理論力學摩擦

1、12第四章第四章 摩擦摩擦靜力學靜力學第四章第四章 摩擦摩擦 前幾章我們把接觸表面都看成是絕對光滑的，忽略了物體之間的摩擦，事實上完全光滑的表面是不存在的，一般情況下都存在有摩擦。當物體的接觸表面確實比較光滑，或有良好的潤滑條件，以致摩擦力與物體所受其它力相比的確很小時，可以忽略。然而，在很多日常生活和工程實際問題中，摩擦成為主要因素，摩擦力不僅不能忽略，而且還應作為重點來研究。 由于摩擦是一種十分復雜的物理現(xiàn)象，涉及面廣，本章只限于討論工程中常用的近似理論，主要介紹滑動摩擦和滾動摩阻定律，重點研究有摩擦存在時物體的平衡問題。3(a)(b)靜力學靜力學第四章第四章 摩擦摩擦定義定義：兩個相接觸

2、物體，當其接觸處產(chǎn)生相對滑動或相對滑動趨勢時，其接觸處產(chǎn)生的阻礙物體相對滑動的力叫滑動摩擦力。摩擦力作用于相互接觸處，其方向與相對滑動的趨勢或相對滑動的方向相反，它的大小根據(jù)主動力作用的不同，可以分為三種情況，即靜滑動摩擦力，最大靜滑動摩擦力和動滑動摩擦力。若僅有滑動趨勢而沒有滑動時產(chǎn)生的摩擦力稱為靜滑動摩擦力；若存在相對滑動時產(chǎn)生的摩擦力稱為動滑動摩擦力。4-1 4-1 滑動摩擦滑動摩擦41. 靜滑動摩擦力及最大靜滑動摩擦力 如圖(a)所示，在粗糙的水平面上放置一重為P的物體，當水平方向無拉力時，顯然有P=FN?，F(xiàn)在該物體上作用一大小可變化的水平拉力F，如圖(b)所示，當拉力F由零逐漸增加但

3、又不很大時，物體仍能維持平衡。(a)(b)靜力學靜力學第四章第四章 摩擦摩擦5(a)(b)由此可見，支承面對物體的約束力除了法向約束力FN外還有一個阻礙物體沿水平面向右滑動的切向約束力Fs，此力即靜滑動摩擦力靜滑動摩擦力，簡稱靜摩擦力靜摩擦力。顯然有Fs=F，因此靜靜摩擦力摩擦力也是約束力，隨著F的增大而增大。然而，它并不能隨F的增大而無限地增大。而有一個最大值Fmax，稱為最大靜摩擦力，最大靜摩擦力，此時物體 處于平衡的臨界狀態(tài)。當主動力F大于Fmax時，物體將失去平衡而滑動。即靜力學靜力學第四章第四章 摩擦摩擦maxs0FF6靜力學靜力學第四章第四章 摩擦摩擦實驗表明NsmaxFfF上式稱

4、為庫侖摩擦定律庫侖摩擦定律，是計算最大靜摩擦力的近似公式。式中 fs 稱為靜摩擦因數(shù)，靜摩擦因數(shù)，它是一個無量綱的量。一般由實驗來確定。2. 動滑動摩擦力動滑動摩擦力 當接觸處出現(xiàn)相對滑動時，接觸物體之間仍有阻礙相對滑動的阻力，這種阻力稱為動滑動摩擦力動滑動摩擦力，簡稱動摩擦力動摩擦力，以Fd 表示，大小可用下式計算。NddFfF 式中 fd 是動摩擦因數(shù)動摩擦因數(shù)，通常情況下， sdff 7靜力學靜力學第四章第四章 摩擦摩擦4-2 4-2 摩擦角和自鎖現(xiàn)象摩擦角和自鎖現(xiàn)象1. 摩擦角摩擦角 當有摩擦時，支承面對物體的約束力有法向約束力FN和切向約束力Fs，這兩個力的合力稱為全約束力全約束力F

5、R。SNRFFF它的作用線與接觸處的公法線成一偏角j ,如圖所示，當靜摩擦力達最大時， j 也達到最大值jf ,稱jf 為摩擦角。sNmaxtanfFFfj8當物塊的滑動趨勢方向改變時，全約束反力作用線的方位也隨之改變；在臨界狀態(tài)下，R R的作用線將畫出一個以接觸點A為頂點的錐面，稱為摩擦錐。設物塊與支承面間沿任何方向的摩擦系數(shù)都相同，即摩擦角都相等，則摩擦錐將是一個頂角為2 j f的圓錐。靜力學靜力學第四章第四章 摩擦摩擦9 物塊平衡時，靜摩擦力不一定達到最大值，可在零與最大值F Fmax之間變化，所以全約束反力與法線間的夾角j也在零與摩擦角jf之間變化，即由于靜摩擦力不可能超過最大值，因此

6、全約束反力的作用線也不可能超出摩擦角以外，即全約束反力必在摩擦角之內。f0jjNFmaxRjjf2. 自鎖現(xiàn)象自鎖現(xiàn)象靜力學靜力學第四章第四章 摩擦摩擦10qjfjfjfRRAAj (1)如果作用于物塊的全部主動力的合力R的作用線在摩擦角jf之內，則無論這個力怎樣大，物塊必保持靜止。這種現(xiàn)象稱為自鎖現(xiàn)象。因為在這種情況下，主動力的合力R與法線間的夾角q jf，因此， R和全約束反力FRA必能滿足二力平衡條件，且q j j f，而j j f，支承面的全約束反力R RA和主動力的合力R R不能滿足二力平衡條件。應用這個道理，可以設法避免發(fā)生自鎖現(xiàn)象。靜力學靜力學第四章第四章 摩擦摩擦12 利用摩擦

7、角的概念，可用簡單的試驗方法測定摩擦因數(shù)。摩擦角就是物塊處于臨界狀態(tài)時斜面的傾角q ,即qjtantanfsf靜力學靜力學第四章第四章 摩擦摩擦13斜面的自鎖條件是斜面的傾角小于或等于摩擦角。斜面的自鎖條件就是螺紋的自鎖條件。因為螺紋可以看成為繞在一圓柱體上的斜面，螺紋升角a就是斜面的傾角。螺母相當于斜面上的滑塊A，加于螺母的軸向載荷P，相當物塊A的重力，要使螺紋自鎖，必須使螺紋的升角a小于或等于摩擦角jm。因此螺紋的自鎖條件是faj靜力學靜力學第四章第四章 摩擦摩擦14靜力學靜力學第四章第四章 摩擦摩擦4-3 4-3 考慮摩擦時物體的平衡問題考慮摩擦時物體的平衡問題 考慮有摩擦的平衡問題時，

8、其解法與前幾章基本一樣。但需指出的是，在受力分析和列平衡方程時要將摩擦力考慮在內，因而除平衡方程外，還需增加補充方程 0 Fs fs FN，因此有摩擦的平衡問題的解通常是一個范圍。為了避免解不等式，往往先考慮臨界狀態(tài)（ Fs = fs FN），求得結果后再討論解的平衡范圍。應該強調的是摩擦力的方向在臨界狀態(tài)摩擦力的方向在臨界狀態(tài)下不能假設，要根據(jù)物體相對運動趨勢來判斷，下不能假設，要根據(jù)物體相對運動趨勢來判斷，只有摩擦力只有摩擦力是待求未知數(shù)時，可以假設其方向是待求未知數(shù)時，可以假設其方向 。 求解時，根據(jù)具體的問題采用解析法或幾何法求解，下面舉例說明15, 0 xF0 coss FFq, 0

9、yF0 sinNqFPF 取物塊A為研究對象，受力分析如圖。列平衡方程。解解: :例題4-1靜力學靜力學第四章第四章 摩擦摩擦qAF F聯(lián)立求解得N 46. 330 cos4sFN 6 . 3 sinsNsmaxqFPfFfF最大靜摩擦力N 46. 3sF所以作用在物體上的摩擦力為maxsFF 因為 小物體A重P =10 N，放在粗糙的水平固定面上，它與固定面之間的靜摩擦因數(shù) fs=0.3。今在小物體A上施加F=4 N的力， q =30，試求作用在物體上的摩擦力。yAxqPF FFNFs16(a) 構件A及B用楔塊C聯(lián)結，如圖(a)所示，楔塊自重不計， 。已知楔塊與構件間的摩擦系數(shù) fs= 0

10、.1, 求能自鎖的傾斜角q 。解：(1) 解析法解析法 研究楔塊C，受力如圖(b)，考慮臨界平衡0sincos , 0N2s1N1FFFqqxF例題4-2靜力學靜力學第四章第四章 摩擦摩擦0cossin , 0s2s1N1FFFqqyF 再考慮補充方程 ,N2ss2N1ss1FfFFfF聯(lián)立解之得11.42 ,2tan12tanf2ssqjqff(b)21FF 17(c)靜力學靜力學第四章第四章 摩擦摩擦fff2 ,jqjjq(2) 幾何法幾何法 仍考慮臨界平衡狀態(tài),在此情況下,楔塊C 兩端所受的全約束力必大小相等,方向相反且作用線在一條直線上;與作用點處的法線的夾角均等于摩擦角jf 如圖(c

11、) 所示。由幾何關系不難得 42.11271. 51 . 0tg ,1 . 0 tgf1fsfjqjjf以上是考慮臨界狀態(tài)所得結果，稍作分析即可得時能自鎖當 42.1120 fjq例題4-218靜力學靜力學第四章第四章 摩擦摩擦例題4-3FAFNBFBFNAABCFxxyhOFBhdBAFx, 0 xF0NNBAFF, 0yF0FFFBA平衡方程為, 0)(FOM0)(2NxFFFdhFBAA取支架為研究對象,受力分析如圖。（1）解析法解析法解:一活動支架套在固定圓柱的外表面，且h = 20 cm。假設支架和圓柱之間的靜摩擦因數(shù) fs = 0.25。問作用于支架的主動力F 的作用線距圓柱中心線

12、至少多遠才能使支架不致下滑（支架自重不計）。19聯(lián)立求解得,2NNFFFBAcm 40 xBBAAFfFFfFNsNs , 補充方程靜力學靜力學第四章第四章 摩擦摩擦例題4-321hhhff tan)2( tan)2(jjdxdx解得cm 40 tan2fjhx（2 2）幾何法）幾何法 由以上二個例子可以看出，當有摩擦處的約束力以全由以上二個例子可以看出，當有摩擦處的約束力以全約束力形式給出，如能利用二力平衡條件和三力平衡匯交約束力形式給出，如能利用二力平衡條件和三力平衡匯交定理且?guī)缀侮P系又較簡單，用幾何法往往較方便。定理且?guī)缀侮P系又較簡單，用幾何法往往較方便。支架受力分析如圖所示。由幾何關系

13、得20hCabFP 寬a，高b的矩形柜放置在水平面上，柜重P，重心C 在其幾何中心，柜與地面間的靜摩擦因數(shù)是 fs，在柜的側面施加水平向右的力F，求柜發(fā)生運動時所需推力F 的最小值。靜力學靜力學第四章第四章 摩擦摩擦例題4-421yABCxFPFBFAFNBFNA1 .假設不翻倒但即將滑動，考慮臨界平衡。解:取矩形柜為研究對象,受力分析如圖。聯(lián)立求解得柜子開始滑動所需的最小推力s1minPfFFBBAAFfFFfFNsNs , 補充方程0BAFFF0NNPFFBA, 0 xF, 0yF列平衡方程靜力學靜力學第四章第四章 摩擦摩擦例題4-4222.假設矩形柜不滑動但將繞 B 翻倒。柜繞 B 翻倒

14、條件： FNA=0bPaFF2 min2使柜翻倒的最小推力為, 0BM02NaFFhaPA列平衡方程ABCxFPFBFAFNBFNA解得hPaF2 靜力學靜力學第四章第四章 摩擦摩擦例題4-4綜上所述使柜發(fā)生運動所需的最小推力為),min(2min1minFF23 長為l的梯子AB一端靠在墻壁上，另一端擱在地板上，如圖所示。假設梯子與墻壁的接觸是完全光滑的，梯子與地板之間有摩擦，其靜摩擦因數(shù)為fs。梯子的重量略去不計。今有一重為P的人沿梯子向上爬，如果保證人爬到頂端而梯子不致下滑，求梯子與墻壁的夾角q 。 qlaABP靜力學靜力學第四章第四章 摩擦摩擦例題4-524 以梯子AB為研究對象，人的

15、位置用距離 a 表示，梯子的受力如圖。解：使梯子保持靜止，必須滿足下列平衡方程：, 0 xF0sNFFB, 0yF0N PFA , 0FAM0 cos sinNqqlFPaByqlaABxFsFNAPFNBAFfFNss 同時滿足物理條件s tanflaq靜力學靜力學第四章第四章 摩擦摩擦例題4-5聯(lián)立解之得因 0al， 當 a = l 時，上式左邊達到最大值。所以fstan tanjq f或f jq即為所求25 重為P =100 N的勻質滾輪夾在無重桿AB和水平面之間，在桿端B作用一垂直于AB的力FB ，其大小為FB = 50 N。A為光滑鉸鏈，輪與桿間的摩擦因數(shù)為 fs1=0.4。輪半徑為

16、r，桿長為 l，當 q = 60 時，AC = CB = 0.5l ，如圖所示。如要維持系統(tǒng)平衡，（1） 若D處靜摩擦因數(shù) fs2 = 0.3，求此時作用于輪心O處水平推力 F 的最小值;（2）若fs2=0.15 ,此時F 的最小值又為多少？ABCDOrqPFFB靜力學靜力學第四章第四章 摩擦摩擦例題4-626解： 此題在C，D兩處都有摩擦，兩個摩擦力之中只要有一個達到最大值，系統(tǒng)即處于臨界狀態(tài)。假設C處的摩擦先達到最大值，輪有水平向右滾動的趨勢。靜力學靜力學第四章第四章 摩擦摩擦例題4-6ABCFAxFAyFCFNCFBq1.以桿AB為研究對象，受力分析如圖。N 40,N 100NCCFF解

17、得 02, 0NlFlFMBCAF列平衡方程 N1smaxCCCFfFF補充方程27靜力學靜力學第四章第四章 摩擦摩擦例題4-62.以輪為研究對象，列平衡方程。 0 , 0 060 sin60 cos , 0 060 cos60 sin , 0NNNrFrFMFFPFFFFFFFDCODCCyDCCxFDOCFNDFDPFCFCFNqN 39.55N2smaxDDFfF當 fs2= 0.3時，D處最大摩擦力為 ,maxDDFF 由于故D處無滑動所以維持系統(tǒng)平衡的最小水平推力為F =26.6 N。代入上面各式解得 F =26.6 N，F(xiàn)ND=184.6 NN 40 ,N 100NNCCCCFFF

18、F將N 40DF28解方程得DDCFfFFN2sN 86.2560 sin160 cos2sN2sfGFfFFCCD最小水平推力為N 81.4760 cos160 sinNDCFFFDDDFfFFN2smax受力圖不變，補充方程應改為N 40N1smaxCCFfF此時C處最大摩擦力為因此當 fs2= 0.15 時，維持系統(tǒng)平衡的最小水平推力改為N 81.47F所以C處無滑動。, maxCCFF由于 說明前面假定不成立，D處應先達到臨界狀態(tài)。maxDDFF3. 當 fs2= 0.15時,N 7 .27Ns2maxDDFfF靜力學靜力學第四章第四章 摩擦摩擦例題4-629靜力學靜力學第四章第四章

19、摩擦摩擦 由實踐可知，使?jié)L子滾動比使它滑動省力，如果仍用下圖的力學模型來分析就存在問題。即無論水平力F F 多么小，此物體均不能平衡，因對點A的矩的平衡方程不滿足，即 0)(FAM4-4 4-4 滾動摩阻的概念滾動摩阻的概念 出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是，實際接觸面并不是剛體，它們在力的作用下都會發(fā)生一些變形，有一個接觸面，如圖所示。這是與實際情況不符的，說明此力學模型有缺陷，需要修正。30此力系向A點簡化 與靜滑動摩擦力相似，滾動摩阻力偶矩Mf 隨主動力 F的增大而增大；但有一個最大值 Mmax ,即或靜力學靜力學第四章第四章 摩擦摩擦maxf0MM NmaxFM且最大滑動摩阻力偶矩上式即是滾動摩阻

20、定律滾動摩阻定律， 稱為滾動摩阻系數(shù)滾動摩阻系數(shù)，具有長度的量綱 ，單位一般用mm。與滾子和支承面的材料的硬度和濕度等有關。與滾子的半徑無關。31靜力學靜力學第四章第四章 摩擦摩擦滾阻系數(shù)的物理意義如下由力的平移定理 ,NNNmaxFF FMd與Nmax FM比較得d 一般情況下，相對滑動摩擦而言，由于滾阻阻力偶矩很一般情況下，相對滑動摩擦而言，由于滾阻阻力偶矩很小，所以在工程中大多數(shù)情況下滾阻力偶矩忽略不計。小，所以在工程中大多數(shù)情況下滾阻力偶矩忽略不計。32取輪子為研究對象,受力分析如圖。由平衡方程解:靜力學靜力學第四章第四章 摩擦摩擦例題4-7勻質輪子的重量P = 3 kN，半徑 r = 0.3 m；今在輪中心施加平行于斜面的拉力FH，使輪子沿與水平面成q =30