高三數(shù)學(xué)——圓錐曲線的基本量

1、圓錐曲線的基本量問題自主學(xué)習(xí)回歸教材1. (選修2-1P66例1改編)已知拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線C的方程為 ()A. x2=yB. x2=4yC. y2=xD. y2=4x2. (選修2-1P58例3改編)一個(gè)焦點(diǎn)為(0，)且漸近線為y=±x的雙曲線方程是 ()A. y2-=1B. -y2=1C. -=1D. -=13. (選修2-1P40例1改編)已知橢圓C過點(diǎn)，且兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-，0)，(，0)，那么橢圓C的方程為()A. +=1B. +y2=1 C. +=1 D. +x2=14. (選修2-1P48習(xí)題4改編)已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為(1，0)，且離心率為，那么橢圓

2、C的方程為. 5. (選修2-1P61習(xí)題3改編)已知雙曲線C1:-=1與雙曲線C2:-=1的離心率分別為e1，e2，則e1·e2的最小值為. 要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)各個(gè)擊破圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1(1) 若橢圓過點(diǎn)(4，0)，離心率e=，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. (2) (2013·湛江調(diào)研改編)設(shè)方程+y2=1表示曲線，現(xiàn)給出下列說法:“m=2”是“曲線為圓”的充要條件;“m>2”是“曲線為橢圓”的充分不必要條件;“0<m<1”是“曲線是雙曲線”的必要不充分條件;其中正確的個(gè)數(shù)有()A. 0B. 1 C. 2 D. 3變式(2013·廣東卷)已知中心在原點(diǎn)的雙曲

3、線C的右焦點(diǎn)為F(3，0)，離心率為，則雙曲線C的方程是()A. -=1B. -=1 C. -=1D. -=1圓錐曲線的幾何性質(zhì)例2(1) (2013·深圳摸底改編)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，AF1F2為正三角形且周長為6，那么橢圓C的方程為. (2) (2013·深圳二模改編)已知雙曲線-=1的漸近線方程為y=±x，那么以它的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)、焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓的離心率等于()A. B. C. D. 1(3) (2013·珠海監(jiān)測改編)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線C:-=1(a>0，b>0

4、)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn).若|AB|BF2|AF2|=345，則雙曲線C的離心率為. (例2(3)變式(2014·佛山一模)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x2-=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線與橢圓+=1的一個(gè)公共點(diǎn)，則PF1F2的面積等于 . 與圓錐曲線相交匯的問題例3(1) 若m是2和8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線x2+=1的離心率為()A. B. C. 或D. 或(2) 設(shè)橢圓+=1(a>0，b>0)的離心率e=，右焦點(diǎn)F(c，0)，方程ax2+bx-c=0的兩個(gè)根分別為x1，x2，則點(diǎn)P(x1，x2)在()A. 圓x2+y2=2內(nèi) B. 圓x2+y

5、2=2上C. 圓x2+y2=2外 D. 以上三種情況都有可能(3) 過雙曲線-=1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F(-c，0)(c>0)，作圓x2+y2=的切線，切點(diǎn)為E，直線FE交雙曲線右支于點(diǎn)P，若=(+)，則雙曲線的離心率為()A. B. C. D. (4) 設(shè)平面區(qū)域D是由雙曲線y2-=1的兩條漸近線和拋物線y2=-8x的準(zhǔn)線所圍成的三角形(含邊界與內(nèi)部).若點(diǎn)(x，y)D，則目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值為. 變式設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列，則|

6、AB|的長為()A. B. 1C. D. 課堂評價(jià)1. (2014·茂名一模)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線與x軸垂直，且經(jīng)過點(diǎn)(1，-)的拋物線方程是()A. y2=-2x B. y2=2x C. x2=2y D. x2=-2y2. (2014·汕頭二模)已知圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2的圓心為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，且直線3x+4y+2=0與圓C相切，那么圓C的方程為()A. (x-1)2+y2= B. x2+(y-1)2= C. (x-1)2+y2=1 D. x2+(y-1)2=13. (2014·惠州三模)設(shè)橢圓+=1(m>0，n>0)的右焦點(diǎn)與拋

7、物線y2=8x的焦點(diǎn)相同，離心率為，則此橢圓的方程為()A. +=1 B. +=1 C. +=1 D. +=14. (2014·韶關(guān)摸底)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線-=1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為 . 5. (2014·湛江一模)點(diǎn)A(0，1)到雙曲線-y2=1的漸近線的距離為. 完善提高融會貫通典例已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)與兩個(gè)定點(diǎn)M(-1，0)，N(1，0)的連線的斜率之積等于常數(shù)(0).(1) 求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程.(2) 試根據(jù)的取值情況討論軌跡C的形狀.(3) 當(dāng)=2時(shí)，對于平面上的定點(diǎn)E(-，0)，F(xiàn)(，0)，試探究軌跡C上是否存在一點(diǎn)P，使

8、得EPF=120°?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.【規(guī)范解答】(1) 由題設(shè)可知PM，PN的斜率存在且不為0，所以·=(0)，即x2-=1(y0). 3分(2) 討論如下:當(dāng)>0時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(除去頂點(diǎn));當(dāng)-1<<0時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(除去長軸兩個(gè)端點(diǎn));當(dāng)=-1時(shí)，軌跡C為以原點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓(除去點(diǎn)(-1，0)，(1，0);當(dāng)<-1時(shí)，軌跡C為中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在y軸上的橢圓(除去短軸兩個(gè)端點(diǎn)).7分(3) 當(dāng)=2時(shí)，軌跡C的方程為x2-=1(y0)，顯然定點(diǎn)E，F(xiàn)為其左

9、、右焦點(diǎn).假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使得EPF=120°，記EPF=，PE=m，PF=n，EF=2，(典例)如圖，在EPF中，有. 9分整理可得2mn(1-cos)=8，則mn=，. 10分所以SEPF=mnsin120°=××=，又因?yàn)镾EPF=××=，所以=，故yP=±，代入橢圓的方程可得-=1，所以xP=±，于是滿足題意的點(diǎn)P有四個(gè)，坐標(biāo)分別為. 14分【精要點(diǎn)評】本題是一道構(gòu)思非常巧妙的試題，容易入手，但是也容易失分.以代入法求軌跡方程開始，轉(zhuǎn)為曲線類型的討論，再通過雙曲線的幾何性質(zhì)將三角形面積公式、雙曲線的定義

10、、余弦定理融合在一起，升華了對數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想的考查.課后作業(yè)一、 填空題1. (2014·韶關(guān)一模)已知橢圓與雙曲線-=1的焦點(diǎn)相同,且橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為10,那么橢圓的離心率為()A. B. C. D. 2. (2014·佛山二模)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸進(jìn)線與實(shí)軸的夾角為60°,則雙曲線的離心率為()A. B. 2 C. 2 D. 3. (2014·廣東十校聯(lián)考)已知雙曲線-=1(a>0,b>0),過其右焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線交于M,N兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若OMON,則雙曲線

11、的離心率為()A. B. C. D. 4. (2014·茂名二模)已知點(diǎn)A(1,0),若曲線G上存在四個(gè)點(diǎn)B,C,D,E.使ABC與ADE都是正三角形,則稱曲線G為“雙正曲線”.給定下列四條曲線:4x+3y2=0;4x2+4y2=1; x2+2y2=2; x2-3y2=3.其中,“雙正曲線”的個(gè)數(shù)是()A. 0 B. 1 C. 2D. 35. (2014·湛江調(diào)研)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)且與直線2x-y+1=0平行的直線方程是. 6. (2014·深圳一模)已知雙曲線C:-=1與橢圓+=1有相同的焦點(diǎn),且雙曲線C的漸近線方程為y=±2x,則雙曲線C的方

12、程為. 7. (2013·韶關(guān)模擬改編)設(shè)點(diǎn)P是雙曲線-=1(a>0,b>0)與圓x2+y2=a2+b2在第一象限的交點(diǎn),其中F1,F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),若tan PF2F1=3,則雙曲線的離心率為. 8. 已知點(diǎn)F,A,B分別為橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn),且FBA為鈍角,求橢圓的離心率的取值范圍.9. 已知橢圓C:+=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1(-1,0),F2(1,0),并且經(jīng)過點(diǎn)P.(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2) 已知圓O:x2+y2=r2(b<r<a),若直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)M,

13、且直線l與圓O相切于點(diǎn)N,求|MN|的最大值.10. (2014·佛山二模)已知焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l的拋物線T:x2=2py(p>0)經(jīng)過點(diǎn)(-2,3),其中A,B是拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1) 求拋物線T的方程;(2) 若OAOB,求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程;(3) 若AFB=90°,線段AB的中點(diǎn)為M,點(diǎn)M在直線l上的投影為N,求的最大值.答案與解析自主學(xué)習(xí)回歸教材1. 【答案】A【解析】由題意設(shè)拋物線C:x2=2py(p>0)，則=Þp=，即x2=y.2.【答案】C【解析】由漸近線y=±x可設(shè)雙曲線的方程為y2-=(>0

14、)，即-=1，其焦點(diǎn)為(0，)，得2+=6Þ=2，即雙曲線方程為-=1.3.【答案】B【解析】設(shè)橢圓C的方程為+=1，由題意得2a=+=+=4，則a=2，又c=，所以b2=a2-c2=1，故橢圓C的方程為+y2=1.4.【答案】+y2=1【解析】由題意得c=1，=Þa=，則b2=a2-c2=1，即橢圓C的方程為+y2=1.5. 【答案】2【解析】由題意得e1·e2=·=2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號.要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)各個(gè)擊破圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例1【分析】(1) 分橢圓的焦點(diǎn)在x軸、y軸上兩種情況考慮.(2) 從方程+y2=1表示的曲線的類型展開討論:曲線表示圓

15、19;m-1=1;曲線表示橢圓Û0<m-1<1或m-1>1;曲線表示雙曲線Ûm-1<0.(1) 【答案】+=1或+=1【解析】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓的方程為+=1.則有a=4，e=Þc=2，從而b2=a2-c2=16-8=8，所以橢圓的方程為+=1;當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)橢圓方程為+=1，則有b=4，=，所以=Þa2=32，所以橢圓的方程為+=1.綜上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1或+=1.(2) 【答案】C【解析】曲線是圓Ûm-1=1，即m=2，正確;當(dāng)m>2時(shí)，m-1>1，曲線是橢圓，反之，當(dāng)曲線是

16、橢圓時(shí)，有m-1>1或0<m-1<1，即1<m<2或m>2，又“m>2”是“1<m<2或m>2”的充分不必要條件，故正確;當(dāng)0<m<1時(shí)，m-1<0，曲線是雙曲線，反之，當(dāng)曲線是雙曲線時(shí)，有m-1<0，即m<1，又“0<m<1”是“m<1”的充分不必要條件，故不正確.【點(diǎn)評】抓住橢圓中c2=a2-b2(雙曲線中c2=a2+b2)及離心率e=，運(yùn)用待定系數(shù)法研究圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是解決此類問題的基本方法，稱為“基本量法”.在考慮問題時(shí)需特別注意曲線的焦點(diǎn)在x軸上還是y軸上，若能結(jié)合圖形，數(shù)

17、形結(jié)合解決問題，效果更好.變式【答案】B【解析】由雙曲線的焦點(diǎn)為F(3，0)，得c=3，又e=，所以a=2，b2=c2-a2=9-4=5，故所求雙曲線的方程為-=1.圓錐曲線的幾何性質(zhì)例2【分析】(1) 從“AF1F2為正三角形且周長為6”入手，可得2c及b的值，再求a的值.(2) 可設(shè)橢圓的方程為+=1，再結(jié)合題意用a表示a'與c'(3) 設(shè)|AB|=3k，由所給的比例關(guān)系有ABF2=90°，再運(yùn)用雙曲線的定義得的值，再求a與c即可.(1) 【答案】+=1【解析】如圖(1)，由AF1F2為正三角形且周長為6，得=2，即c=1，且=b=c=，而2a=+=4，所以a=2

18、，故橢圓的方程為+=1. (例2(1) (例2(2)(2) 【答案】A【解析】如圖(2)，雙曲線的漸近線方程為y=±x，則=，即b=a，所以c=2a，設(shè)橢圓的方程為+=1，則a'=c=2a，c'=a，所以橢圓的離心率e'=.(3) 【答案】【解析】由題意設(shè)=3k，則=4k，=5k，所以ABF2=90°，又2a=-=-，則+-=-，所以3k+-4k=5k-，解得=3k，從而2a=-=5k-3k=2k，所以a=k，又2c=2k，即c=k，所以雙曲線C的離心率e=.【點(diǎn)評】將數(shù)形結(jié)合思想及方程與函數(shù)思想結(jié)合在一起研究問題，是解決與圓錐曲線幾何性質(zhì)相關(guān)問題的

19、關(guān)鍵.緊緊抓住圖形的結(jié)構(gòu)(性質(zhì))，從中尋求幾何關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，尋找解決問題的入口與突破口，才能有效地降低運(yùn)算量，提高解題的效率.變式【答案】24【解析】由題意可得F1(-5，0)，F(xiàn)2(5，0)，不妨設(shè)P在第一象限，由得1+=49-y2，得y=，所以=··y=×10×=24.與圓錐曲線相交匯的問題例3【分析】(1) 由m2=16求m，再分類討論求離心率. (2) e=Þa=2c，進(jìn)而b=c，可求得x1+x2及x1x2的值，再計(jì)算+=-2x1x2的值，與2比較大小.(3) 由=(+)知E為FP的中點(diǎn)，又O是FF'的中點(diǎn)，則有OEF'

20、;P，從而FPF'P，|F'P|=a，|FF'|=2cÞ|FP|=，由雙曲線的定義建立關(guān)于a，c的方程求.(4) 畫出可行域，再由線性規(guī)劃的方法求最大值.(1) 【答案】D【解析】由題意得m2=16，即m=±4.當(dāng)m=4時(shí)，x2+=1的離心率e=，當(dāng)m=-4時(shí)，x2-=1的離心率e=.(2) 【答案】A【解析】由題意有e=Þa=2c，由c2=a2-b2Þb=c，從而所以+=-2x1·x2=+2×=<2，故點(diǎn)P在圓內(nèi).(3) 【答案】C【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F'，由=(+)，知E為FP的中點(diǎn)，又

21、O是FF'的中點(diǎn)，所以O(shè)E􀱀F'P，從而FPF'P，|F'P|=a，|FF'|=2cÞ|FP|=，由雙曲線的定義得|FP|-|F'P|=2a，則-a=2a，則=Þe=.(4) 【答案】3【解析】雙曲線y2-=1的兩條漸近線為y=±x，拋物線y2=-8x的準(zhǔn)線為x=2，平面區(qū)域D如圖中陰影部分所示，當(dāng)直線y=-x+z過點(diǎn)A(2，1)時(shí)，zmax=3.(例3(4)【點(diǎn)評】圓錐曲線問題常與數(shù)列、韋達(dá)定理、平面向量、線性規(guī)劃、基本不等式等問題交匯在一起命題，解決此類問題的關(guān)鍵在于將圓錐曲線的基本量與這些知識

22、方法結(jié)合在一起考慮問題，通過數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想解決問題.變式【答案】C【解析】橢圓E:x2+=1(0<b<1)，a=1，因?yàn)閨AF1|+|AF2|=2a=2，|BF1|+|BF2|=2a=2，相加得|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4，|AF2|+|BF2|=4-(|AF1|+|BF1|)=4-|AB|，因?yàn)閨AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列，所以2|AB|=|AF2|+|BF2|，于是2|AB|=4-|AB|，所以|AB|=.課堂評價(jià)1. 【答案】B【解析】由題意設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0)，將(1，-)代入，得2=2pÞp=

23、1.2.【答案】C【解析】由題意知，圓C的圓心為(1，0)，即a=1，b=0，又C到直線3x+4y+2=0的距離d=1=r，所以圓C的方程為(x-1)2+y2=1.3.【答案】A【解析】拋物線的焦點(diǎn)為(2，0)，則22=m2-n2，又=，即m=4，所以n2=12，故橢圓的方程為+=1.4. 【答案】6【解析】因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)為(3，0)，所以=3，即p=6.5.【答案】【解析】雙曲線-y2=1的漸近線方程為y=±x，取y=x，即x-2y=0，點(diǎn)A(0，1)到直線x-2y=0的距離d=.課后作業(yè)1. B解析:由題意,知橢圓的焦點(diǎn)為(-4,0),(4,0),即c=4,又2a=10,即a

24、=5,于是橢圓的離心率e=.2. B解析:由題意得=tan 60°=,又c2=a2+b2,所以c2=4a2,即e=2.3. D解析:不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限,在雙曲線的方程中,令x=c,得y=±,由OMON知OMN為等腰直角三角形,則OMF也是等腰直角三角形,所以=c,則c2-a2=ac,即e2-e-1=0,解得e=或e=(舍去).4. B解析:過點(diǎn)A(1,0)分別作傾斜角為30°和150°的直線,直線方程為3y-x+=0和3y+x-=0.對于,易得兩直線分別與曲線4x+3y2=0和4x2+4y2=1相切,能構(gòu)成的等邊三角形的個(gè)數(shù)為1;對于,兩條直線與雙曲線

25、x2-3y2=3的漸近線平行,故只能構(gòu)成1個(gè)等邊三角形;對于,兩條直線分別與橢圓x2+2y2=2有兩個(gè)交點(diǎn),故能構(gòu)成的等邊三角形有2個(gè).故選B.5. y=2x-2解析:拋物線的焦點(diǎn)為(1,0),而直線2x-y+1=0的斜率為2,故所求的直線方程為y-0=2(x-1),即y=2x-2.6. x2-=1解析:橢圓的焦點(diǎn)為(-,0),(,0),也是雙曲線的焦點(diǎn),由y=±2x,得b2=4a2,設(shè)雙曲線的方程為x2-=(>0),則-=1,有=,解得=1,所以雙曲線C的方程為x2-=1.7. 解析:如圖,由x2+y2=a2+b2=c2,知F1F2是該圓的直徑,則=3=,設(shè)|PF1|=3k,

26、|PF2|=k,則|F1F2|=k,又2a=|PF1|-|PF2|=3k-k=2k,則雙曲線的離心率e=.8. 由題意,得|AF|=a+c,|BF|=a,|AB|=,又因?yàn)镕BA為鈍角,所以cos FBA=<0,所以|AB|2+|BF|2<|AF|2,即a2+b2+a2<(a+c)2,又c2=a2-b2,消去b,整理得c2+ac-a2>0,所以e2+e-1>0,解得e>,又0<e<1,故<e<1.9. (1) 由題意,得a2-b2=1,將點(diǎn)M代入+=1,得+=1,聯(lián)立,解得a2=4,b2=3.故橢圓C的方程為+=1.(2) 由題意,知直線l的斜率存在.設(shè)直線l的方程為y=kx+t,因?yàn)橹本€l與圓O相切,所以r=,即t2=(1+k2)r2.將y=kx+t代入+=1,整理得(3+4k2)x2+8ktx+4t2-12=0,因?yàn)橹本€l與橢圓C相切,所以=(8kt)2-4(3+4k2)(4t2-12)=0,即t2=3+4k2,將代入,解得x