-解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)

1、第七節(jié) 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 一、調(diào)和函數(shù)的定義二、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系三、小結(jié)與思考2一、調(diào)和函數(shù)的定義一、調(diào)和函數(shù)的定義定義定義. ),( 0, , ),( 2222內(nèi)的調(diào)和函數(shù)內(nèi)的調(diào)和函數(shù)為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域那末稱那末稱并且滿足拉普拉斯方程并且滿足拉普拉斯方程有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具內(nèi)具在區(qū)域在區(qū)域如果二元實(shí)變函數(shù)如果二元實(shí)變函數(shù)DyxyxDyx 調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場(chǎng)理論等實(shí)際調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場(chǎng)理論等實(shí)際問(wèn)題中有很重要的應(yīng)用問(wèn)題中有很重要的應(yīng)用.拉普拉斯拉普拉斯3二、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系二、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系1. 兩者的關(guān)系兩者的關(guān)系定理定理 任何在區(qū)

2、域任何在區(qū)域 D 內(nèi)解析的函數(shù)內(nèi)解析的函數(shù), ,它的實(shí)部它的實(shí)部和虛部都是和虛部都是 D 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)內(nèi)的調(diào)和函數(shù).證證 ,)( 內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)為為設(shè)設(shè)Divuzfw . , xvyuyvxu 那末那末. , 222222yxvyuxyvxu 從而從而4根據(jù)解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)定理根據(jù)解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)定理, , 數(shù)數(shù)具有任意階的連續(xù)偏導(dǎo)具有任意階的連續(xù)偏導(dǎo)與與vu, 22yxvxyv , 0 2222 yuxu從而從而, 0 2222 yvxv同理同理 . 都是調(diào)和函數(shù)都是調(diào)和函數(shù)與與因此因此vu證畢證畢5. , , ,的共軛調(diào)和函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù)稱為稱為兩個(gè)調(diào)和函數(shù)中兩個(gè)調(diào)和函

3、數(shù)中的的內(nèi)滿足方程內(nèi)滿足方程在在換句話說(shuō)換句話說(shuō)uvxvyuyvxuD 2. 共軛調(diào)和函數(shù)的定義共軛調(diào)和函數(shù)的定義. ),( ),( , ),( 的共軛調(diào)和函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù)稱為稱為函數(shù)函數(shù)內(nèi)構(gòu)成解析函數(shù)的調(diào)和內(nèi)構(gòu)成解析函數(shù)的調(diào)和在在們把使們把使我我內(nèi)給定的調(diào)和函數(shù)內(nèi)給定的調(diào)和函數(shù)為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域設(shè)設(shè)yxuyxvDivuDyxu 區(qū)域區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛調(diào)內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù)和函數(shù). .63. 偏積分法偏積分法 如果已知一個(gè)調(diào)和函數(shù)如果已知一個(gè)調(diào)和函數(shù) u, 那末就可以利用那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共軛調(diào)和函數(shù)柯西黎曼方程求得它的共軛調(diào)和函數(shù) v, 從而從

4、而構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)u+vi. 這種方法稱為這種方法稱為偏積分法偏積分法.解解例例1 . ),( , 3),( 23數(shù)數(shù)和由它們構(gòu)成的解析函和由它們構(gòu)成的解析函其共軛調(diào)和函數(shù)其共軛調(diào)和函數(shù)并求并求為調(diào)和函數(shù)為調(diào)和函數(shù)證明證明yxvyxyyxu ,6 xyxu 因?yàn)橐驗(yàn)?6 22yxu ,33 22xyyu ,6 22yyu 7, 0 2222 yuxu于是于是 . ),( 為調(diào)和函數(shù)為調(diào)和函數(shù)故故yxu,6 xyxuyv 因?yàn)橐驗(yàn)?yxyvd6),(32xgxy ),(32xgyxv yuxv 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?3322xy 8 xxxgd3)( 2故故,3cx ,3),(23cxy

5、xyxv )(32xgy ,3322xy 得一個(gè)解析函數(shù)得一個(gè)解析函數(shù)).3(32323cxyxiyxyw 這個(gè)函數(shù)可以化為這個(gè)函數(shù)可以化為).()(3czizfw 答案答案課堂練習(xí)課堂練習(xí). , 236),( 3223并求其共軛調(diào)和函數(shù)并求其共軛調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)為為證明證明yxyyxxyxu .263),(3322cxyxyyxyxv ) ( 為任意常數(shù)為任意常數(shù)c) ( 為任意常數(shù)為任意常數(shù)c9例例2 . 0)0( ,)( , )sincos(),( fivuzfyxyxyyeyxvx使使求一解析函數(shù)求一解析函數(shù)和函數(shù)和函數(shù)為調(diào)為調(diào)已知已知解解, 1)sinsincos( yyxy

6、yexvx, 1)cossin(cos yxyyyeyvxyvxu 由由, 1)cossin(cos yxyyyex xyxyyyeuxd1)cossin(cos 得得10),()sincos(ygxyyyxeux , 得得由由yuxv 1)sinsincos( yyxyyex),()sincossin(ygyyyyxex ,)( cyyg 故故,)sincos( cyxyyyxeux 于是于是11,)1(czizez , 0)0( f由由, 0 c得得所求解析函數(shù)為所求解析函數(shù)為.)1()(zizezfz ivuzf )(ciiyixeiyeexeiyxiyx )1()1(124. 不定積分

7、法不定積分法. , ),( ),( 不定積分法不定積分法求解析函數(shù)的方法稱為求解析函數(shù)的方法稱為用不定積分用不定積分或或已知調(diào)和函數(shù)已知調(diào)和函數(shù)yxvyxu不定積分法的實(shí)施過(guò)程不定積分法的實(shí)施過(guò)程: , )( )( 仍為解析函數(shù)仍為解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)解析函數(shù)zfivuzf xxivuzf )( 且且yxiuu xyivv , 來(lái)表示來(lái)表示用用與與把把zivviuuxyyx ),()(zUiuuzfyx ),()(zVivvzfxy 13將上兩式積分將上兩式積分, 得得,d)()(czzUzf ,d)()(czzVzf , )( zfu求求適用于已知實(shí)部適用于已知實(shí)部 , )( zfv

8、 求求適用于已知虛部適用于已知虛部14例例3 3).( 1)( , )( , . , 22zfifivuzfvkyxuk的的并求并求為解析函數(shù)為解析函數(shù)使使再求再求為調(diào)和函數(shù)為調(diào)和函數(shù)使使值值求求 解解根據(jù)調(diào)和函數(shù)的定義可得根據(jù)調(diào)和函數(shù)的定義可得, 1 k,2 xxu 因?yàn)橐驗(yàn)? 2 22 xu,2 kyyu ,2 22kyu yxiuuzUzf )()( 因?yàn)橐驗(yàn)閗yix22 15kyix22 yix22 ,2z zzzfd2)( 根據(jù)不定積分法根據(jù)不定積分法,2cz , 1)( if由由 , 0 c得得所求解析函數(shù)為所求解析函數(shù)為.2)(222zxyiyxzf 16用不定積分法求解例用不定

9、積分法求解例1中的解析函數(shù)中的解析函數(shù) yxiuuzUzf )()()2(322yxyixi ,32iz zizzfd3)(2,13ciz ) , , )( (1為任意純虛數(shù)為任意純虛數(shù)所以常數(shù)所以常數(shù)實(shí)的任意常數(shù)實(shí)的任意常數(shù)不可能包含不可能包含的實(shí)部為已知函數(shù)的實(shí)部為已知函數(shù)因?yàn)橐驗(yàn)閏zf例例4 4 .3),( 23yxyyxu 實(shí)部實(shí)部解解 ) ( 為任意實(shí)常數(shù)為任意實(shí)常數(shù)c).()( 3czizf 故故)(zf17例例5 解解用不定積分法求解例用不定積分法求解例2中的解析函數(shù)中的解析函數(shù) )(zf .)sincos(),( yxyxyyeyxvx 虛部虛部xyivvzVzf )()(1)

10、sinsincos( yyxyyeix1)cossin(cos yxyyyexiyeiyxyeiyxiyiyexxx 1cos)(sin)()sin(cos18iyiyeiyxyiyexx 1sincos)()sin(cosieiyxeiyxiyx 1)(,1izeezz zzVzfd)()(zizeezzd)1( .)1(czizez ) ( 為任意實(shí)常數(shù)為任意實(shí)常數(shù)c19例例6 解解.)( ),(2)4)( 22ivuzfyxyxyxyxvu 試確定解析函數(shù)試確定解析函數(shù)已知已知, 2)42)()4(22 yxyxyxyxvuxx兩邊同時(shí)求導(dǎo)數(shù)兩邊同時(shí)求導(dǎo)數(shù), 2)24)()4(22 yx

11、yxyxyxvuyy , , xvyuyvxu 且且所以上面兩式分別相加減可得所以上面兩式分別相加減可得20, 23322 yxvy,6xyvx xyivvzf )(xyiyx623322 , 232 z zzzfd)23()(2.23czz ) ( 為任意實(shí)常數(shù)為任意實(shí)常數(shù)c21三、小結(jié)與思考三、小結(jié)與思考 本節(jié)我們學(xué)習(xí)了調(diào)和函數(shù)的概念、解析函數(shù)本節(jié)我們學(xué)習(xí)了調(diào)和函數(shù)的概念、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系以及共軛調(diào)和函數(shù)的概念與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系以及共軛調(diào)和函數(shù)的概念.應(yīng)應(yīng)注意注意的是的是: 1. 任意兩個(gè)調(diào)和函數(shù)任意兩個(gè)調(diào)和函數(shù)u與與v所構(gòu)成的所構(gòu)成的函數(shù)函數(shù)u+iv不一定是解析函數(shù)不一定是解析函數(shù). 2. 滿足柯西滿足柯西黎曼方程黎曼方程ux= vy, vx= uy,的的v稱為稱為u的共軛調(diào)和函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù),