; （2）吊扇由靜止勻加

13、速地達到第二檔轉速經歷的時間）吊扇由靜止勻加速地達到第二檔轉速經歷的時間為為 5s . 在此時間內阻力矩做了多少功在此時間內阻力矩做了多少功 ?解解 （1）331f1111(2 )23.3 PMkknW332f 2222(2)68.0 PMkknW662021-11-12解解: 吊扇由靜止作勻角加速度運動吊扇由靜止作勻角加速度運動522nt3f 2ddWMkt阻力矩做功阻力矩做功3 33 401d4tWkttkt 在在 t 5s 時間內時間內84.8 WJ 已知已知: n1 = 7r/s, n2 = 10r/s; Mf = k 2, k = 2.7410-4 Nmrad-2s2. 求求（2）吊

14、扇由靜止勻加）吊扇由靜止勻加速的達到第二檔轉速經歷的時間為速的達到第二檔轉速經歷的時間為 5s . 在此時間內阻力在此時間內阻力矩做了多少功矩做了多少功 ?672021-11-12 例例2 一長為一長為 l , 質量為質量為 的竿可繞支點的竿可繞支點O自由轉自由轉動動 . 一質量為一質量為 、速率為、速率為 的子彈射入竿內距支點為的子彈射入竿內距支點為 a 處，使竿的偏轉角為處，使竿的偏轉角為30 . 問子彈的初速率為多少問子彈的初速率為多少 ?vmm 解解: 把子彈和竿看作一個系把子彈和竿看作一個系統(tǒng)統(tǒng) . 子彈射入竿的過程系統(tǒng)角動子彈射入竿的過程系統(tǒng)角動量守恒量守恒)31(682021-1

15、1-12oamv30mamalmmalmg6)3)(2)(32(22v222)31(21malm)30cos1 (2lgm)30cos1 (mga 射入竿后，以子彈、細桿和射入竿后，以子彈、細桿和地球為系統(tǒng)地球為系統(tǒng) ，機械能守恒，機械能守恒 692021-11-12 例例3 一根長為一根長為l、質量為、質量為m的均勻細棒的均勻細棒, 棒的一端可繞通過棒的一端可繞通過O點并垂直于紙面的軸轉動點并垂直于紙面的軸轉動, 棒棒的另一端有質量為的另一端有質量為 m 的小球的小球. 開開始時始時, 棒靜止地處于水平位置棒靜止地處于水平位置A. 當棒轉過當棒轉過 角到達位置角到達位置 B, 棒的棒的角速度

16、為多少角速度為多少? 解解: : 取小球、細棒和地球為系統(tǒng)取小球、細棒和地球為系統(tǒng), , 在棒轉動過程中在棒轉動過程中機械能守恒機械能守恒, , 設設 A A 位置為重力勢能零點位置為重力勢能零點. .pBkBpAkAEEEEolm,mAB702021-11-122kB21JE0PkAAEEpBkBpAkAEEEE2223431mlmlmlJ)sinsin2(pBmgllmgEsin23mgl21)sin(23lgolm,mABgm21JJJ712021-11-12 補充補充 留聲機的轉盤繞通過盤心垂直盤留聲機的轉盤繞通過盤心垂直盤面的軸以角速率面的軸以角速率 作勻速轉動放上唱片作勻速轉動放上

17、唱片后，唱片將在摩擦力作用下隨轉盤一起轉后，唱片將在摩擦力作用下隨轉盤一起轉動設唱片的半徑為動設唱片的半徑為R，質量為，質量為m，它與轉，它與轉盤間的摩擦系數(shù)為盤間的摩擦系數(shù)為 ，求：，求：( (1) )唱片與轉盤唱片與轉盤間的摩擦力矩；間的摩擦力矩； ( (2) )唱片達到角速度唱片達到角速度 時需時需要多長時間；要多長時間；( (3) )在這段時間內，轉盤的驅在這段時間內，轉盤的驅動力矩做了多少功？動力矩做了多少功？722021-11-12RrdrdllrRmgfddd2fdo 解解 ( (1) ) 如圖取面如圖取面積元積元ds = drdl，該面元，該面元所受的摩擦力為所受的摩擦力為此力對點此力對點o的力矩為的力矩為l