慣性矩、靜矩,形心坐標(biāo)公式

1、§1-1截面的靜矩和形心位置如圖1-1所示平面圖形代 表一任意截面，以下兩積分分別定義為該截面對(duì)于Z軸和y 軸的靜矩。靜矩可用來確定截面的形 心位置。由靜力學(xué)中確定物體重 心的公式可得LzdA利用公式上式可寫成A ALZdA Sr(I-2)或Sz = A%(I-3)ASy(I-4)如果一個(gè)平而圖形是由若干個(gè)簡(jiǎn)單圖形組成的組合圖形，則由靜 矩的定義可知，整個(gè)圖形對(duì)某一坐標(biāo)軸的靜矩應(yīng)該等于各簡(jiǎn)單圖形對(duì)同一坐標(biāo)軸的靜矩的代數(shù)和。即： sz = £ 4人;=1>Sy =藝/=1丿（1-5）式中A、W和z“分別表示某一組成部分的而積和其形心坐標(biāo)，n為 簡(jiǎn)單圖形的個(gè)數(shù)。將式（1-

2、5）代入式（1-4）,得到組合圖形形心坐標(biāo)的計(jì)算公式 為>7 A-y<z0.4mye(1-6)0.6mllvh0.2m例題i-1圖例題卜1圖a所示 為對(duì)稱T型截而，求該截 面的形心位置。解：建立直角坐標(biāo)系 zOy,其中y為截而的對(duì) 稱軸。因圖形相對(duì)于y軸 對(duì)稱，其形心一定在該對(duì) 稱軸上，因此zc = 0,只需 計(jì)算ye值。將截面分成 I、I【兩個(gè)矩形，則41=0.072m2, Ah=0.08m2yi=0.46m, yn=0.2mS 4人 /=!SAZ=1A*i + Ai/ii£ + Au0.072x0.46 + 0.08x0.2 二 Q 323m0.072 + 0.08&

3、#167;1-2慣性矩.慣性積和極慣性矩圖1一2如圖卜2所示平面圖形代表一任意截面，在圖 形平而內(nèi)建立直角坐標(biāo)系z(mì)Oy.現(xiàn)在圖形內(nèi)取微面積 d4, dA的形心在坐標(biāo)系z(mì)Oy中的坐標(biāo)為y和乙 到 坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為p°現(xiàn)定義y2dA和z2dA為微面積 dA對(duì)z軸和y軸的慣性矩，p2dA為微而積dA對(duì)坐 標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩，而以下三個(gè)積分=Ly2dA = f/2dA >(1-7)Zp = £p2dA分別定義為該截而對(duì)于z軸和y軸的慣性矩以及對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性 矩o由圖(1-2)可見，所以有Ip = p2dA= (y2 + Z2)dA = Iz+IyJaJay (1-8)即任意

4、截而對(duì)一點(diǎn)的極慣性矩，等于截面對(duì)以該點(diǎn)為原點(diǎn)的兩任 意正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和。另外，微面積dA與它到兩軸距離的乘積zydA稱為微面積dA對(duì) y、z軸的慣性積，而積分lyz=dA (H9) 定義為該截面對(duì)于y、z軸的慣性積。從上述定義可見，同一截面對(duì)于不同坐標(biāo)軸的慣性矩和慣性積一般是不同的。慣性矩的數(shù)值恒為正值，而慣性積則可能為正，可能為 負(fù)，也可能等于零。慣性矩和慣性積的常用單位是卅或mm4o§1-3慣性矩慣性積的平行移軸和轉(zhuǎn)軸公式一、慣性矩、慣性積的平行 移軸公式圖卜3所示為一任意截面， z、y為通過截而形心的一對(duì)正交 軸，zi、yi為與z、y平行的坐標(biāo) 軸,截面形心C在座標(biāo)系z(mì)i

5、O yi 中的坐標(biāo)為(b, a),己知截而對(duì) z、y軸慣性矩和慣性積為/z、/y、 lyz，下面求截面對(duì)乙、yi軸慣性 矩和慣性積/zl、/小/ylzloL =/. +/A同理可得/宀+心“厶(1-10)(1-11)式(110)、(1-11)稱為慣性矩的平行移軸公式。下面求截面對(duì)W、乙軸的慣性積/杠。根據(jù)定義=zydA + a dA + ydA + abAI, + ciS + bS + cibAyzyz由于z、y軸是截面的形心軸，所以Sz = Sy = 0,即Ivz = Ivz + abA" (1-12)式(1-12)稱為慣性積的平行移軸公式。二、慣性矩、慣性積的轉(zhuǎn)軸公式圖(卜4)所

6、示為一任意截面，z、y為過任一點(diǎn)0的一對(duì)正交軸, 截面對(duì)z、y軸慣性矩lz、/y和慣性積lyz己知?，F(xiàn)將z、y軸繞0點(diǎn)旋轉(zhuǎn)a角（以逆時(shí)針方向?yàn)檎┑玫搅硪粚?duì)正交軸乙、婦軸，下面求截 而對(duì)乙、w軸慣性矩和慣性積'、4、人圖1一4cos2a-Iyzsm2a（1-13）同理可得cos2q +1sin 27y乙(1-14)'憶1sm2 + /yzcos2«(1-15)式（卜13）、（1-14）稱為慣性矩的轉(zhuǎn)軸公式，式（1-15）稱為慣性 積的轉(zhuǎn)軸公式。§1-4形心主軸和形心主慣性矩一、主慣性軸、主慣性矩由式（115）可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a = 0°,即兩坐標(biāo)軸互相

7、重合時(shí), ；v>z> = Iyz；當(dāng)a = 90°時(shí)，因此必定有這樣的一對(duì)坐標(biāo)軸, 使截而對(duì)它的慣性積為零。通常把這樣的一對(duì)坐標(biāo)軸稱為截面的主慣 性軸，簡(jiǎn)稱主軸，截面對(duì)主軸的慣性矩叫做主慣性矩。假設(shè)將z、y軸繞0點(diǎn)旋轉(zhuǎn)do角得到主軸Zo、yo,由主軸的定義 sin 2a0 +1x: cos2a0 = 0從而得tan 2a0 = 上式就是確定主軸的公式，式中負(fù)號(hào)放在分子上，為的是和下而兩式 相符。這樣確定的角就使得等于人叫由式(1-16)及三角公式可得I.-I.cos 2a.=”- 21V2sin2兔二=,=亍-/v)2+c 將此二式代入到式(卜13)、(1-14)便可得到

8、截面對(duì)主軸Zo、 %的主慣性矩+ 4鶯(1-17)厶。='2_ J(4 /J +4Z：二、形心主軸、形心主慣性矩通過截而上的任何一點(diǎn)均可找到一對(duì)主軸。通過截面形心的主軸 叫做形心主軸，截面對(duì)形心主軸的慣性矩叫做形心主慣性矩。例題I-5求例1-1中截而的形心主慣性矩。 解：在例題卜1中已求出形心位置為“ = 0 9 yc = 0.323 m 過形心的主軸Zo、y°如圖所示，Zo軸到兩個(gè)矩形形心的距離分別 為ax =0.137 m , au = 0.123 m截而對(duì)zo軸的慣性矩為兩個(gè)矩形對(duì)zo軸的慣性矩之和，即=/： +Aia +/； + AuaZo0.6x0.12' c s ”20.2