連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性(7)課件

1、,)(),(0處處連連續(xù)續(xù)在在點點若若函函數(shù)數(shù)xxgxf00( )( )( ),( )( ),( ()0)( )f xf xg xf xg xg xxg x 都都連連續(xù)續(xù). .在在sin ,cos(,),xx 在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)tan, cot, sec , csc.xxxx 在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)( )xyf xI 如如果果在在上上單單調(diào)調(diào)增增加加且且連連續(xù)續(xù)，1( )( )yxfyIy yf x 反反函函數(shù)數(shù)也也在在對對應應區(qū)區(qū)間間，xxI 上上單單調(diào)調(diào)增增加加且且連連續(xù)續(xù). .sin,22yx在在上上連連續(xù)續(xù)單單調(diào)調(diào)遞遞增增，arcsin 1,1yx 在在也也連連續(xù)續(xù)單單調(diào)調(diào)遞遞

2、增增. .1122 sin xarcsin xxyoarccos 1,1.yx在在上上單單調(diào)調(diào)減減少少且且連連續(xù)續(xù)arctan,arccot,.yx yx 在在上上單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)(,)xye 指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)增增加加且且連連續(xù)續(xù)，ln(0,).yx 對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)增增加加且且連連續(xù)續(xù)lnyx xye xyo000lim( ),( ),xxg xuf uu 若若而而函函數(shù)數(shù)在在點點連連續(xù)續(xù)0 ( )limxxf g x 000lim ( )lim( )().xxuuf g xf uf u(1)( ).ug x 變變量量代代換換的的理理論論依依據(jù)據(jù)0lim (

3、)xxf g x0lim( )uuf u( )ug x 00 xxuu0lim( ).xxg xf0().f u 0log (1)lim.axxx 求求10limlog (1)xaxx 原原式式10log lim(1) xaxx例例1 解解: logae 1.lna 特別地特別地 . 1 10limln(1)xxx)1(limln10 xxx eln 0ln(1)limxxx 0,ln(1) .xxx10lim(1)exxx .1lim0 xexx 求求11.lne0limln(1)ttt 原原式式1,xet令令ln(1),xt 則則0,0.xt當當時時101limln(1)ttt 0,1 .

4、xxex.ln1lim0axaxx 10lim(1)exxx 1lim2 .xx求求11limlim22xxxx 021. 000( ),()ug xxxg xu 設設在在連連續(xù)續(xù) 且且，而而0( )yf uu 在在連連續(xù)續(xù)，0 ( )yf g xxx 在在也也連連續(xù)續(xù). . 0lim ( )xxf g x 0lim( )xxfg x0 ()f g x 0 ( ).fxx 故故復復合合函函數(shù)數(shù)在在連連續(xù)續(xù),), 0()0,(1內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xu,),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 uy.), 0()0,(1sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xy1sinyx ，xyo1sinyx (3)(0,1)(,).x

5、yaaa 指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)(4)log(0,1)(0,).ayx aa 對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù) xy lnxe ,uye ln .ux (5).yx 冪冪函函數(shù)數(shù)在在定定義義區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù),), 0(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 ,不不同同值值討討論論 21 1,1.yx 的的連連續(xù)續(xù)區(qū)區(qū)間間為為lnsin(2 ,(21) ,Z.yxnnn 的的連連續(xù)續(xù)區(qū)區(qū)間間為為, 1cos xy:0,2 ,4 ,D x 定定義義域域,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及.), 1上連續(xù)上連續(xù)函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間00lim( )()xxf xf x 0( )f xx 若若為為初初

6、等等函函數(shù)數(shù)，定定義義區(qū)區(qū)間間，則則例例4 解解: 2limlnsin .xx 求求2limlnsinxx lnsin2 0. 例例5 解解: .11lim20 xxx 求求20( 11)limxxx 原原式式11lim20 xxx20 . 0 220lim( 11)xxxx -. .2( 11)x2( 11)x 3sin0lim(12 ).xxx 求求1 型型lneaa 對對數(shù)數(shù)恒恒等等式式 原原式式0limx3ln(1 2 )sin0limexxx eu連連續(xù)續(xù)03ln(1 2 )limsinxxx 03 2limexxx 6e . 00(1)lim ( )0, lim ( ),xxxxu

7、 xv x 若若則則有有 0( )lim1( )v xxxu x e 0lim ( )ln 1( )xxv xu x ()ln 1( )ev xu x 3sinln(1 2 )exx 0limxxe ln(1 2 ) 2xx sinxx0 x(2)冪冪指指函函數(shù)數(shù)的的極極限限求求法法：()0lim ( )( ( )0, ( )1)v xxu xu xu x 形形如如，lim ( )0,lim ( )u xav xb 若若，( )0lim ( ).v xbxu xa 3sin0lim(12 )xxx 6e . 120lim(12 )e0 xxx ，06lim6sinxxx ，10lim(1)ex

8、xx 120lim(12 )xxx6sinxx 120lim (12 )xxx = =6sinxx10(1)lim(1sin ) .xxx 求求 原原式式e. 1sin0lim(1sin )e0 xxx ，0sinlim1xxx ，10(2) lim(cos ).xxx22cos11cos10lim 1(cos1)xxxxx 原原式式10lim(1)exxx 12e. 1sin0lim(1sin )xxx sinxx 1sin0lim (1sin )xxx = =sinxx( )( ),( )f xxfxf xx若若在在連連續(xù)續(xù)，問問在在是是否否連連續(xù)續(xù)？200 , 0, 1)(是是無無理理數(shù)

9、數(shù)時時當當是是有有理理數(shù)數(shù)時時當當xxxDy( )( ),( ).f xfxf x處處處處間間斷斷，處處處處連連續(xù)續(xù)2上上單單增增、連連續(xù)續(xù)。在在相相應應的的區(qū)區(qū)間間要要證證明明其其反反函函數(shù)數(shù)上上單單增增、連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間設設yxIyfxIxfy)(,)(1 )()(, 0011,0yfyfIyy要要使使對對 )()()(01101yfyfyf即即)()()(01101 yffyffyff)()(00 xfyxf只只要要00000)()(yxfyyyxf 只只要要)(),(min(0000yxfxfy 取取.)()(0110 yfyfyy時時，就就有有當當0(),of gU xD ( )( )( )yf g xug xyf u 設設由由與與復復合合而而成成，00lim( ),xxg xu 若若0( )yf uu 而而在在連連續(xù)續(xù)，000lim ( )lim( )()xxuuf g xf uf u 0(