初中因式分解典型例題匯總(附答案)

1、初中因式分解典型例題匯總例1多項式x 2+ax+b因式分解為(x+1)(x-2)，求a+b的值.分析 根據(jù)因式分解的概念可知因式分解是一種恒等變形，而恒等式中的對應項系數(shù)是相等的，從而可以求出a和b,于是問題便得到解決.解 由題意得：x 2+ax+b=(x+1)(x-2)，所以x2+ax+b=x2-x-2 ,從而得出a=-1,b=-2,所以a+b=(-1)+(-2)=-3.點評 “恒等式中的對應項系數(shù)相等” 這一知識是求待定系數(shù)的一種 重要方法.22例 2 因式分解 6a2b+4ab2-2ab.分析此多項式的各項都有因式2ab，提取2ab即可.解 6a 2b+4ab2-2ab=2ab(3a+2

2、b-1) .點評 用“提公因式法”分解因式,操作時應注意這樣幾個問題：首先,所提公因式應是各項系數(shù)的最大公約數(shù)與相同字母最低次冪的乘 積,即提取的公因式應是多項式各項的 最高公因式,否則達不到因式 分解的要求；其次,用“提公因式法”分解因式,所得結果應是：最 高公因式與原多項式各項分別除以最高公因式所得商式的乘積.如果 丟掉原多項式中的某一項恰是最高公因式,則商式為1,這個 1千萬不能本例題中，各項的公因式有2, a, b, 2a, 2b, ab, 2ab等.其中2ab是它們的最高公因式，故提取2ab 作為因式分解后的一個因式，另一個因式則是分別用6a2b, 4ab2和-2ab除以2ab所得的

3、商式代數(shù)和，其中-2ab十2ab=-1，這個-1不能丟.例 3 因式分解 m(x+y)+n(x+y)-x-y .分析 將-x-y 變形為-(x+y),于是多項式中各項都有公因式x+y,提取 x+y 即可.解 m(x+y)+n(x+y)-x-y=m(x+y)+n(x+y)-(x+y)=(x+y)(m+n-1) .點評 注意添、去括號法則.例 4 因式分解 64x -1.aano o分析64x可變形為(8x )，或變形為(4x )，而1既可看作1，也可 看作 13,這樣,本題可先用平方差公式分解,也可先用立方差公式分 解.解方法一63264x -1=(8x ) -133=(8x 3+1)(8x 3

4、-1)33=(2x) 3+1(2x)3-1=(2x+1)(4x 2-2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1)方法二丟掉.本例題中，各項的公因式有2, a, b, 2a, 2b, ab, 2ab等.其中 2ab是它們的最高公因式，故提取2ab作為因式分解后的一個因式，另一個因式則是分別用6ab, 4ab2ffi-2ab除以2ab所得的商式代數(shù)和，其中-2ab2ab=-1,這個邛 不能丟.例 3 因式分解 m(x+y)+n(x+y)-x-y.分析 將xy 變形為-(x+y),于是多項式中各項都有公因式x+y,提取x+y即可.解 m(x+y)+n(x+y)-x-y=m(x+y)+n(x+y)(x+

5、y)=(x+y)(m+.點評注意添、去括號法則.例4 因式分解64x6-1 .分析64x 6可變形為(8x 3)或變形為(4x 2)而1既可看作12,也可看作13,這樣，本題可先用平方差公式分解，也可先用立方差公式分解.解方法一64x -1=(8x ) -133=(8x +1)(8x -1)=(2x) +1(2x)-1=(2x+1)(4x 2-2x+1)(2x-1 )(4x2+2x+1)方法二完全平方公式中一次項系數(shù)的特點.例7因式分解x 2+6x-7 .分析 這個二次三項不符合完全平方公式的特點，首先，二次項與常數(shù)項不同號，其次，常數(shù)項的絕對值不是一次項系數(shù)一半的平方，所以不能直接用公式分解

6、，但經(jīng)過適當?shù)淖冃魏?，便可用公式分?另 外，這樣的二次三項式可用十字相乘法分解.解方法一2 2 2x +6x-7=x +6x+9-9-7=(x+3)-16=(x+3+4)(x+3-4)=(x+7)(x-1)方法二 x 2+6x-7=(x+7)(x-1)點評 方法一叫配方法.用配方法分解二次三項式時，其前提是二次項系數(shù)為1 (如果二次項系數(shù)不是 1,則提取這個系數(shù)，使二次項系 數(shù)轉化為1);其關鍵是，加上緊接著減去一次項系數(shù)絕對值一半的 平方，這樣便達到配方的目的.在用十字相乘法分解二次三項式時， 主要考慮的是十字相乘后的代數(shù)和應是一次項.例8因式分解3x2-7x-6 .分析 本題二次項系數(shù)不

7、是 1,如果用配方法分解，則應首先提取二次項系數(shù)3,然后再加、減一次項系數(shù)一半的平方；如果用十字相乘 法分解，既要考慮好首尾兩項的分解，更要考慮到十字相乘后的代數(shù)和應是中間項(即一次項).解方法撿* -7.- 6 = 31 v11 -共一；叮 « |31方法二 3x 2-7x-6=(3x+2)(x-3)點評 用十字相乘法分解因式，在排列算式時，應想到同行不應有公因式（如本題二次項所分出的3x與常數(shù)項所分出的 3不能放在同行，只能與分解出的另一個因式2放在同行）這是因為，如果同行有公因式，此公因式在開始分解時就應提出.掌握這一點會簡化操作過程.從上述兩例可以明顯看出，在有理數(shù)范圍內(nèi)分解

8、二次三項式ax 2+bx+c用十字相乘法比較方便，但隨著數(shù)的范圍的擴大，就看出配方法的重要了.于是便出現(xiàn)這樣的問題：在分解二次三項式 ax 2+bx+c時，何時用 公式法？何時用十字相乘法？何時用配方法？我們可用b2-4ac的結果來判別：b2-4ac=0時，用完全平方公式分解；b2-4ac >0且是一個完全平方數(shù)時，用十字相乘法分解；b2-4ac >0但不是完全平方數(shù)時，用配方法分解；b2-4ac V0時，在有理數(shù)范圍內(nèi)和將來學到的實數(shù)范圍內(nèi)都不能分解. 至于為什么可用b 2-4ac的結果來作上述判斷，這個問題在今后的學習中會得到解決.例 9 因式分解 2ax-10ay+5by-b

9、x 分析 用分組分解法可將一、二兩項和四、三兩項分別作為一組， 這樣不僅每組可分解，而且確保繼續(xù)分解解 2ax-10ay+5by-bx=2ax-10ay-bx+5by=(2ax-10ay)-(bx-5by)=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b) 點評 本題還可以一、四兩項一組，二、三兩項一組，但不能一、三 項和二、四項分組，可見分組要恰當分組是否恰當，以能否達到因 式分解的目的為標準 所以，分組后各組系數(shù)成比例則是恰當分組的 重要條件例 10 因式分解：2 2 2 2(1) x-2xy+y -1(2)x -2y-y -1分析 這兩小題都不能平均分組， 因為平均分組后，各組

10、系數(shù)不可能 成比例，從而達不到因式分解的目的，但經(jīng)過觀察可知，如果將( 1) 題前三項和第四項分組，將( 2)題第一項和后三項分組，則可先用 完全平方公式繼而用平方差公式將其分解22解 (1)x=(x-y) -1=(x-y+1)(x-y-1)-2xy+y 2-122=(x -2xy+y )-1=x2-(y 2+2y+1)22=x2-(y+1) 2=(x+y+1)(x-y-1)點評 在分解四項式時，也應首先考慮是否有公因式，如果有，要先 提公因式然后再考慮分組，在分組時，又有兩兩分組、一三分組和三 一分組三種不同分法， 這就需要做到具體問題具體分析 對某些特殊 的四項式也可直接用完全立方公式分解

11、，即a3 土 3a2b+3ab2±b 3=(a ±b) 3對五項式或五項以上的多項式也采用分組分解法例 11 因式分解x 2+4xy+3y2+x+3y.分析本題的前三項可以分解為(x+y)(x+3y)，其中(x+3y)正好與后 兩項完全一樣，所以本題作三二分組，問題便得到解決.解 x 2+4xy+3y2+x+3y22=(x 2+4xy+3y2)+(x+3y)=(x+y)(x+3y)+(x+3y)=(x+3y)(x+y+1) .例 12 因式分解：(1) a 2+2ab+b2+2a+2b+1，(2) a2+2ab+b2+2a+2b-3，22(3) a2+3ab+2b2+2a+

12、b-3.分析 這三道題都不能平均分組，經(jīng)觀察，它們都可以三二一分組， 分組后， (1)題可經(jīng)過兩次完全平方公式分解，(2)題可經(jīng)過一次公式和一次十字相乘分解，而( 3)題則可經(jīng)過兩次十字相乘分解.解 (1)a 2+2ab+b2+2a+2b+1=(a (2x+y) -2(2x+y)+1=0 ,(2x+y-1) 2=0.所以+2ab+b2)+(2a+2b)+1 =(a+b) 2+2(a+b)+1=(a+b+1)2 2(2) a +2ab+b +2a+2b-32 2=(a +2ab+b )+(2a+2b)-32=(a+b) +2(a+b)-3 =(a+b+3)(a+b-1)2 2(3) a +3ab

13、+2b +2a+b-32 2=(a +3ab+2b )+(2a+b)-3 =(a+b)(a+2b)+(2a+b)-3=(a+b-1)(a+2b+3).例 13 已知 4x2+4xy+y2-4x-2y+1二0 ,求證：2 22x +3xy+y -x-y=0分析要證明一個多項式的值為零，通常是將此多項式分解因式.若分解后的因式中有一個值為零，則原多項式的值為零.經(jīng)過分組分解，可知 2x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1)，若x+y或 2x+y-1 為零，則原多 項式的值為零.為達此目的，就要從條件入手.、 ” 2 2證明 因為 4x +4xy+y -4x-2y+1=0，所以2x+y

14、-1=0.又因為2 22x +3xy+y -x-y=(x+y)(2x+y-1).而2x+y-1=0,所以2x2+3xy+y 2-x-y=0 .例14已知3x2-4xy-7y 2+13x-37y+m能分解成兩個一次因式的乘積，求m的值.并將此多項式分解因式.分析 根據(jù)因式分解的概念和乘法法則可知，原多項式所分解得的兩個因式必然都是三項式，而原多項式的前三項可分解為(3x-7y)(x+y),于是可設原多項式分解為(3x-7y+a)(x+y+b), 再根據(jù) 恒等式中的對應項系數(shù)相等，便能使問題得到解決.2 2解 設 3x -4xy-7y +13x-37y+m=(3x-7y)+a(x+y)+b2 2=

15、3x -4xy-7y +(a+3b)x+(a-7b)y+ab .對應項系數(shù)相等，所以廣I. JLla= 1 J,( L：iI . -r j上.r .= -3( Z) *1.L卜.=rri( ' <'iI亠亠電 |l1由(1) (2)解得 a=-2, b=5.將 a=-2, b=5 代入(3),得m=-10,所以 3x 2-4xy-7y 2+13x-37y+m=3x2-4xy-7y 2+13x-37y-10=(3x-7y+a)(x+y+b)=(3x-7y-2)(x+y+5).22例 15 已知 | x-3y-1 | +x +4y =4xy，求x與y 的值.分析 在通常情況下

16、，由一個方程求兩個未知數(shù)的值，條件是不夠的，但在特殊條件下又是可行的，這“特殊條件”包括非負數(shù)的和等于零 的性質.本題已有一個明顯的非負數(shù)，即|x-3y-1 |,而另一個非負數(shù)可由因式分解得到.于是問題能夠解決.2 2解 因為 | x-3y-1 | +x +4y =4xy，所以2 2| x-3y-1 | +x -4xy+4y =0即| x-3y-1 | +(x-2y)2=0所以( 1 = I 1j 丄、-j yl*卜-2y = 0.解這個方程組，得x=-2 , y=-1 .例16因式分解：(1)x 4+4y4;(2)x 3+5x-6 .分析這兩個多項式既無公因式可提，也不能直接用公式或直接分組

17、分解.經(jīng)過觀察：(1)題若加上4x2y2,隨之減去4x2y2，這樣既保證 多項式的值不變，又可先用完全平方公式繼而用平方差公式分解.(2) 題如果將5x拆成-x+6x便可分組分解.或者，將-6 拆成-1-5也可分組分解.解 (1)x 4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x 2y22 2 2 2=(x +2y ) -(2xy)2 2 2 2=(x +2xy+2y )(x -2xy+2y ).(2)x 3+5x-6=x 3-x+6x-6=(x 3-x)+(6x-6) =x(x+1)(x-1)+6(x-1)2=(x-1)(x+x+6)點評 若將-6拆成-1-5，應如何分解？例17已知x 2-2xy-3y 2=5,求整數(shù)x和y的值.分析原式左端可分解為兩個一次因式的乘積，由題意可知，這兩個因式都表示整數(shù)，這樣只能是一個因式為1 (或-1 )，而另一個因式為5 (或-5 ).于是便可列出方程組求出 x和y的值.解 因為x 2-2xy-3y 2=5,所以(x-3y)(x+y)=5.依題意x,y為整數(shù)，所以x-3y和x+y都是整數(shù)，于是有：廣 -i t r -I-I /jr匚j >: _ 3