概率論第一章第三節(jié)

1、1.3 概率概率 概率論作為應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個重要分支，它研究的是隨機(jī)現(xiàn)象量的規(guī)律性.因此，對于一個隨機(jī)試驗(yàn)，僅僅知道試驗(yàn)中可能出現(xiàn)哪些事件是不夠的，還必須對事件發(fā)生的可能性大小進(jìn)行量的描述.即希望用一個數(shù)字來描述一個隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，這就是概率的粗略含義. 描述事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo)稱為事件發(fā)事件發(fā)生的概率，記作生的概率，記作P(A).概率的統(tǒng)計(jì)定義:概率的客觀存在性的描述性定義；古典定義：特定試驗(yàn)中概率的古典定義，在概率論發(fā)展史上人們最早研究的是概率的古典定義；描述概率的基本屬性的公理化定義.1.3.1 概率的古典定義概率的古典定義把具有以下兩個特點(diǎn)的隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱為古典概

2、型古典概型： （1）有限性有限性 試驗(yàn)的基本事件總數(shù)為有限個； （2）等可能性等可能性 每次試驗(yàn)中，各個基本事件出現(xiàn)的可能性相同. #( )#1.3.#1#.AAP AAA在古典概型中，隨機(jī)事件 發(fā)生的概率為其中、分別表示 包含的基本事件個數(shù)和試驗(yàn)的基定本事件總數(shù)義例例1.3.1 一個五位數(shù)字的號碼鎖，每位上都有0,1, 9十個數(shù)碼，若不知道該鎖的號碼，問開一次鎖就能將改鎖打開的概率有多大？55#1 #10#1( )0.00001.#10 AAAP A 設(shè)“開一次就把鎖打開”， 則，于是解 若不知道鎖的號碼，要想一次就將鎖打開的可能性是很小的.通常我們把這種概率很小的事件稱為小概率事件. 例例

3、1.3.2 12個球中有5個紅球，4個白球，3個黑球，從中任取2個球，計(jì)算沒有取到紅球的概率.22712#21, #66.#217( ).#6622 AACCAP A 記取到的2個球中沒有紅球 ，則 解例例1.3.3 一箱產(chǎn)品有100個，其中有10個次品，90個正品.從中任取3個.計(jì)算： （1）沒有取到次品的概率； （2）最多取到1個次品的概率.0,1.iAii 記“取出的3個產(chǎn)品中有 個次品”，解309003100#117480(1) ()0.727.#161700ACP AC則31201901090013100#()(2) ()#AACCCP AAC31001174804005015753

4、00.974.161700C例例1.3.4 從從5 5雙不同尺碼的手套中任取雙不同尺碼的手套中任取4 4只，求至少有只，求至少有2 2只配成一雙的概率只配成一雙的概率. .4.A 設(shè)只手套中至少2只配成雙解410#210.C 解一 121154224CCCC只中恰有2只配成一雙的取法數(shù)，254C只中恰好配成2雙的取法數(shù)，1211254225#130.ACCCCC于是0#13013( ).#21021AP A 得解法二解法二 4只中恰好有2只配成1雙的取法按下列步驟進(jìn)行：先從5雙中任取1雙，再從余下的8只中任取2只，但須剔除其中配成1雙的種數(shù).于是12125845#()130.ACCCC0#13

5、013( ).#21021AP A 122585#130.ACCC或（1）指定的）指定的n個箱子各放一球；個箱子各放一球；（2）每個箱子最多放入一球；）每個箱子最多放入一球；（3）某指定的箱子不空；）某指定的箱子不空；（4）某指定的箱子恰好放入）某指定的箱子恰好放入k（kn）個球。）個球。123N例例1.3.5 分球入箱問題分球入箱問題（分房問題，生日問題）（分房問題，生日問題）將將n個球個球( (可辨認(rèn)可辨認(rèn)) )隨意地放入隨意地放入N個箱子中個箱子中( (Nn),),其中每個球都其中每個球都等可能地放入任意一個箱子，等可能地放入任意一個箱子，求下列各事件的概率：求下列各事件的概率：!(1)

6、()nnP AN (2)( !)( ).nNnnNNnnnCnPPP BN 每每個個箱箱子子最最多多放放入入一一球球等等價(jià)價(jià)于于將將 個個球球放放進(jìn)進(jìn)任任意意的的 個個箱箱子子中中，每每箱箱一一個個球球，其其放放法法有有（或或記記作作）種種，則則有有將將n個球隨意地放入個球隨意地放入N個箱子，共有個箱子，共有nN種放法，種放法，分別記上述四事件為分別記上述四事件為A,B,C,D。解：解：(1)(3)()(1)()1()nnnnnNP CNNNP CP CN (1)(4)()knknnCNPDN )3! 3:(3答答案案練習(xí)練習(xí)1o 分房問題分房問題 將張三、李四、王五將張三、李四、王五3人等可

7、能地人等可能地分配到分配到3 間房中去間房中去,試求每個房間恰有試求每個房間恰有1人的概率人的概率.解解: :他他們們的的生生日日各各不不相相同同的的概概率率為為365 364(3651)365nn(365).nn 2 2. . 求求 個個人人中中至至少少有有兩兩個個人人生生日日相相同同的的概概率率nnp365)1365(3643651 人數(shù)人數(shù)至少有兩人生日相同的至少有兩人生日相同的 概率概率100.11694817771107765187200.41143838358057998762300.70631624271926865996400.89123180981794898965500.9

8、7037357957798839992600.99412266086534794247700.99915957596515709135800.99991433194931349469900.999993848356123603551000.999999692751072148421100.999999989471294306211200.999999999756085218951300.999999999996240323171400.999999999999962103951500.99999999999999975491600.99999999999999999900我們利用軟件包進(jìn)行數(shù)值

9、計(jì)算我們利用軟件包進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.1.3.2 概率的統(tǒng)計(jì)定義概率的統(tǒng)計(jì)定義.隨機(jī)試驗(yàn)并不限于古典概型一類，若隨機(jī)試驗(yàn)不是古典概型，為判定事件發(fā)生的可能性大小，一個可靠的方法是進(jìn)行大量重復(fù)地試驗(yàn)( )( )( )( ).n AnAAAnAn AAAn一般地，記為 次試驗(yàn)中事件 出現(xiàn)的次數(shù)，稱為 的.記為 次試頻數(shù)頻率驗(yàn)中事件 出現(xiàn)的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值，稱為 的，即 頻率也可以反映事件發(fā)生的可能性大小，它是從多次試驗(yàn)的結(jié)果來考察隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，因而有隨機(jī)性.它的數(shù)值依賴于試驗(yàn).對于同一事件，不僅試驗(yàn)次數(shù)不同可以得出不同的頻率，就是試驗(yàn)次數(shù)相同，得到的頻率也可能不同. 概率是由隨機(jī)事件本

10、身的結(jié)構(gòu)決定的，它反映了隨機(jī)事件所固有的客觀屬性，它是客觀存在的，它的大小與是否試驗(yàn)及試驗(yàn)的次數(shù)無關(guān). 在大量重復(fù)試驗(yàn)的條件下，隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率將會隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大而逐漸趨于穩(wěn)定.我們稱頻率的穩(wěn)定值為事件A發(fā)生的概率P.以拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)為例，設(shè)事件表示以拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)為例，設(shè)事件表示“正面向上正面向上”即徽花向上即徽花向上.表表1-1列舉了幾位著名學(xué)者的試驗(yàn)結(jié)果列舉了幾位著名學(xué)者的試驗(yàn)結(jié)果. 表表1-1 當(dāng)n充分大時，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定于常數(shù)值0.5.稱這一現(xiàn)象為頻率的穩(wěn)定性.事實(shí)上，上述試驗(yàn)屬于古典概型，利用概率的古典定義很容易計(jì)算出事件A發(fā)生的概率為P(A)=0.5 .定義

11、定義1.3.2 在相同的條件下，重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一數(shù)值p附近擺動.而且一般說來，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，這種擺動的幅度將減小.我們稱這個客觀存在的頻率的穩(wěn)定值p為事件A在上述條件下，一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率概率.記為p(A)=p.這個定義通常稱為概率的統(tǒng)計(jì)定統(tǒng)計(jì)定義義. 嚴(yán)格地講，概率的統(tǒng)計(jì)定義只是一種描述性的定義.在大多數(shù)情況下，定義中提到的客觀存在的數(shù)值p無法具體地確定.一般只是在大量重復(fù)試驗(yàn)的條件下，通過頻率值或一系列頻率的均值作為概率p(A)的近似值.但是，頻率的穩(wěn)定性及頻率與概率之間的聯(lián)系為我們進(jìn)一步研究概率奠定了基礎(chǔ).1.3.3 概率的公理

12、化定義概率的公理化定義 上面已經(jīng)引入了概率的兩種定義（古典定義與統(tǒng)計(jì)定義）.前者要求只有有限個基本事件并且它們的出現(xiàn)具有等可能性，而實(shí)際問題大多不同時具備這兩種條件；后者雖然無以上兩個條件限制，但試驗(yàn)次數(shù)應(yīng)大到什么程度，頻率究竟在什么意義下趨近于概率都沒有確切地說明.因此，兩種定義都存在一定的局限性.1.3.3 概率的公理化定義概率的公理化定義0( )1;(2) ()1,()0;P APP 在古典概型中定義的概率滿足下列性質(zhì)：(1)121213,()().nnniiA AAP AAAP A( )若兩兩互不相容,則有(1)0( )1;(2) ( )1, ()0;A 隨機(jī)事件的頻率也滿足下面三個性

13、質(zhì)：12121(3),()().nnniiA AAAAAA若兩兩互不相容,則有,( )1( )( ).3.3AAP AP AP AA假設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為 ，對于該試驗(yàn)的每一個隨機(jī)事件即對于樣本空間 的每一個子集 ，都賦予一個實(shí)數(shù)，如果滿足下面三定義 條公理，則稱為事件 的概率.,( )0;A P A 對于任何事件公理1(;2)1P 對于必然事件 ，公理1211, ()().niiiiA AAPAP A 對于任意可列個兩兩互不相容的事件若,理3有公 上述三條公理稱為概率論的公理化結(jié)構(gòu).這三條公理是隨機(jī)事件的概率所應(yīng)具備的三個基本屬性，也是研究概率的基礎(chǔ)與出發(fā)點(diǎn).概率論的公理化結(jié)構(gòu)的建立使概率

14、論具有嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)，從而確立了它在嚴(yán)格數(shù)學(xué)中的地位. 如在公理化定義的基礎(chǔ)上，我們可以證明反映“頻率穩(wěn)定性”的大數(shù)定律，為在實(shí)際中用頻率近似代替概率提供了理論依據(jù).因此公理化定義的建立，在概率論的發(fā)展史中起著極其重要的作用.1.3.10( )0.P 不可能事件 的概率等于 ，即性質(zhì) 證明 由于 ()0.P 上式成立的充要條件是3( )( )( )PPP 由公理 有111,()()1.3.2nnniiiiAAPAP A假設(shè)事件兩兩互不相性質(zhì)（有限可加性）容，則有 1131.3.1.nnAAAA 由于根據(jù)公理 和性質(zhì)證得證明()( )( ).ABP ABP AP B特別地，如果兩個事件 與 互不

15、相容，則有11,()1.31.1 .1( )1( ). nniiAAP AP AP A如果事件構(gòu)成一個完備事件組，則有 特別地，兩個對立事件概率之和為 ，即推論11,().nniiAAA 由于事件構(gòu)成一個完備事件組，即兩兩不相容且證明于是有11()()( )1.nniiiiP APAP 2( )( )1.nP AP A當(dāng)時，易得 ()( )(. .3.1)3ABP ABP AP B若事件，則有，性質(zhì)ABABBABAB由于，所以，與互證明不相容，1.3.2 ( )( ).ABP AP B若事件，則有，推論 ( )11.3.3AP A 對任何事件 ，有推論().AABAB且，( )()P AP A

16、BAB因此，()()()( ).P ABP ABP ABP B,( )()1.AP AP 所以證因證明證明AB由圖可得由圖可得()()ABABBAABAABBABAB又又、與與互互不不相相容容，則則由由性性質(zhì)質(zhì)1.3.3,1.3.3,AB( )( )().P AP BP AB,()( )( ).().1.3 4性性質(zhì)質(zhì)對對于于任任意意兩兩事事件件有有A BP ABP AP BP AB.廣廣義義加加我我們們稱稱上上式式法法公公式式為為(A )(B)ABBAAB ()()()()P ABP AABP BABP AB 1111121()()()()( 1)() nniiijiiij nnijknij

17、 k nPAP AP AAP AA AP AAA()( )( )( )()()()().P A B CP AP BPCP ABP ACP BCP ABC 利用數(shù)學(xué)歸納法，可將性質(zhì)1.3.4推廣到任意有限個事件的情形：特別地，對于任意三個事件有 例例1.3.7 袋中有8只球，其中5只白球，3只黑球.從袋中取球兩次，每次1只.第一次取1球觀察其顏色后放回袋中，然后再取第2只，計(jì)算（1）取到的2只球中有黑球的概率；（2）取到的2只球顏色不同的概率.AB 令“取到的兩只球中有黑球”，即兩只球中至少有一只黑球，令“取到的2只球顏解色不同”，A (1)取到的兩只球中沒有黑球 ，則22#539( )1( )

18、11.#864AP AP A 12BB(2)設(shè)第一次取到白球，第二次取到黑球 ，第一次取到黑球，第二次取到白球 ，1212BBBBB顯然，且 與互不相容，12( )()()P BP BP B所以，225 33 515.8832 例例1.3.8 例1.3.7中其他條件不變，僅改變摸球方法：從袋中取2只球，每次取1只，第一次取球后不放回，接著從余下的球中取第2只，求P(A)和P(B).#8 756 本題為不放回式抽取，解，12#5 420 #5 315 #3 515ABB ，#209( )1( )11,#5614AP AP A 12151515( )()().565628P BP BP B 例例1

19、.3.9 例1.3.7中其它條件不變，將摸球方法改為一次摸取2只，求P(A)和P(B).22118553#CACBCC ，解，注注 比較例1.3.8和例1.3.9，可以看出不放回抽樣連續(xù)抽取兩次和一次任意抽取2只結(jié)果是一樣的.所以，在很多問題中，如果不是有放回地抽取，則統(tǒng)稱為“任意取出”.2528#9( )1( )11.#14CAP AP AC 115328#15( ).#28CCBP BC 例例1.3.10 某人外出旅游兩天，據(jù)天氣預(yù)報(bào)，第一天下雨的概率為0.2，第二天下雨的概率為0.3，兩天都下雨的概率為0.1，求：（1）第一天下雨而第二天不下雨的概率；（2）至少有一天下雨的概率；（3）兩

20、天都不下雨的概率.1212(1,2),()0.2, ()0.3, ()0.1.iAiiP AP AP A A 令“第 天下雨”,由題設(shè)知，解12112112(1),BBAAAA AAA A令“第一天下雨而第二天不下雨”，且，112( )()()0.20.10.1.P BP AP A A所以，12(2)CCAA令“至少有一天下雨”，則，121212( )()()()()P CP AAP AP AP A A于是，1212(3)DDA AAA“兩天都不下雨”，則，0.20.30.10.4.1212()()1()P DP AAP AA 所以，1( )1 0.40.6.P C 3,( )( ),56()

21、()()().71.3.11A BP AP BP ABP ABP ABP BA設(shè)是兩個隨機(jī)事，例件，且，求ABAABAAB由于，且，所以有，()( )( )()P ABP AP BP AB解 3361( )1( )()1.5577P AP BP AB 3116()()( )().5735P ABP AABP AP AB219()( )().5735P BAP BP BA類似有，例例1.3.12 （1）50個人中至少有一個人的生日是在9月10日的概率為多少（一年按365天計(jì)算）？AA (1)令“至少有一個人的生日是9月10日”，則“沒有人的生日是9月10日解”，所以，5050#364( )1(

22、)110.128.#365AP AP A BB 令“至少有兩個人的生日在同一個月”，則“5個人的生日各不同”，解于是得，（2）5個人中至少有兩個人的生日在同一個月的概率為多少（假設(shè)每個月的天數(shù)相同）？5125#( )1( )110.618.#12PBP BP B 解解.5040410An例例 在0,1,2,3, ,9中不重復(fù)地任取四個數(shù)，求它們能排成首位非零的四位偶數(shù)的概率.設(shè) A為“能排成首位非零的四位偶數(shù)” 四位偶數(shù)的末位為偶數(shù), 故有 種可能15C而前三位數(shù)有 種取法,由于首位為零的四39A 位數(shù)有 種取法,所以有利于A發(fā)生的取1248C A229628143915ACACnA 法共有

23、種.904150402296)(AP2121AAAAA解解nn9 設(shè) A 表示事件 “n 次取到的數(shù)字的乘積能被10整除”設(shè) A1 表示事件 “n 次取到的數(shù)字中有偶數(shù)” A2表示事件 “n 次取到的數(shù)字中有5”A = A1 A2例例 在1,2,3, ,9中重復(fù)地任取 n ( )個數(shù), 求 n 個數(shù)字的乘積能被10整除的概率.2 nnAP951nnAP982nnAAP9421 nnnnAAPAPAPAAPAP9485212121 .94851nnnnAP1.4 幾何概型幾何概型 把有限個樣本點(diǎn)推廣到無限個樣本點(diǎn)的場合把有限個樣本點(diǎn)推廣到無限個樣本點(diǎn)的場合,人們?nèi)藗円肓艘肓藥缀胃判蛶缀胃判?

24、等可能隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷瓤赡茈S機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ? A( )( ( )SS 在在面面積積為為區(qū)區(qū)域域 中中等等可可能能地地隨隨機(jī)機(jī)投投點(diǎn)點(diǎn)( )AAS A 點(diǎn)點(diǎn)落落入入 中中任任意意區(qū)區(qū)域域 的的可可能能性性大大小小與與的的面面積積成成正正比比，而而與與其其位位置置或或形形狀狀無無關(guān)關(guān)。()()()S AP AS 平平面面區(qū)區(qū)域域上上A A的的幾幾何何概概率率定義定義1.5 當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個區(qū)域當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個區(qū)域,并并且任意一點(diǎn)落在度量且任意一點(diǎn)落在度量 (長度長度, 面積面積, 體積體積) 相同的子相同的子區(qū)域是等可能的區(qū)域是等可能的,則事件則事件 A 的概率可定義為的概率可定義為

25、)()()(mAmAP .)(,)(幾幾何何概概率率規(guī)規(guī)定定的的概概率率稱稱為為量量來來合合理理這這樣樣借借助助于于幾幾何何上上的的度度的的子子區(qū)區(qū)域域的的度度量量是是構(gòu)構(gòu)成成事事件件是是樣樣本本空空間間的的度度量量其其中中AAmm 幾何概型舉例幾何概型舉例（1）某人午覺醒來）某人午覺醒來,發(fā)覺表停了發(fā)覺表停了,他打開收音機(jī)他打開收音機(jī),想聽電臺報(bào)時想聽電臺報(bào)時, 假定電臺每小時報(bào)時一次，求他假定電臺每小時報(bào)時一次，求他等待的時間短于等待的時間短于10分鐘的概率。分鐘的概率。解：解：因?yàn)殡娕_每小時報(bào)時一次因?yàn)殡娕_每小時報(bào)時一次,我們自然認(rèn)為我們自然認(rèn)為這個人打開收音機(jī)時處于兩次報(bào)時之間這個人打

26、開收音機(jī)時處于兩次報(bào)時之間,例如例如(13:00,14:00),而且取各點(diǎn)的可能性而且取各點(diǎn)的可能性一樣一樣,要遇到等待時間短于要遇到等待時間短于10分鐘分鐘,只有只有當(dāng)他打開收音機(jī)的時間正好處于當(dāng)他打開收音機(jī)的時間正好處于13:50至至14:00之間才有可能之間才有可能,相應(yīng)的概率是相應(yīng)的概率是10/60=1/6.例例（會面問題）會面問題）甲、乙兩人相約甲、乙兩人相約7點(diǎn)到點(diǎn)到8點(diǎn)在某點(diǎn)在某地會面，先到者等候另一人地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時就可分鐘，過時就可離去，試求這兩人能會面的概率離去，試求這兩人能會面的概率解：解：以以x，y分別表示甲、乙兩人的到達(dá)時刻，則兩人能分別表示甲、乙兩人的到達(dá)時刻，則兩人能會面的充要條件為會面的充要條件為20 xy( , )|060,060 x yxy ( , )|( , ),| 20Ax yx yxy xoy20yx 20 xy 20606020222( )60405( )()609S AP AS 例例1010 兩船欲停同一碼頭, 兩船在一晝夜內(nèi)獨(dú)立隨機(jī)地到達(dá)碼頭. 若兩船到達(dá)后需在碼頭停留的時間分別是 1 小時與 2 小 時，試求在一晝夜內(nèi)