利用構(gòu)造函數(shù)解決高考導(dǎo)數(shù)大題

1、利用構(gòu)造函數(shù)解決高考導(dǎo)數(shù)大題導(dǎo)數(shù)大題是全國(guó)各地的高考試卷中必考的一道壓軸題，主要考查利用導(dǎo)數(shù)討論原 函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，通過討論將問題轉(zhuǎn)化為最值問題，著重考查學(xué)生的分 類討論思想，對(duì)分類討論的原因和討論流程的要求較高。解題的關(guān)鍵在于討論之 后如何將問題精準(zhǔn)地轉(zhuǎn)化為最值問題，以得到我們所需的式子或結(jié)果。導(dǎo)數(shù)問題 的難點(diǎn)在于分類討論和最值轉(zhuǎn)化，通常在進(jìn)行分類討論或者轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問 題之前，函數(shù)形式或者可轉(zhuǎn)化為函數(shù)形式的式子比較復(fù)雜，因此我們需要進(jìn)行相 應(yīng)的構(gòu)造函數(shù)工作，把函數(shù)形式變得更加簡(jiǎn)單，其中最重要的就是函數(shù)形式轉(zhuǎn)換 的工作，本文把利用構(gòu)造函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問題這類題型進(jìn)行了總結(jié)，如下：-,

2、直接作差構(gòu)造函數(shù)問題涉及兩個(gè)函數(shù)，但只有一個(gè)變量,通常直接構(gòu)造函數(shù)秋%) = "X)-g(x)求最值已知函數(shù)f(x) - nx,g(x) = -(a > 0)若3Vx£(O,e,都有f(x)Ag(x) +不，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.【思考過程】在這個(gè)問題中，我們需要證明不等式成立，實(shí)質(zhì)就是證明不等式移項(xiàng)之后的式子成立.由題意，Vjcg(05c,都有 3/(x)>g(x) + -，這里不等號(hào)兩邊為同f 21變量，可直接作差構(gòu)造函數(shù)來解決.3a 3【解】記 F(x) = /(x)- g(x)- = lnx + - 2x 2只要尸在(0, e上的最小值大于等于0即可.1a

3、x a工 犬 X則FxF(x)隨x的變化情況如下表:X(0,a)F(x)產(chǎn)a(a, +oo)0+值Z當(dāng)a之c時(shí)，函數(shù)戶(%)在(。2)上單調(diào)遞減，F(xiàn)(e)為最小值/所以尸8) = 1+三5之。， e 2得所以當(dāng)夕< e時(shí)，函數(shù)戶(%)在(。山)上單調(diào)遞減,在(凡c)上單調(diào)遞增，F(xiàn)Q)為最小值，所以a 3F(a) = lnt7H> 0 j 彳導(dǎo).a 2所以五W a <e.綜上,a > >Je ,【變式練習(xí)1】已知函數(shù)到="a:2 +ln 的 2求證：在區(qū)間（L+8）上，函數(shù)/'（不）的圖象在函數(shù)g（x） = 1x3的圖象的下方.【方法總結(jié)】在導(dǎo)數(shù)問

4、題中，這類題型是最一般的情況.如果要證明涉及f變量、兩 個(gè)函數(shù)的不等式成立，或者不等式可轉(zhuǎn)化為利 用一個(gè)函數(shù)來證明，可通過移項(xiàng)構(gòu)造一個(gè)新的 函數(shù)來解決，關(guān)鍵是對(duì)于如練習(xí)中所描述的某 函數(shù)圖象恒在另一個(gè)函數(shù)圖象的上方或者下方, 或者函數(shù)圖象與某直線無交點(diǎn)（即函數(shù)圖象恒 在某直線的上方或下方）等進(jìn)行正確的條件轉(zhuǎn) 化.二.分離函數(shù)構(gòu)造函數(shù)當(dāng)要證明的不等式兩邊含有有理函數(shù)和超 越函數(shù)的乘積或商的形式時(shí)，我們需要把這兩 種形式的函數(shù)分離之后再來研究，這樣在解決 具體問題時(shí)，對(duì)于超越函數(shù)的性質(zhì)研究和求取 最值就會(huì)變得簡(jiǎn)單.f例2.(2014 課標(biāo)全國(guó)I理)設(shè)函數(shù)f (x) : aex ln% + ，曲線y

5、 = f (x) X在 點(diǎn)處的切 線方程y =戌3-1)+2.(1)求生方;(2)證明：【思考過程】對(duì)于第(2 )問，如果我們按照常規(guī)的思路直接對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后求函 數(shù)的最值，會(huì)發(fā)現(xiàn)幾乎不可能在考試時(shí)有限的 時(shí)間內(nèi)完成，所以就需要及時(shí)調(diào)整思路，改變 思考方向.我們對(duì)式子進(jìn)行處理，將超越函數(shù) "和lux分開，將，和有理函數(shù)工分開，這 2樣f(x)>l就等價(jià)于工In尤> xex. eS )【解】1 = 1,6 = 2.(2)【證明】設(shè)g(%)=%lnx，則 g'(%)=l + ln% ,當(dāng)xe(O)時(shí)，e1g(x) <0 F當(dāng)e (, +8)時(shí),g'

6、(x) >0 e11故g(x)在(0,一)單調(diào)遞減在(1+8)單調(diào) ee遞增，從而g(x)在(0,+8)的最小值為1 1g一 2.設(shè)(無)=xe x 則"(x) -.e當(dāng) g (0,1)時(shí)，h'(x) > 0，當(dāng) x g Q +<x)時(shí)，hf(x) < 0 ,從而力(無)在(0,+吟最大1值為ND = -e因此g(x)與h(x)極值點(diǎn)不相同且g(x)函 數(shù)圖象恒在力(x)函數(shù)圖象的上方.綜上，當(dāng)工 > 0 時(shí)，g(x) > h(x),即/(x)>l.【變式練習(xí)2( 2013北京文)設(shè)/為曲線= g在點(diǎn)(1,0)處的切線. X(1)求/

7、的方程;(2)證明：除切點(diǎn)(L。)之外，曲線C在直線/的下方.【變式練習(xí)3】已知函數(shù)/(九)二一.(1 )若曲線y= /'(尢)在點(diǎn)(%"(演)處的切線方程為oxy = 0,求/的值； (2 )當(dāng)工> 0時(shí)j求證：/(%)>%.Q【方法總結(jié)】我們?cè)谘芯窟@樣的不等式時(shí), 往往需要對(duì)函數(shù)的形式進(jìn)行處理r先把不等式 兩邊含有有理函數(shù)和超越函數(shù)的乘積或者商的 這兩種形式分離，然后再研究函數(shù)的性質(zhì).對(duì) 于高中而言，常見的超越函數(shù)和有理函數(shù)之間 的疊加主要有以下幾種：(1)y =(2)y = %ln 無，"In %上一.(4)7 =xxXX(5)y = f (6)

8、y =- 色人in x7'/蔡In xx2當(dāng)遇到這類函數(shù)時(shí)應(yīng)優(yōu)先使用分離策略,即短巴不等式兩邊含有有理函教和超越函數(shù)的 乘積或者商的形式分離，簡(jiǎn)化函數(shù)的形式，再 進(jìn)行5開究三.從導(dǎo)函數(shù)特征入手構(gòu)造厚 函數(shù)對(duì)于條件中出現(xiàn)的獷'(x)+/(x)，很明顯能得到它是燈(X)的導(dǎo)數(shù)，于是通過構(gòu)造函數(shù)F(x):對(duì)'(x)，旗求導(dǎo)即可完成解題.若題目中的條件改為+(x) > f (x)則移項(xiàng)后#'(尢)-八)，這時(shí)應(yīng)通過構(gòu)造商的 導(dǎo)數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.這些形式不僅局限于這些，還是 有一些其他形式的導(dǎo)函數(shù)也可以做一些這樣的 轉(zhuǎn)化，總物下:(-)關(guān)系式為“加型(1) %)o ,構(gòu)造

9、上了(切=/(/<%) +1(%);(2 )+> 0 ,構(gòu)造獷(x) = (x) + /(x);(3) xff(x) + Ff(x)>0 ,構(gòu)造乃了=xn ff+ nxnx f (x)=/T /（X）+ 始（X）（注意對(duì)X的符號(hào)進(jìn)行討論）.（二）關(guān)系式為“減"型（1 ）尸（工）工）之0 r構(gòu)造!"/(尢) /，(尢)/一/，(尢)上(尢)丁 (Ty -(2 ) xfr (?) - F ( x)之 0 ,構(gòu)造_寸（兀）/（%）;(3) xffx)-nf(x)>0，構(gòu)造_ x“jT(x) 一次-1/3 _ V(x)一療«+1%（注意對(duì)工的符號(hào)進(jìn)

10、行討論）.若函數(shù)，在A上可導(dǎo)且滿足不等式/(x) + x)>0恒成立且常數(shù)a力滿足 a>6 ,求證：af (a) > bf (7?).【證明】由已知切'(x) + f(x)>0 ,構(gòu)造函數(shù)尸(X)= xf(x) f貝 U F '(x)= xf'(%) + fM > 0 ,從而 F(x)在R上為增函數(shù).a> b rF(a) > F(b),即叭G>bf(b).【變式練習(xí)4】設(shè)/(%), g(x)是火 上的可導(dǎo)函數(shù)，/g'(%)分別為 /(%), g(x)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足 /''a)g(x)+，(x)g&

11、#39;(x)<o ,則當(dāng) acxcZ?時(shí)，有()A /(%)*>/(b)gB. /(x)g()>/(£?)g(x)c Fg(x)F0)g(b)D-(b)g(a)【變式練習(xí)5】已知函數(shù)了(%)為定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且1(%) < -'0)對(duì)于任 意力 £ R恒成立，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則()A. /穌0% /(2013)<°13-/(0)B. /。)<“、/(2013)>，。"C2013)>e叫/D- /(l)<e./(O), 2013)<產(chǎn)3./【變式練習(xí)61已知函數(shù)/(x)為定義在

12、R上的可導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為fx)，當(dāng) > 0時(shí)，.且/=1 ,若存在eR+ ,使/(x) = x2,求無的值.【方法總結(jié)】我們總結(jié)了以上的導(dǎo)數(shù)形式 進(jìn)行轉(zhuǎn)化，總體的目標(biāo)是構(gòu)造已有的函數(shù)來取 代題目中比較復(fù)雜的式子，以得到我們所需要 的形式方便解題.換元法構(gòu)造函數(shù)證明設(shè)函/(x) = ln%_d（以七五）.(1 )Ve(0,+oo) J(x)單調(diào)遞增 求。的范圍；(2 ) % % £相 > N ,求證:m-n m + n<Inm-lnw 2.【思考過程】對(duì)于第（2）問的證明，要證m-nm + n ,上4在川上/ 、 . x1< ,（考慮到/二lnxq lnm-h/

13、i 2x+1式子左邊形式的分子和右邊的分子可以通過相 除得到我們題干中構(gòu)造的形式，因此我們通過m 、 m 、1F 1車?；弥罥）即證22, n_.4 2(1)【解】小)二=(飛廠(x +1) x2 + (2 2<2)x +1x(x + l)2x(x + V)2' 因?yàn)?（無）在（。，+8）上為單調(diào)增函數(shù),所以尸(x) 2 0在(0,+s)上恒成立,即x2 +(2-2«> + 1> 0在(018)上恒成立,當(dāng)xw(O,+s)時(shí)，由x? + (22a)x +10 ,彳導(dǎo) 2。- 2Vx T. x設(shè) g(x) = x+1，X£(0,+8),X則就兀)=

14、芯+工二2.卜工二2，當(dāng)且僅當(dāng)x N x% =!即x = 1時(shí)，g(x)有最小值2 , X所以2a 2V2，解得a2，所以的取值范圍是(一*2.m 、 m 、1 F 1(2 )【證明】只需證林 j 成立即可， <1心2n/ 2 -1即證In2n即證In竺-nI& /m ,+ 1nm 、)2 -1_>0,m .+ 1Y1這樣布導(dǎo)到了所需要的形式.令巴 =X，設(shè)。(x) = 山一&n,x + 1由（1 ）知力（%）在（1，+8）上是單調(diào)增函數(shù).m .又一>1 ,所以h n(%)人(1) = 0 ,即h-一2>0成立，得到n +1/二;_<竺2，這樣的我

15、們就利用換Inm-lnn 2元將兩個(gè)變量的形式轉(zhuǎn)化為了一個(gè)變量的形 式.通過證明單變量函數(shù)證明了這個(gè)不等式.【變式練習(xí)7）（ 2007山東高考）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n ,不等式Ind+1） >都成立.【方法總結(jié)】在證明類似問題時(shí)需要抽象 出變量，然后利用換元，將整數(shù)變量的形式轉(zhuǎn) 化為 f 函數(shù)的自變量的形式.五.消參換元構(gòu)造函數(shù)在證明不等式中的某一步時(shí)，當(dāng)遇到式子比較復(fù)雜的情況，我們可以在其中的一步通過 構(gòu)造新的函數(shù)自變量來替代較為復(fù)雜的參數(shù), 以達(dá)證明的目的., 例5已知函數(shù)f= fx2 + 2x + a,x<0，其中是實(shí)數(shù),In & x > 0設(shè) A(xf(x)y

16、B(x27f(x2)為該函數(shù)圖 象上的兩點(diǎn)，且不馬（1）求函數(shù)/（工）的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)了（叼的圖象在點(diǎn)4 8處的切線互相垂直，且/ <0，求% 一看的最小值;（3）若函數(shù)/（X）的圖象在點(diǎn)4 5處的切線重合，求。的取值范圍.【解】（1）函數(shù)一（%）的單調(diào)區(qū)間為（-肛-1）, 單調(diào)遞增區(qū)間為-L。），（a+g）.（2 ）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，點(diǎn)Z處的切線 斜率為fg，點(diǎn)B處的切線斜率為 又當(dāng)點(diǎn)/處的切線與點(diǎn)8處的切線垂直時(shí)有尸區(qū)）/'（）=-1.當(dāng)x<0時(shí)，對(duì)函數(shù)/（X）求導(dǎo),得fx） = 2x+2.因?yàn)?x1 < x2< 0,所以（2x1 + 2）（2x

17、2 +2） = -L所以 2占+2 <0,2% + 2>0.因此 馬 維=一 （2 演 + 2） + 2x2 + 2之J-（2再 + 2） （2三 + 2） = 1 ，當(dāng)且僅當(dāng)（2 玉 + 2）=2 + 2 = 1.31即/=一萬(wàn)且%2 =-5時(shí)等號(hào)成立.所以，函數(shù)7（%）的圖象在點(diǎn)/ , B處的切線 互相垂直時(shí)1/ 一天的最小值為L(zhǎng)(3 )當(dāng)演 x 2 0或% 玉 0時(shí)，“西）。/'（電），故工1<0<%2 當(dāng)天<0時(shí),函數(shù)/（X）的圖象在點(diǎn)（工1，了（/）處的切線方程為 y ($2 + 2x1 + d) = (2$ + 2)(兀一修), 即y = (2

18、/+ 2)x 龍；+ a.當(dāng)馬 > 0時(shí)，函數(shù)“X）的圖象在（占J（%）處的切線方程為y-nxy = (x-x2),即 %1IIy x + lnx2 -1 -兩切線重合的充要條件是匚2±+ 2,V X?In匕_1 = 一廠+ a.由及維0。知，0v,v2. 工2由得 I a = In / + (1)? 12x= -ln+i(-2)2-l-芍 4工£在本題中，關(guān)于的形式較為復(fù)雜，我們構(gòu)造相應(yīng)的變量!二八令”工，則0<f<2 , X2X21 2且。=-f f Inf.41 ?設(shè)0)=F<2),4因?yàn)榱?#171;)=工=«iy 3 <0,

19、2 t 2t所以«)(0<lV2)為減函數(shù)，>A(2)=- In 2 - L而當(dāng)才£ (0,2)且趨近于0時(shí),久。無限增大，所以。的取值范圍是 (一 In 2 - L +8).故當(dāng)函數(shù)/(X)的圖象在點(diǎn)力fB處的切線重 合時(shí)，q的取值范圍是(In 2 L +8).【變式練習(xí)8】已知函數(shù)/(%)=依2 _云(以> 0 )和g (不)=In x的圖象有公共點(diǎn)P，且在點(diǎn)產(chǎn)處的切線相同.<1 )(1浩點(diǎn)尸的坐標(biāo)為一, 11求凡b的值;(2 )已知。=6 ,求切點(diǎn)尸的坐標(biāo).0【總結(jié)】構(gòu)造函數(shù)問題實(shí)質(zhì)上是對(duì)于導(dǎo)數(shù) 中的函數(shù)形式復(fù)雜或者變量個(gè)數(shù)和形式較為復(fù) 雜的原

20、因引起，我們通過轉(zhuǎn)換函數(shù)形式和變量 形式，通過一系列構(gòu)造轉(zhuǎn)換來得到較為簡(jiǎn)潔的 函數(shù)形式來得到我們需要的條件和結(jié)論.變式訓(xùn)練及答案-.直接作差構(gòu)造函數(shù)【變式練習(xí)已知函數(shù)/（%） = ；/求證：在區(qū)間（1，+8）上，函數(shù)“X）的圖像 在函數(shù)g（x） = |d的圖像的下方.【分析】函數(shù)八）的圖象在函數(shù)g（無）的圖象下方=不等式/（X） g（X）問題，1 2即一臺(tái)+111工/，只需證明在區(qū)間2 3_ 1?（L+8）上，恒有一M + lnxV成立，23設(shè)戶(X)= g(H) /(X), %£(L+8)，考慮到F(l)=工0 ,要證不等式轉(zhuǎn)化變?yōu)椋?當(dāng)1 1時(shí)，尸(工)戶(1),這只要證明： g

21、(x)在區(qū)間(1? +00)上是增函數(shù)即可.【證明】設(shè)下(無)=g(x)-/(x),同21F(x) = _%3 x2 - In a: j 貝J32Fx) = 2x2 -x1(x1)(2W 2 + %+1)%x當(dāng)了1時(shí), /，二gj空二±0。，從而F(x)在(L+co)上為增函數(shù),1 aF(x)>F(1)=->0.6.當(dāng)>1 時(shí)，g(x)-f(x)>0 r 即 f(x) < g(x)，故在區(qū)間Q 4W)上，函數(shù)/(x)的圖象在函數(shù)g(x)=-x3圖象的下方.二.分離函數(shù)構(gòu)造函數(shù)【變式練習(xí)2(201 3北京文)設(shè)/為曲線C：y 二也在點(diǎn)(1,0)處的切線.X

22、(1 )求/的方程;(2 )證明：除切點(diǎn)(1,0)之外，曲線。在直 線/的下方./【思考過程】針對(duì)2013年北京卷的這道高考題的第二問，由(1 )知/的方程為 In %y =%一 1 j要證明x-1 >.對(duì)于這樣的x超越函數(shù)和有理函數(shù)的分式型，我們先分離函 數(shù)(1 )【解】y = x-l.(2 )【證明】令= Inx(% > 0)，則./(%)在(0,1 )上單調(diào)遞減，在(1 ,+8)上單調(diào)遞增，又/（I） = 0 ,二當(dāng)為£（0）時(shí)，/（x） > 0，即In %,c x - 1 , x當(dāng)XE（L+8）時(shí)，/（無）>0，即In犬九一1 , x即除切點(diǎn)（1 ,

23、0）之外，曲線C在直線2的下 方.這樣，通過分離函數(shù)，我們就降低了本題 的證明難度.【變式練習(xí)3】已知函數(shù)/（# =，. JC（1）若曲線y = / （尢）在點(diǎn)處的切線方程為ax-y=O，求/的值;（2）當(dāng)%>0時(shí),求證：XX（1）【解】八%）= ：£-.因?yàn)榍芯€ax-y = Q過原點(diǎn)（0,0）,所以22解得：%=2.（2）【證明】設(shè)冢工）=止2 =；（光>0）, x x貝口 g，（刈=七苫）.令gG) = U(X；2x) = o，解得x = 2.JC4X在(0)+8)上變化時(shí)，g5)g(x)的變化情況如下表:%(0.2)2(2 , +8 )g'0+g(%)2 e

24、442所以當(dāng) = 2時(shí)，g(%)取得最小值J.所以當(dāng)X >。時(shí)，就有/(X)> X .三.從導(dǎo)函數(shù)特征入手構(gòu)造原函數(shù)【變式練習(xí)4】設(shè)x), g(x)是H上 的可導(dǎo)函數(shù)，/'(%), g'(x)分別為 /(x), g(x)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足 /(x)g(x) + /(x)g,(x)<0 ,則當(dāng) 時(shí)，有()A. x)g。)/gB. /(%)g(Q)>/(Q)g(無)C>f(b)gbD. 1(x)g(x)>/(6)g(a)【解析】構(gòu)造"(x)g(尤)二 /'(x)g(九)+'尸(x)g(%)+F(%)E(R)vo ,即r(x

25、)g(x) <0.又. ad,【答案】C【變式練習(xí)5】已知函數(shù)/(x)為定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且%) v/0)對(duì)于任 意尤£ R恒成立，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則()A，/(l)>e-/(O), /(2013)<e2013-/(0)B- /<e/(0)、/(2013)>e2013.7(0)C /"/、/(2013)產(chǎn)"(0)D /(l)<e-/(O)> /(2013)</?！蔽覀冃枰獦?gòu)造的是廣（兀）一了（工”。，構(gòu)造 F/mT _ r _ 尸（%）-/（x）【答案】C【變式練習(xí)6】已知函數(shù)“X）為定義在況上的可導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為了'（工）,當(dāng)% >0時(shí)j 2x) >/(x),且/=1 J若存在,使f(x) = f，求的值.X42(%)2/(x)【提示】構(gòu)造x3四.換元法構(gòu)造函數(shù)證明【變式練習(xí)7 （ 2007 山東高考）證 明：對(duì)任意的正整數(shù)n ,不等式In（4+ 1） n1 1 - 都成衛(wèi).n nr【分析】本題是山東卷的第（2 ）問，從所 證結(jié)構(gòu)出發(fā)，只需令L = % J則問題轉(zhuǎn)化為： n當(dāng)x 0時(shí)，恒有Infx+l） 尢2 -龍3成立,