分段函數(shù)的幾種常見(jiàn)題型及解法好

1、分段函數(shù)的幾種常見(jiàn)題型及解法【關(guān)鍵詞】 分段函數(shù)；定義域；值域或最值;函數(shù)值；解析式；圖像；反函數(shù)；奇偶 性；方程；不等式分段函數(shù)是指自變量在兩個(gè)或兩個(gè)以上不同的范圍內(nèi)有不同的對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)本卷第1頁(yè)（共5頁(yè)）本卷第1頁(yè)（共5頁(yè)）它是一個(gè)函數(shù)，卻又常常被學(xué)生誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù)；它的定義域是各段函數(shù)定義域的并 集，其值域也是各段函數(shù)值域的并集 由于它在理解和掌握函數(shù)的定義、函數(shù)的性質(zhì)等知 識(shí)的程度的考察上有較好的作用 ，時(shí)常在高考試題中“閃亮”登場(chǎng)，筆者就幾種具體的題 型做了一些思考，解析如下：1 求分段函數(shù)的定義域和值域2x 2 x -1,0;例1 .求函數(shù)f(x)= -2 x (0, 2)；的

2、定義域、32，：)；值域.【解析】作圖，利用“數(shù)形結(jié)合易知f（x）的定義域?yàn)楸揪淼?頁(yè)（共5頁(yè)）本卷第1頁(yè)（共5頁(yè)）-1，：），值域?yàn)椋?1，3.2 求分段函數(shù)的函數(shù)值x-1|-2，（|x|）例2. （05年浙江理）已知函數(shù)f（X）二三1求ff®R，'I【解析】因?yàn)?f(i) -I1-i| -2 號(hào),"314所以本卷第1頁(yè)（共5頁(yè)）本卷第1頁(yè)（共5頁(yè)）求分段函數(shù)的最值本卷第1頁(yè)（共5頁(yè)）例5函數(shù)y =e|lnx|-|x-1|的圖像大致是()4x 3 (x < 0)I例3求函數(shù)f(x)二x 3(0：x1)的最大值.-x 5 (x 1)【解析】當(dāng) XE0 時(shí),Ja

3、x(X)=f(0) =3,當(dāng) 0：X 叮時(shí)，fmax(X)= f(1) = 4.當(dāng) x .1 時(shí),x -5 :： -1 5 =4, 綜上有 fmax(x)=4.3 求分段函數(shù)的解析式例4.在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y二f (x)和y = g(x)的圖象關(guān)于直線 y二x對(duì)稱，現(xiàn)將y=g(x)的圖象沿x軸向左平移2個(gè)單位，再沿y軸向上平移1個(gè)單位，所得的圖象是由兩條線段組成的折線(如圖所示)則函數(shù)f (x)的表達(dá)式為()A.B.C.D.(2x+2(1 蘭xEO)吃+2(0 £X 蘭2)'2x-2(1蘭x蘭0)>_21.2厶(0<xE2)'2x-2(1蘭x蘭2

4、)桂+1(2 v x 乞 4)2x-6T(1ExE2)U-3(2 £x4)f(x)=f(x)二f(x)二f (x)=【解析】平移1個(gè)單位，得解析式為 y="2(x-2)1-1=gx-1 ,所以f( xF2x2x-,當(dāng) x 0,1時(shí)，y = 2x 1,將其圖象沿X軸向右平移 2個(gè)單位，再沿y軸向下平移1個(gè)單位，得解析式y(tǒng)=2(x-2) 1 -1 =2x_4,所以l2x 2 (-仁x豈0)丄f(x)二2X 2(X0,2),綜上可得f(x) 乂x 一 _,故選A當(dāng) x-2,0時(shí),y =1 x 1,將其圖象沿x軸向右平移2個(gè)單位，再沿y軸向下4 作分段函數(shù)的圖像y6 求分段函數(shù)得反

5、函數(shù)例6已知y = f(x)是定義在 R上的奇函數(shù)且當(dāng) x 0 時(shí),f(x)=3x-1,設(shè)f (x)得反函數(shù)為y=g(x),求g(x)的表達(dá)式.【解析】又因?yàn)閒 (x)是定義在R上的奇函數(shù)所以 f (-X)= - f(x),且 f(0)=0,所以 f(x)=1-3： 因此設(shè) x ： 0 ,則一x 0 ,所以 f(_x) = 3“ -1,' x3 -1 (x 0)log3(x 1)(x 0)f (x) =0 (x= 0),從而可得g(x) =0(x = 0)1 3(x： 0)log3(1 x)(x ： 0)7 判斷分段函數(shù)的奇偶性2工x2(x-1) (x 亠0)例7判斷函數(shù)f(x) 的奇

6、偶性-x (x+1)(x V0)【解析】當(dāng) x 0 時(shí)，x：0, f (X)- -(x)2(x 1) = x2(x T) = f (x),當(dāng) x = 0 時(shí),本卷第3頁(yè)(共5頁(yè))2 2f ( 一0) = f (0) =0 ,當(dāng) x ： 0 ,-x 0 , f (_x) =( x) (_x 1) - -x (x 1)= f (x)因此，對(duì)于任意x R都有f ( _x)二f (x),所以f (x)為偶函數(shù)&判斷分段函數(shù)的單調(diào)性x3 x (x 0)例8 .判斷函數(shù)f (x)的單調(diào)性.-x2 (x ： 0)【解析】顯然f(x)連續(xù).當(dāng)x_0時(shí)，f'(x) =3x2 1 _1恒成立，所以

7、f (x)是單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)x：0時(shí)，f'(x)-2x0恒成立，f (x)也是單調(diào)遞增函數(shù)，所以f (x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)；或畫(huà)圖易知f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)2x例9寫出函數(shù)f(x)叩 2x| |2-x|的單調(diào)減區(qū)間._3x+1 (xE-2)【解析】f (x) £3 x ( - 2 ： x ： 2)，畫(huà)圖易知單調(diào)3x -1 (x_2)減區(qū)間為(-今.例10.(01年上海)設(shè)函數(shù)f(x)二2log8ixX (-：，1X (1，二)9解分段函數(shù)的方程1則滿足方程f (x) 的x的4值為【解析】若 2" =|，則 2" =2，得 x=2r：，1，所以 x

8、=2(舍去)，若 log814,1 則 x =814，解得x =3, (1) 所以x =3即為所求.10解分段函數(shù)的不等式2-1 X蘭 0)例11 設(shè)函數(shù)f (x)二i, 若x2 (xaO)f（x0） 1,則X）得取值范圍是（）A.（-1,1）B.（-1,：）C. （一“, 一2） （03）D. （- ：, -1）（1,：）首先畫(huà)出y = f （x）和y = 1的大致圖像易知f（x。）1時(shí)，所對(duì)應(yīng)的xo的取值范【解析1】【解析2】因?yàn)?f （x0）1 ,當(dāng)x0乞0 時(shí)，20-1 1 , 解得x0”1, 當(dāng)x00 時(shí),1xo2 1,解得xo1,綜上x(chóng)o的取值范圍是（-：，-1）_ （1：）.故選D.例12設(shè)函數(shù)2l（x+1）（x<1）f（x）,貝y使得f（x）_1的自變量x的取值范圍為（）4 - Vx -1 (x1)A. (-：，-2 一 0,10 B.(-：，-2 一 0,1C.(-2 一 1,10 D.-2,01,10【解析】當(dāng)x <1時(shí)，2f(x) 一1= (x 1) 一1= x_ -2或x_0 , 所以 X -2或0乞 x ：1 ,當(dāng) x _1 時(shí)，f(x)_1= 4 '、x1_1= 、.x1E3二 x 乞 10, 所以 1EX乞 10, 綜 上所述,x乞-2或0乞x乞1