-中心極限定理

1、下下回回停停一、問題的提出一、問題的提出二、中心極限定理二、中心極限定理第二節(jié)第二節(jié) 中心極限定理中心極限定理一、問題的提出一、問題的提出 由上一節(jié)大數(shù)定理由上一節(jié)大數(shù)定理,我們得知滿足一定條件我們得知滿足一定條件的隨機變量序列的算數(shù)平均值依概率收斂的隨機變量序列的算數(shù)平均值依概率收斂, 但但我們無法得知其收斂的速度我們無法得知其收斂的速度, 本節(jié)的中心極限本節(jié)的中心極限定理可以解決這個問題定理可以解決這個問題. 在實際中在實際中, 人們發(fā)現(xiàn)人們發(fā)現(xiàn) n 個相互獨立同分布個相互獨立同分布的隨機變量之和的分布近似于正態(tài)分布的隨機變量之和的分布近似于正態(tài)分布, 并且并且 n 越大越大,近似程度越好

2、近似程度越好. 定理定理4.8 林德貝格林德貝格-列維中心極限定理列維中心極限定理 nnXYniin 1二、中心極限定理二、中心極限定理且具有數(shù)學(xué)期望與方差且具有數(shù)學(xué)期望與方差設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X1, X2, Xn相互獨立相互獨立, 服從同一分布服從同一分布,則隨機變量則隨機變量E Xi , D Xi 2 0 i=1, 2, n 的分布函數(shù)的分布函數(shù)Fn x 對于任意對于任意 x 滿足滿足 txYPxFtxnnnnde21limlim22 漸近服從標準漸近服從標準隨機變量隨機變量時時當當nYn,2 21nnANXYniin, nANXnXnii21,1 .1 , 0,1 , 0ANYNn 記

3、為記為正態(tài)分布正態(tài)分布注注 1 近似程度越好近似程度越好.n越大越大,3 的和近似服從正態(tài)分布的和近似服從正態(tài)分布.定理定理4.8表明表明n個相互個相互獨立同分布的獨立同分布的隨機變量隨機變量一加法器同時收到一加法器同時收到20個噪聲電壓個噪聲電壓Vk .105 的近似值的近似值求求 VP ,100201 kkVV記記上服從均勻分布上服從均勻分布，且都在區(qū)間且都在區(qū)間解解 由于由于Vk U 0, 10 , 易知易知 20, 2, 112100, 5 kVDVEkk k=1, 2, 20 . 設(shè)它們是相互獨立的隨機變量設(shè)它們是相互獨立的隨機變量,例例1由由林德貝格林德貝格-列維中心極限定理列維中

4、心極限定理知知10351001210020520201 VVYkkn 10351001051035100105VPVP近似服從標準正態(tài)近似服從標準正態(tài) 101510351001VP 348. 0387. 01 分布分布N 0, 1 , 于是于是 niXDXEiiii, 2, 1,2 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X1, X2, Xn相互獨立相互獨立, 它們具有數(shù)學(xué)它們具有數(shù)學(xué)期望與方差期望與方差,niinB122記記若存在正數(shù)若存在正數(shù) , 使得當使得當n時時 01122 niiinXEB定理定理4.9 李雅普諾夫李雅普諾夫(Liapunov)定理定理nniiniinBXY 11 txYPxFtxnnn

5、nde21limlim22 則隨機變量則隨機變量的分布函數(shù)的分布函數(shù)Fn x 對于任意對于任意 x 滿足滿足 niiniiniiANX1211, 注注 1 定理定理4.9是獨立不同分布情形的中心極是獨立不同分布情形的中心極限限定理定理, 該定理表明該定理表明: 當當n充分大時充分大時, 有有 1 , 0 ANYn 而而 2 由由定理定理4.8及及定理定理4.9可以看出可以看出, 正態(tài)隨機正態(tài)隨機變量的普遍性及其在概率論中所占有的重要地變量的普遍性及其在概率論中所占有的重要地位位.一份考卷由一份考卷由99個題目組成個題目組成, 并按由易到難順序并按由易到難順序排列排列. 某學(xué)生答對某學(xué)生答對1題

6、的概率是題的概率是 0.99; 答對第答對第2題的題的概率概率是是0.98; 一般地一般地, 他答對第他答對第 i 題的概率是題的概率是1001i i=1, 2, 99 , 假如該學(xué)生回答各問題是相互獨立假如該學(xué)生回答各問題是相互獨立的的, 并且要正確回答其中并且要正確回答其中60個問題以上個問題以上(包括包括60)才算才算通過考試通過考試. 試計算該學(xué)生通過考試的概率是多少試計算該學(xué)生通過考試的概率是多少?解解 設(shè)設(shè) 99, 2, 1, 0, 1 iiiXi題題學(xué)生答錯第學(xué)生答錯第題題學(xué)生答對第學(xué)生答對第例例2 ,1iipXP npPXDBniiiniin1121于是于是 Xi 是兩點分布是

7、兩點分布:為了使其成為隨機變量序列為了使其成為隨機變量序列, 我們規(guī)定從我們規(guī)定從 X100開始開始都與都與X99同分布同分布, 且相互獨立且相互獨立, 于是于是另一方面另一方面, 因為因為 iiiiiipppppXE 11333 2211iiiipppp iipp 1 iipXP 10 niiinpXEB1331 011211 niiipp即獨立隨機變量序列滿足即獨立隨機變量序列滿足李雅普諾夫定理李雅普諾夫定理的條件的條件.因此隨機變量因此隨機變量 niiniiniinXDXEXY111于是于是近似服從標準正態(tài)分布近似服從標準正態(tài)分布N 0, 1 . n 991iiXE 9911001ii5

8、 .49210099100199 計算得計算得 991299iiXDB 1001001991iii 9912210015 .49ii61991009910015 .492 665.16 此學(xué)生通過考試的可能性很小此學(xué)生通過考試的可能性很小, 大約只有大約只有 60991iiXP 665.165 .4960665.165 .49991iiXP 0050. 05735. 21 而該學(xué)生通過考試的概率應(yīng)為而該學(xué)生通過考試的概率應(yīng)為千分之五可能性千分之五可能性. txpnpnpYPxnntde211lim22 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量Yn服從二項分布服從二項分布B n, p , 則其標準化則其標準化隨機變

9、量隨機變量 pnpnpYYnn 1的分布函數(shù)的極限為的分布函數(shù)的極限為定理定理4.10 棣莫佛棣莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理證證 令令 niAiAiXi, 2, 1, 0, 1 不發(fā)生不發(fā)生次試驗次試驗第第發(fā)生發(fā)生次試驗次試驗第第X1, X2, Xn獨立獨立, 同時服從同時服從B 1, p 分布分布, 且且 niinXY1由于由于 E Xi p, D Xi p 1 p i=1, 2, n , xpnpnpYPnn1lim xpnpnpXPniin1lim1txtde2122 證畢證畢.由由定理定理4.8得得注注 1 定理定理4.10表明正態(tài)分布是二項分布的極限表明正態(tài)分布是二項分布的極限 3

10、 實際應(yīng)用中當實際應(yīng)用中當n很大時很大時,分布分布也稱為也稱為“二項分布的正態(tài)近二項分布的正態(tài)近似似”.2 與與“二項分布的泊松近似二項分布的泊松近似”相比較相比較, 兩種近兩種近似似都要求都要求n很大很大. 1 如果如果p很小而很小而np不太大時不太大時, 采用泊松近似采用泊松近似; 2 如果如果 np 5 和和 n 1 p 5 同時成立時同時成立時,采用正態(tài)近似采用正態(tài)近似.下面的圖形表明下面的圖形表明:正態(tài)分布是二項分布的逼近正態(tài)分布是二項分布的逼近.某車間有某車間有200臺機床臺機床,它們獨立地工作著它們獨立地工作著, 開工開工解解 設(shè)設(shè)開工率均為開工率均為0.6, 開工時耗電均為開工

11、時耗電均為1000W, 問供電所問供電所至少要供給這個車間多少電力才能以至少要供給這個車間多少電力才能以99.9%的概率的概率保證這個車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)保證這個車間不會因供電不足而影響生產(chǎn). 臺機床不工作臺機床不工作第第臺機床工作臺機床工作第第iiXi, 0, 1且且表示工作的機床臺數(shù)表示工作的機床臺數(shù)則則,2001iiXX i=1, 2, 200, .6 . 0 ,200 BX例例3 999. 04 . 06 . 00200200 rkkkkCrXP 4 . 06 . 02006 . 020000PrXP 4 . 06 . 02006 . 02004 . 06 . 02006 .

12、0200rX問題是求問題是求r, 使使由由棣莫佛棣莫佛 拉普拉斯中心極限定理拉普拉斯中心極限定理, 有有 4 . 06 . 02006 . 02004 . 06 . 02006 . 0200r1 . 348120查標準正態(tài)分布表得查標準正態(tài)分布表得 r 999. 04812032.1748120 rr所以所以 r=141.該結(jié)果表明該結(jié)果表明, 若供電若供電141KW, 那么由于供電那么由于供電不足而影響生產(chǎn)的可能性小于不足而影響生產(chǎn)的可能性小于0.001. 拉普拉斯定理拉普拉斯定理棣莫佛棣莫佛李雅普諾夫定理李雅普諾夫定理列維中心極限定理列維中心極限定理林德貝格林德貝格中心極限定理中心極限定理

13、獨立同分布情形獨立同分布情形獨立不同分布情形獨立不同分布情形二項分布的正態(tài)近似二項分布的正態(tài)近似內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)例例1-1 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X1, X2, Xn相互獨立相互獨立, 且且 Xi 在區(qū)間在區(qū)間1, 1 上服從均勻分布上服從均勻分布 i=1, 2, n , 試證試證當當 n充分大時充分大時, 隨機變量隨機變量 niniXnZ121近似服從近似服從正態(tài)分布并指出其分布參數(shù)正態(tài)分布并指出其分布參數(shù).證證 記記), 2 , 1(,2niXYii )()(2iiXEYE )(iXD 22)()()(iiiYEYEYD 24)()(iiYEXE 1144d21)( iiixxXE因為因為,

14、51 備用題備用題因為因為X1, X2, Xn相互獨立相互獨立, 所以所以Y1, Y2,Yn相互獨立相互獨立, 根據(jù)根據(jù)定理定理4.8 niniXZn12 niiY1,454,3 nnN近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布故故Zn近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布.454,31 nN23151)( iYD 所以所以,454 某汽車銷售點每天出售汽車數(shù)服從參數(shù)某汽車銷售點每天出售汽車數(shù)服從參數(shù)為為2的泊松分布的泊松分布. 若一年若一年365天都經(jīng)營汽車銷售天都經(jīng)營汽車銷售,且每天出售的汽車是相互獨立的且每天出售的汽車是相互獨立的, 求一年中售出求一年中售出 700輛以上汽車的概率輛以上汽車的概率.解解

15、 記記Xi為第為第i天出售的汽車數(shù)量天出售的汽車數(shù)量, .730,2 YDYEXDXEii知知由由.36521為一年的總銷量為一年的總銷量XXXY 利用利用林德貝格林德貝格-列維中心極限定理列維中心極限定理, 可得可得 7307307001 7001700 YPYP .8665. 011. 11 則一年售出則一年售出700輛以上汽車的概率近似為輛以上汽車的概率近似為0.8665.例例1-2 某餐廳每天接待某餐廳每天接待400名顧客名顧客, 設(shè)每位顧的設(shè)每位顧的消費額消費額(元元)服從服從(20, 100)上的均勻分布上的均勻分布, 且顧客且顧客的消費額是相互獨立的的消費額是相互獨立的. 試求試

16、求: (1)該餐廳每天的平均營業(yè)額該餐廳每天的平均營業(yè)額;(2)該餐該餐8廳每天的營業(yè)額在平均營業(yè)額廳每天的營業(yè)額在平均營業(yè)額 760元元的概率的概率.4001 iiXY而該餐廳每天的營業(yè)額為而該餐廳每天的營業(yè)額為解解 設(shè)設(shè)Xi為第為第i位顧客的消費額位顧客的消費額,Xi U 20, 100 . 所以所以 E Xi 60, D Xi 1600 3. 例例1-3(1)該餐廳每天的營業(yè)額為該餐廳每天的營業(yè)額為2400060400)()(4001 iiXEYE(2)利用利用林德貝格林德貝格-列維中心極限定理列維中心極限定理, 可得可得1)31600400760(2)76024000760( YP90

17、. 01)645. 1(2 這表明這表明:該餐廳每天的營業(yè)額在該餐廳每天的營業(yè)額在23240到到24760之間的概率近似為之間的概率近似為0.90. 某人釣魚平均每次釣到某人釣魚平均每次釣到2kg, 方差方差2.25kg2. 問問: 至少釣多少次魚至少釣多少次魚, 才能使總重量不少才能使總重量不少200kg的概率為的概率為0.95?解解 設(shè)此人共釣設(shè)此人共釣n次次, 各次釣到的魚各次釣到的魚的重量為隨機變量的重量為隨機變量Xi , 則則 E Xi 2, D Xi 2.25. niiXZ1令令, 則則E Z 2n, D Z 2.25n.根據(jù)根據(jù)林德貝格林德貝格-列維中心極限定理列維中心極限定理,

18、 Z近似服從近似服從N 2n, 2.25n . 例例1-4 nnnnZPZP25. 2220025. 22200010023375. 1 nn.95. 025. 22200 nn645. 15 . 12200 nn查表得查表得. 即即n滿足方程滿足方程解方程解方程, 得得n=113.12. 因此因此, 取取n=114即可即可. 則有則有每人每年交每人每年交200元元. 若老人在該年內(nèi)死亡若老人在該年內(nèi)死亡, 公司公司付付給家屬給家屬1萬元萬元. 設(shè)老年人死亡率為設(shè)老年人死亡率為0.017, 試求保險試求保險公司在一年內(nèi)的這項保險中虧本的概率公司在一年內(nèi)的這項保險中虧本的概率.解解 設(shè)設(shè) X 為

19、一年中投保老人為一年中投保老人 ,170 npXE其中其中 n 10000, p 0.017. 且且 983. 01701 pnpXD的死亡數(shù)的死亡數(shù), 則則 X B n, p 例例3-1 某保險公司的老年人壽保險有某保險公司的老年人壽保險有1萬人參加萬人參加, 2001000010000 XP pnpnppnpnpXP12001 321. 2983. 0170170XP01. 0)321. 2(1 保險公司虧本的概率為保險公司虧本的概率為由由棣莫佛棣莫佛 拉普拉斯定理拉普拉斯定理知知 200 XP遭受了遭受了90000次波浪沖擊次波浪沖擊, 問其中有問其中有2950030500一船舶在某海區(qū)

20、航行一船舶在某海區(qū)航行, 已知每遭受一次已知每遭受一次海浪的沖擊海浪的沖擊, 縱搖角大于縱搖角大于 3 的概率為的概率為1/3, 若船舶若船舶解解 將船舶每遭受一次海浪的將船舶每遭受一次海浪的沖擊看作一次試驗沖擊看作一次試驗, 并假設(shè)各并假設(shè)各次試驗是獨立的次試驗是獨立的. 在在90000次次波浪沖擊中縱搖角大于波浪沖擊中縱搖角大于 3 的次數(shù)為的次數(shù)為X, 則則X是是一個隨機變量一個隨機變量, 且且 X B 90000, 1/3 . 分布律為分布律為kXP kkk 90000323190000.90000, 1, k次縱搖角次縱搖角大于大于 3 的概率是多少？的概率是多少？例例3-2所求概率

21、為所求概率為3050029500 XPkkkk 900003050029501323190000直接計算很麻煩，利用直接計算很麻煩，利用棣莫佛棣莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理3050029500 XP )1(30500)1()1(29500pnpnppnpnpXpnpnpP )1(30500)1(295002de212pnpnppnpnptt )1(29500)1(30500pnpnppnpnp,31,90000 pn3050029500 XP 225225.9995. 0 解解 令令X表示同時要外線的表示同時要外線的電話機數(shù)電話機數(shù), 則則 XB 1000, 0.05 , 且且 np 50,

22、 np(1p) 47.5.根據(jù)根據(jù)棣莫佛棣莫佛- -拉普拉斯定理拉普拉斯定理, X近似服近似服N 50,47.5 . 假定安裝假定安裝 k 條外線條外線, 可使可使 某單位有某單位有1000部內(nèi)線電話部內(nèi)線電話, 每部電話打每部電話打外線的概率為外線的概率為0.05, 問需要裝多少外線問需要裝多少外線, 才能保才能保證每部電話打外線時證每部電話打外線時, 即時接通的概率不小于即時接通的概率不小于0.95? 95. 0 kXP例例3-3.95. 05 .47505 .47505 .4750 kkXP,645. 15 .4750 k查表得查表得 1.645 0.95. 由單調(diào)性由單調(diào)性, 應(yīng)有應(yīng)有

23、解得解得 k 61.3. 因此因此, 安裝安裝62條外線即可條外線即可.則有則有假設(shè)對于一個學(xué)生而言假設(shè)對于一個學(xué)生而言, 來參加家長會的來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量家長人數(shù)是一個隨機變量. 設(shè)一個學(xué)生無家長、設(shè)一個學(xué)生無家長、1名家長和名家長和2名家長來參加的概率分別為名家長來參加的概率分別為 0.05、0.8和和0.15. 若學(xué)校共有若學(xué)校共有400名學(xué)生名學(xué)生, 設(shè)各學(xué)生參加設(shè)各學(xué)生參加會議的家長數(shù)相互獨立會議的家長數(shù)相互獨立, 且服從同一分布且服從同一分布.(1) 求參加會議的家長數(shù)求參加會議的家長數(shù) X 超過超過 450 的概率的概率;(2) 求有求有1名家長來參加會議的學(xué)生

24、數(shù)不多于名家長來參加會議的學(xué)生數(shù)不多于340的概率的概率.解解 (1) 以以 Xk k=1, 2, 400 記記第第k個個學(xué)生來參加會議的家長數(shù)學(xué)生來參加會議的家長數(shù).例例3-415. 08 . 005. 0210kkpX, 1 . 1)( kXE易知易知 400,2, 1,19. 0)( kXDk ,4001 kkXX而而則則Xk的分布律為的分布律為 19. 04001 . 14004001 kkX隨機變量隨機變量 19. 04001 . 1400 X由由林德貝格林德貝格-列維中心極限定理列維中心極限定理知知近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布N 0, 1 . 450 XP 19. 04001 . 140045019. 04001 . 1400 XP 147. 119. 040