連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性(25)課件

1、機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1第九節(jié)第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算一、四則運(yùn)算的連續(xù)性一、四則運(yùn)算的連續(xù)性二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性四、小結(jié)四、小結(jié) 思考題思考題與初等函數(shù)的連續(xù)性與初等函數(shù)的連續(xù)性機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2一、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算的連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算的連續(xù)性【定理【定理1】例如例如 . ),(cos,sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xx. csc,sec,cot,tan在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)xxxx（上節(jié)已證）（上節(jié)已證）由

2、函數(shù)由函數(shù)“點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù)”的定義和極限四則運(yùn)算法則，立的定義和極限四則運(yùn)算法則，立得得: :【推廣】【推廣】 有限個(gè)連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)。有限個(gè)連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)?！窘Y(jié)論】【結(jié)論】三角函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)三角函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).若若f(x) , g(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處連續(xù)，則處連續(xù)，則f(x)g(x) ，f(x)g(x) , f(x)/g(x)g(x0)0在點(diǎn)在點(diǎn)x0處也連續(xù)處也連續(xù).機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 3二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性【定理【定理2】嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)

3、必有嚴(yán)格單調(diào)的 連續(xù)反函數(shù)連續(xù)反函數(shù). .（證明略）（證明略）例如例如上單調(diào)增加且連續(xù)上單調(diào)增加且連續(xù)在在2,2sin xy上也是單調(diào)增加且連續(xù)上也是單調(diào)增加且連續(xù)在在故故1 , 1arcsin xy上上單單調(diào)調(diào)減減少少且且連連續(xù)續(xù)在在同同理理1 , 1arccos xy上上單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)在在),(cot,arctan xarcyxy【結(jié)論】【結(jié)論】反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù). .1. . 反函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 4).(lim)()(lim)(lim, )(,)(lim0000000 xgfu

4、fufxgfuufuxgxxuuxxxx 則有則有連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)若若【定理【定理3】【證】【證】,)(0連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)uuuf . )()(, 0, 000成成立立恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) ufufuu,)(lim00uxgxx 又又,0, 0, 00時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì)于于 xx2、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 5.)(00成立成立恒有恒有 uuuxg將上兩步綜合起來(lái)將上兩步綜合起來(lái): :,0, 0, 00時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) xx)()()()(00ufxgfufuf .成立成立 )()(lim00ufxgfxx ).(lim0

5、xgfxx 【注意】【注意】 本節(jié)本節(jié)定理定理3是是5定理定理6（復(fù)合函數(shù)求極（復(fù)合函數(shù)求極限的法則）的特例，外層函數(shù)由原來(lái)限的法則）的特例，外層函數(shù)由原來(lái)的極限的極限存在存在加強(qiáng)為加強(qiáng)為連續(xù)連續(xù)。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 6【意義】【意義】.)(. 1的理論依據(jù)的理論依據(jù)變量代換變量代換xu 【例【例1】.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 【解】【解】)(lim)(lim 200 xgfxgfxxxx 由由可知可知極限符號(hào)極限符號(hào) 可以與函數(shù)符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào) f 交換次序交換次

6、序; ;0limxx條件是：條件是：內(nèi)層函數(shù)極限存在、外層函數(shù)在對(duì)內(nèi)層函數(shù)極限存在、外層函數(shù)在對(duì) 應(yīng)點(diǎn)連續(xù)；則可交換次序應(yīng)點(diǎn)連續(xù)；則可交換次序. .同理同理xxax)1(loglim0 aln1 （即教材例（即教材例6）利用利用lnu的的連續(xù)性連續(xù)性機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 7【教材教材例例3】93lim 23 xxx求求【解】【解】932 xxy可視為由可視為由、 uy 932 xxu復(fù)合而成，復(fù)合而成，6193lim 23 xxx又又 61 連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)而而 uuy ) 0 lim 5 (0030 xxxxx已證已證例例則則93lim23 xxx93l

7、im23 xxx交交換換次次序序6661 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 8又如又如)arccos(lim2xxxx xxxxx 2arccoslim1111arccoslim xx1111limarccos xx21arccos 3 交換次序：交換次序：用用arccosu的的連續(xù)性連續(xù)性分子有理化分子有理化分離無(wú)窮小量分離無(wú)窮小量機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 9【例【例2】.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原原式式【解】【解】,1yex 令令),1ln(yx 則則. 0,0yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yyy10)1ln(1

8、lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx （即教材例（即教材例7 7）yyy10)1ln(lim1 交換次序交換次序eln1 yyy10)1(limln1 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 10.)(,)(,)(,)(00000也也連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)而而函函數(shù)數(shù)且且連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxxgfyuuufyuxgxxxgu 【定理【定理4】【注意】【注意】定理定理4是定理是定理3的特殊情況的特殊情況. .簡(jiǎn)言之：簡(jiǎn)言之：內(nèi)、外層函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)都連續(xù)，則復(fù)內(nèi)、外層函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)都連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)連續(xù)合函數(shù)連續(xù)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄

9、目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 11例如例如xy1sin 是由連續(xù)函數(shù)鏈?zhǔn)怯蛇B續(xù)函數(shù)鏈),(,sin uuy,1xu *R x因此因此xy1sin 在在*R x上連續(xù)上連續(xù) .復(fù)合而成復(fù)合而成 ,xyoxy1sin機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 12【關(guān)系】【關(guān)系】5 定理定理6：內(nèi)、外層函數(shù)內(nèi)、外層函數(shù)極限極限都都存在存在，則，則復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)極限存在極限存在.(.(敘述不嚴(yán)格敘述不嚴(yán)格) )本節(jié)定理本節(jié)定理3：內(nèi)層函數(shù)內(nèi)層函數(shù)極限存在極限存在、外層函數(shù)、外層函數(shù)加強(qiáng)為加強(qiáng)為連續(xù)連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)極限存在極限存在，且極限，且極限符號(hào)和函數(shù)

10、符號(hào)可符號(hào)和函數(shù)符號(hào)可交換次序交換次序. .本節(jié)定理本節(jié)定理4：內(nèi)、外層函數(shù)都加強(qiáng)為內(nèi)、外層函數(shù)都加強(qiáng)為連續(xù)連續(xù)，則復(fù)，則復(fù)合函數(shù)也合函數(shù)也連續(xù)連續(xù)（極限存在且等于函數(shù)值、極限極限存在且等于函數(shù)值、極限符號(hào)和函數(shù)符號(hào)可交換次序符號(hào)和函數(shù)符號(hào)可交換次序）. . 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 13三、初等函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的連續(xù)的. .（已證）（已證）)1, 0( aaayx指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在),()1, 0( log aaxya對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)內(nèi)單

11、調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在), 0( （指出但不詳細(xì)討論）（指出但不詳細(xì)討論）（由（由【定理【定理2】反函數(shù)的連續(xù)性可得）反函數(shù)的連續(xù)性可得）機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 14【定理【定理5】 基本初等函數(shù)在基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)定義域內(nèi)是連續(xù)的是連續(xù)的. . xy xaalog ,uay .log xua , ), 0(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 ,不不同同值值討討論論 ( (均在其定義域內(nèi)連續(xù)均在其定義域內(nèi)連續(xù) ) )定義區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域是指包含在定義域內(nèi)內(nèi)的區(qū)間的區(qū)間. .由由【定理【定理4】復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在基本初等函數(shù)在定義域

12、內(nèi)定義域內(nèi)連續(xù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算四則運(yùn)算仍連續(xù)仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)一切初等函數(shù)一切初等函數(shù)在在定義區(qū)間內(nèi)定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)【定理【定理6】 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 15見(jiàn)見(jiàn)高數(shù)學(xué)高數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)習(xí)指導(dǎo)P P8 注（注（3）1. .初等函數(shù)僅在其定義初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù), , 在其定義在其定義域內(nèi)域內(nèi)不一定連續(xù)不一定連續(xù); ;例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD在這些孤立點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)沒(méi)有定義在這些孤立點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)沒(méi)有定義. .,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0

13、0點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)沒(méi)有定義點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)沒(méi)有定義. . . ), 1 上連續(xù)上連續(xù)函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間【注意】【注意】【注意】【注意】2. .初等函數(shù)求極限的方法初等函數(shù)求極限的方法代入法代入法. .則既不是連續(xù)點(diǎn)也不是間斷點(diǎn)則既不是連續(xù)點(diǎn)也不是間斷點(diǎn)又如又如機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 16【例【例3】. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e【例【例4】.11lim20 xxx 求求【解】【解】【解】【解】)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定定義義

14、區(qū)區(qū)間間 xxfxfxx型型00有理化后消去有理化后消去0因子因子機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 17【教材教材例例8】xxxsin30)21(lim 求求【解【解】xxsin3)21( 6sin21)21( xxxxxxxxe21)21ln(sin6 由由定理定理3及極限運(yùn)算法則得及極限運(yùn)算法則得xxxsin30)21(lim xxxxxe210)21ln(sin6lim6e 【解【解】xxxsin30)21(lim )21ln(sin3 lim 0 xxxe 62sin3 lim 0eexxx ln(1+2x) 2x (x0)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下

15、頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 18【補(bǔ)充】【補(bǔ)充】,0)(lim 0 xuxx若若則有則有 )( )(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe )(1ln)(lim0 xuxvxx e )()(lim0 xuxvxxln1+u(x) u(x) (u(x)0)型型 1 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 19【一般地】【一般地】)1)(, 0)( )( )( xuxuxuxv形形如如的函數(shù)稱(chēng)為的函數(shù)稱(chēng)為冪指函數(shù)冪指函數(shù)若若0)(lim axubxv )(lim則則bxvaxu )()(lim【注意】【注意】. .lim表示自變量的同一變化過(guò)程中的極限表示自變量的同一變

16、化過(guò)程中的極限. .（是定式情況下成立）（是定式情況下成立）.不能分兩步寫(xiě)作：不能分兩步寫(xiě)作：)()(limxvxu)( limxva ba 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 20教材習(xí)題教材習(xí)題19 P69 第第2題題 解答解答 , )()( . 20證明函數(shù)證明函數(shù)點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)與與設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxgxf , )(),(max)(xgxfx )(),(min)(xgxfx . 0也連續(xù)也連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn) x【證明】【證明】 連連續(xù)續(xù)在在僅僅證證0 )(),(max)( xxxgxfx 0 xx 在在 點(diǎn)，有且僅有三種情形：點(diǎn)，有且僅有三種情形：);()( )1(

17、00 xgxf );()( )2(00 xgxf ).()( )3(00 xgxf ; )()( )1(00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xgxf )()(),(max)(0000 xfxgxfx 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 21又由假設(shè)又由假設(shè))()(lim , )()(lim0000 xgxgxfxfxxxx 故故)(lim)(lim00 xgxfxxxx 即即 0)()(lim0 xgxfxx由函數(shù)極限的局部保號(hào)性立知由函數(shù)極限的局部保號(hào)性立知 0 , 0 101時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx)1( 0)()( xgxf0)()( 00 xgxf又又也成立也成立式對(duì)式對(duì) )1( 0 xx 10

18、時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng) xx(2) )()(xgxf , ),( 10時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng) xUx 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 22連連續(xù)續(xù)在在又又 )( 0 xxxf , 0, 0 202時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx (3) )()(),(max)(xfxgxfx (4) )()(0 xfxf今取今取 21,min 4( 3 0）兩兩式式同同時(shí)時(shí)成成立立）（時(shí)時(shí)，則則當(dāng)當(dāng) xx故故 )()()()(00 xfxfxx此即此即)()(lim00 xxxx 則則 )(0點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)在在 xx 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 23 )1( )()( )2(00可可證證類(lèi)類(lèi)似似，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xgxf , )()( )3(00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xgxf )()()(000Axgxfx )()( 0可可知知點(diǎn)點(diǎn)的的連連續(xù)續(xù)性性在在、由由xxgxf，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) , 0101 xx Axf)(0 ，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) , 0202 xx Axg)( ,min 21 取取, 0時(shí)時(shí)則則當(dāng)當(dāng) xx上兩式同時(shí)成立上兩式同時(shí)成立 ),( )()()(0內(nèi)內(nèi)總總有有在在，還還是是取取取取此此時(shí)時(shí)不不論論 xUxgxfx A