云飛專(zhuān)升本級(jí)數(shù)部分答案

1、第五講 向量代數(shù)、級(jí)數(shù)、微分方程試題分析（一） 空間向量和空間解析幾何重點(diǎn)關(guān)注題目1、解：與y軸平行的平面方程可設(shè)為.又過(guò)兩點(diǎn)和，故有代入可得等式，解得.所以所求的平面方程為.2、求過(guò)點(diǎn)并且平行于直線的直線方程。（講義上題目印刷錯(cuò)誤）解：由題意易知，所求直線的方向向量為，又過(guò)點(diǎn)P，所以直線方程為.3、解：由題意易知，所求平面的法向量就是已知直線的方向向量，即，又過(guò)點(diǎn)P，所以所求平面的方程為即.4、解：已知平面的法向量為，所以過(guò)點(diǎn)P，并且與已知平面垂直的直線方程可寫(xiě)為.則該直線與平面的交點(diǎn)為：，解得.故P點(diǎn)在平面上投影點(diǎn)的坐標(biāo)為.5、解：平面的法向量為，直線的方向向量為，所以，.故直線和平面的夾

2、角為.6、解：直線的方向向量.對(duì)直線方程，令，可得，解得，故直線過(guò)點(diǎn).從而可得直線的對(duì)稱式方程為，相應(yīng)的參數(shù)方程為.7、解：平面與直線L的交點(diǎn)即解方程組：，可解得.故直線與平面的交點(diǎn)為.8、解：曲線在xOy面上的投影曲線方程需要消去z，可有.所以投影曲線方程為.（二）無(wú)窮級(jí)數(shù)重點(diǎn)關(guān)注題目1、解：，所以收斂半徑.當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)化為，該級(jí)數(shù)與同斂態(tài)，故是收斂的；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)化為，是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，滿足萊布尼茨定理，故是收斂的。所以所求級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為.2、解：，所以收斂半徑.當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)化為，是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，滿足萊布尼茨定理，故收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)化為，是時(shí)的p級(jí)數(shù)，故是發(fā)散的。所以所求級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為.3、解：令，則

3、級(jí)數(shù)可化為標(biāo)準(zhǔn)形式.，所以收斂半徑.當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)化為，顯然是發(fā)散的；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)化為，是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，滿足萊布尼茨定理，故是收斂的。所以級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為，從而有，即.故原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為.4、解：令，則級(jí)數(shù)可化為標(biāo)準(zhǔn)形式.，所以收斂半徑.當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)化為，顯然是收斂的；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)化為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，是收斂的。所以級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為.從而有，即.故原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為.5、解：該冪級(jí)數(shù)是缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù)。，所以收斂半徑.故該級(jí)數(shù)的收斂半徑為.6、解：這是缺項(xiàng)的非標(biāo)準(zhǔn)形式的冪級(jí)數(shù)。令，則級(jí)數(shù)可化為標(biāo)準(zhǔn)形式.，當(dāng)即時(shí)，級(jí)數(shù)是收斂的；當(dāng)即時(shí)，級(jí)數(shù)是發(fā)散的；當(dāng)即時(shí)，級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為，顯然都是發(fā)散的。故級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為.從而，即，故原

4、級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?7、解：，所以收斂半徑.當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)化為，顯然是發(fā)散的；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)化為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，滿足萊布尼茨定理，故是收斂的。所以該級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為.根據(jù)冪級(jí)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)展開(kāi)式可知：，即其和函數(shù)為.又.8、解：，9、解：，.10、解：，.11、解：，.12、解：令，則，所以，.13、解：令，則，所以，.14、解：，.15、解：，.16、解：，因?yàn)槭鞘諗康?，是絕對(duì)收斂，也是收斂的，所以原級(jí)數(shù)是收斂的。17、解：，由根值判別法，可知該級(jí)數(shù)是收斂的。18、解：，由比值判別法，可知該級(jí)數(shù)是發(fā)散的。19、解：，又級(jí)數(shù)是收斂的，根據(jù)比較判別法的極限形式，可知級(jí)數(shù)是收斂的。20、解：，又正項(xiàng)級(jí)數(shù)是收斂的，所以級(jí)數(shù)

5、是絕對(duì)收斂的。21、解：，又，且正項(xiàng)級(jí)數(shù)是收斂的，所以級(jí)數(shù)也是收斂的，故有級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的。22、解：，又，又正項(xiàng)級(jí)數(shù)是收斂的，所以級(jí)數(shù)也是收斂的，從而是絕對(duì)收斂的。23、解：，又，因?yàn)榧?jí)數(shù)是發(fā)散的，根據(jù)比較判別法的極限形式，可知級(jí)數(shù)是發(fā)散的。而對(duì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō)，滿足萊布尼茨公式，故是收斂的。綜上可知，級(jí)數(shù)是條件收斂。（三）常微分方程重點(diǎn)關(guān)注題目1、解：原方程可變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形式，這是可分離變量的方程，方程可化為，即，兩邊同時(shí)積分有，即，也就是.原方程的解為.2、解：原方程可變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形式，這是可分離變量的方程，方程可化為，兩邊同時(shí)積分有即是原方程的解。3、解：原方程可變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形式，這是一階非齊次線性微

6、分方程，對(duì)應(yīng)的齊次方程為，該其次方程對(duì)應(yīng)的通解為.令是對(duì)應(yīng)的非齊次的解，代入有，所以有，即，所以原方程的通解為.4、解：原方程可變形為.該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為，即，兩邊同時(shí)積分可得通解為.令為非齊次的通解，代入原方程有，所以，.故原方程的通解為.將代入可得，所以滿足初始條件的特解為.5、解：原方程可變形為.該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為，即，兩邊同時(shí)積分可得通解為.令是原方程的通解，代入可得，即，所以，故原方程的通解為.6、解：原方程可變形為.該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為，即，兩邊同時(shí)求積分可得通解為.令是原方程的通解，代入可得，即，所以.故原方程的通解為.7、解：由題意可知：，變形為.該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程

7、為，即，兩邊同時(shí)積分有.令是原方程的通解，代入可得，即，所以.故原方程的通解為.曲線過(guò)點(diǎn)，代入通解可得，所以曲線的方程為.8、解：由題意可知：，變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形式是.該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為，即，兩邊同時(shí)積分可得通解.令是原方程的通解，代入可有，即，所以.故原方程的通解為.9、解：該二階常系數(shù)線性微分方程對(duì)應(yīng)的特征方程為，解得，.故該方程對(duì)應(yīng)的通解為.又，代入通解可有：，解得，故對(duì)應(yīng)的特解為.10、解：該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為，特征方程為，解得，故對(duì)應(yīng)的通解為.非齊次方程的特解可設(shè)為，代入原方程，可得，.即特解為.故方程的通解為.11、解：該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為，特征方程為，解得，故對(duì)應(yīng)的通解為.非齊次方程的特解可設(shè)為，代入原方程，可得，即特解為.故方程的通解為.12、解：該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為，特征方程為，解得，故對(duì)應(yīng)的通解為.非齊次方程的特解可設(shè)為，代入原方程可得，即特解為.故方程的通解為.13、解：該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程