曲柄滑塊機(jī)構(gòu)運(yùn)動規(guī)律

1、1曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的運(yùn)動規(guī)律曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的運(yùn)動規(guī)律1 實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)?zāi)康?著重介紹運(yùn)用建立近似模型并進(jìn)行數(shù)值計(jì)算來研著重介紹運(yùn)用建立近似模型并進(jìn)行數(shù)值計(jì)算來研究、討論函數(shù)的方法。究、討論函數(shù)的方法。 2 實(shí)驗(yàn)問題實(shí)驗(yàn)問題 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)是一種常用的機(jī)械結(jié)構(gòu)，它將曲柄的曲柄滑塊機(jī)構(gòu)是一種常用的機(jī)械結(jié)構(gòu)，它將曲柄的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)化為滑塊在直線上的往復(fù)運(yùn)動，是壓氣機(jī)、沖轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)化為滑塊在直線上的往復(fù)運(yùn)動，是壓氣機(jī)、沖床、活塞式水泵等機(jī)械的主機(jī)構(gòu)。床、活塞式水泵等機(jī)械的主機(jī)構(gòu)。2記曲柄記曲柄OQ的長為的長為r，連桿，連桿QP的長為的長為l， 當(dāng)曲柄繞固定點(diǎn)當(dāng)曲柄繞固定點(diǎn)O以角速度以角速度P在水平槽內(nèi)作往復(fù)直線運(yùn)動。 旋

2、轉(zhuǎn)時(shí)，由連桿帶動滑塊假設(shè)初始時(shí)刻曲柄的端點(diǎn)假設(shè)初始時(shí)刻曲柄的端點(diǎn)Q位于水平線段位于水平線段OP上，上， 曲柄從初始位置起轉(zhuǎn)動的角度為曲柄從初始位置起轉(zhuǎn)動的角度為， 連桿連桿QP與與OP的銳夾角為的銳夾角為（稱為擺角）。（稱為擺角）。 3 在機(jī)械設(shè)計(jì)中要研究滑塊的運(yùn)動規(guī)律和擺角的變在機(jī)械設(shè)計(jì)中要研究滑塊的運(yùn)動規(guī)律和擺角的變化規(guī)律，化規(guī)律， 確切地說，要研究滑塊的位移、速度和加速度關(guān)于確切地說，要研究滑塊的位移、速度和加速度關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，的函數(shù)關(guān)系， 擺角擺角及其角速度和角加速度關(guān)于及其角速度和角加速度關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，的函數(shù)關(guān)系， 4（1）求出滑塊的行程S（即滑塊往復(fù)運(yùn)動時(shí)左、右極限位置間的距離

3、）；（2）求出滑塊的最大和最小加速度（絕對值），以了解滑塊在水平方向上的作用力；（3）求出 的最大和最小角加速度（絕對值），以了解連桿的轉(zhuǎn)動慣量對滑塊的影響。 在求解上述問題時(shí)，我們假定 )(100 mmr )(3003mmrlmin)/(240 轉(zhuǎn)58.3 數(shù)學(xué)模型 取O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OP方向?yàn)閤軸正方向，P在x軸上的坐標(biāo)為x，那么可用x表示滑塊的位移。 利用三角關(guān)系，立即得到222cossin(8.1)xrlrt(8.2)dxdx ddxdtddtd6222cossin(8.1)xrlr2222sincossin(8.3)sindxrrdlr 于是滑塊的速度ddxdtdddxdtdxv22

4、2cossin1(8.4)sinrrlr 進(jìn)而，可以得到滑塊的加速度為7dddtda224232222(cos2sin)cos(8.5)(sin)r lrrlr 同樣，基于關(guān)系式sinsin(8.6)lr我們有擺角的表達(dá)式arcsinsin(8.7)rl式（8.6）對t求導(dǎo)，coscoscosrdtdrdtdl8coscoslrdtd由此再得222sincoscos sin(8.9)cosddrdtdtl利用（8.6）， sinsin(8.6)lr不難由上兩式導(dǎo)出222cos(8.10)sindrdtlr2222322222sin ()(8.11)(sin)drlrdtlr 9至此，我們得到了

5、滑塊位移x和連桿擺角運(yùn)動規(guī)律中有關(guān)變量依賴的表達(dá)式?；瑝K的加速度為224232222(cos2sin)cos(8.5)(sin)r lrarlr 2222322222sin ()(8.11)(sin)drlrdtlr 雖然我們已經(jīng)得到了有關(guān)變量的解析式，但是要求出問題的解并非十分簡單。由于滑塊加速度和擺角角加速度的函數(shù)表達(dá)式（8.5）和（8.11）相當(dāng)復(fù)雜，從這兩個(gè)式子來了解這兩個(gè)量并不方便，而要用它們進(jìn)一步求出極值則更加不易（當(dāng)然，可以借助數(shù)學(xué)軟件來進(jìn)行，我們把這一點(diǎn)留給讀者）。10 由于數(shù)學(xué)模型本身是對實(shí)際問題的抽象，從而也必定有某種簡化和忽略。即使我們得到了問題的解析形式解，一般說來，它

6、仍然是對實(shí)際情況的近似。為了方便起見，對較為復(fù)雜的解析模型進(jìn)行近似處理常常是必要的。事實(shí)上，在曲柄連桿結(jié)構(gòu)（以及不少工程問題）的研究中，確實(shí)經(jīng)常使用著這個(gè)方法。 8.4 近似模型將位移的表達(dá)式（8.1）改寫為222cossin(8.1)xrlr21222sin1coslrlrx(1)1,1(8.12)aa 11一般而言，22lr是遠(yuǎn)比1小的數(shù)， 滑塊位移的近似模型為 221cossin(8.13)2rxrll 從而有相應(yīng)的近似速度 2sin2sin2111lrrdtdddxdtdxsinsin2(8.14)2rrl和近似加速度211coscos2(8.15)drardtl 這里速度和加速度是直

7、接對近似位移模型求導(dǎo)得來，而不是對v和a的精確表達(dá)式（8.4）和（8.5）的近似。 12 當(dāng)然，我們也可以直接從滑塊速度的解析式（8.4）進(jìn)行近似。 222cossin1(8.4)sinrvrlr 仍利用公式（8.12） (1)1,1(8.12)aa 22221222222sin211sin11sin1lrllrlrl把上式代入（8.4），就得到滑塊速度的近似模型2222sin21cos1sinlrlrr13323sin2sinsin2sin(8.16)24rrrll 從（8.16）出發(fā)，又可得近似加速度32232242cossin22(sin2coscoslrlrra）(8.17)對擺角可以

8、利用冪級數(shù)展開的Maclaurin公式3arcsin,1(8.18)6arcsinsin(8.7)rl得到擺角的近似模型。 粗略一些，可以取 1sin(8.19)rl而必要時(shí)，可以取 3323sinsin(8.20)6rrll141sin(8.19)rl3323sinsin(8.20)6rrll相應(yīng)的近似角速度為1cos(8.21)drdtl3223cossincos8.222drrdtll或（）近似角加速度為2212sin8.23drdtl （）2323223sin(sinsin2 cos )8.242drrdtll 或（）158.5 問題的解法和討論滑塊的位移和行程利用滑塊位移的解析式（8

9、.1）和近似式（8.13）， 222cossin(8.1)xrlr221cossin(8.13)2rxrll 表8.1列出了從0到位移一些相應(yīng)數(shù)值（單位：mm）。 考慮到對稱性和周期性，只要計(jì)算這一區(qū)間中的函數(shù)值就可以了。16表8.1 mmx1x12/12/212/312/812/1012/110400.000400.000395.475395.476382.407382.436362.258362.377337.228337.500 .209.201209.231202.289202.291200.000200.000行程可以從表8.1中的值求得，17)(200200400mms從幾何直觀上

10、看也十分明顯：,minmaxrlxrlx)(2002)()(mmrrlrls滑塊的加速度及其最值利用精確表達(dá)式（8.5）和近似表達(dá)式（8.15）、（8.17）， 224232222(cos2sin)cos(8.5)(sin)r lrarlr 211coscos2(8.15)drardtl 322223cos2(sin 22sincos2cos8.174rrarll ）（）18計(jì)算滑塊的加速度。注意加速度仍具有對稱性和周期性。表8.2列出了一些相應(yīng)的數(shù)值（單位：mm/s2）：表1.2 mm/s2a2a1a12/12/212/312/412/52/12/712/8084 220.684 220.6

11、84 220.679 463.679 461.579 247.565 837.465 815.365 230.545 302.045 249.644 664.721 086.821 055.221 055.22 739.22 684.81 885.922 332.422 224.921 055.235 436.135 381.734 582.742 078.642 110.342 110.31912/912/1012/1144 027.544 079.944 664.743 568.443 590.544 175.342 562.842 564.842 778.942 110.342 110.

12、342 110.3從表8.2中可以看出，用加速度的近似公式計(jì)算， 2a的結(jié)要相當(dāng)好。 1a的結(jié)果稍微差一些， 考慮到在應(yīng)用近似模型時(shí)，表達(dá)式的推導(dǎo)和有關(guān)計(jì)算工作量都將明顯地減少，因此在某些情況下，這樣的做法還是合適的。 加速度絕對值的最大值從表8.2立即得到。 無論用哪種模型，均在0 )/(6 .22084212smmaaa20至于加速度絕對值的最小值，顯然是加速度的零點(diǎn)。 從表上看出：零點(diǎn)在124 125、之間。 運(yùn)用方程求根的數(shù)值方法，例如Newton法，對于加速度的三種表達(dá)式，分別可以得出0,407. 02772. 1a時(shí)0,407. 02773. 12a時(shí)0,409. 02862. 11a時(shí) 因此在求加速度（絕對值）的最值時(shí)，近似模型也是十分有效的。21 我們有由擺角的精確模型導(dǎo)出的表達(dá)式（8.11）和由近似模型導(dǎo)出的表達(dá)式（8.23）、（8.24），同樣可以計(jì)算角加速度在各離散點(diǎn)的值。 擺角的角加速度和其最值2222322222sin ()(8.11)(sin)drlrdtlr 2212si