第五章近代數(shù)學(xué)史

1、第五章 近代數(shù)學(xué)史1 中世紀(jì)的歐洲數(shù)學(xué) 公元511世紀(jì)，是歐洲歷史上的黑暗時期，直到12世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)才開始復(fù)蘇。 斐波那契（公元1170年至公元1250年）是第一位有影響的數(shù)學(xué)家。他的代表作算經(jīng)系統(tǒng)介紹了印度、阿拉伯?dāng)?shù)碼，對改變歐洲數(shù)學(xué)的面貌產(chǎn)生了很大的影響。算經(jīng)中的一個“兔子問題”，產(chǎn)生了著名的斐波那契數(shù)列。2 向近代數(shù)學(xué)過渡作準(zhǔn)備 代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生歐洲人在數(shù)學(xué)上的推進(jìn)是從代數(shù)學(xué)開始的，并拉開了近代數(shù)學(xué)的序幕。特別表現(xiàn)在三、四次方程求解和符號代數(shù)兩個方面。代表人物有：A 塔塔利亞（公元1499年至公元1557年）意大利數(shù)學(xué)家，給出了形如： 三次方程的代數(shù)解法B 費(fèi)羅（公元1465年至公元1526

2、年）波倫亞大學(xué)的數(shù)學(xué)教授，給出了形如： 三次方程的代數(shù)解法C 卡爾丹（公元1501年至公元1576年）學(xué)者，在其著作中公布了這些解法。并認(rèn)識到復(fù)根是成對出現(xiàn)的。D 邦貝利（公元1526年至公元1573年）意大利數(shù)學(xué)家，在其著作代數(shù)中引進(jìn)了虛數(shù)。E 吉拉德（公元1593年至公元1632年）荷蘭數(shù)學(xué)家在代數(shù)新發(fā)現(xiàn)中給出了著名的“代數(shù)基本定理”F 韋達(dá)（公元1540年至公元1603年）法國數(shù)學(xué)家，是數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)化的先驅(qū)和功臣。他使用的代數(shù)符號的改進(jìn)工作由笛卡兒完成。如：a，b，c表示已知量，x，y，z表示未知量。在方程方面有著名的韋達(dá)定理（方程的根與系數(shù)的關(guān)系）。 三角學(xué)的形成 在1450年前，三角

3、學(xué)主要是球面三角學(xué)，15、16世紀(jì)，德國人開始對三角學(xué)作新的推進(jìn)。編制了正弦表，給出了三角函數(shù)關(guān)系，并采用了6個函數(shù)：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。產(chǎn)生了三角恒等式。 在16世紀(jì)三角學(xué)從天文學(xué)中分離出來，成為一個獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支。 射影幾何學(xué)射影幾何學(xué)源于繪畫藝術(shù)中的透視學(xué)（法）。研究射影幾何學(xué)的數(shù)學(xué)家有： A 德沙格（公元1591年至公元1661年）法國數(shù)學(xué)家，在其著作試論錐面截一平面所得結(jié)果的初稿中引入70多個射影幾何術(shù)語，成為從數(shù)學(xué)上第一個解答透視法問題的人。 B 帕斯卡（公元1623年至公元1662年）法國數(shù)學(xué)家，在射影幾何學(xué)方面的成就是帕斯卡定理：圓錐曲線的內(nèi)接六邊形對邊交點(diǎn)共線

4、。 射影幾何產(chǎn)生后不久，就讓位于代數(shù)、解析幾何和微積分。 對數(shù)的發(fā)明 數(shù)值計(jì)算的需要導(dǎo)致了對數(shù)的發(fā)明。 納皮爾（公元1550年至公元1617年）蘇格蘭數(shù)學(xué)家在球面天文學(xué)的三角學(xué)研究中首先發(fā)明對數(shù)方法的。對數(shù)的發(fā)明大大減輕了計(jì)算工作量，很快風(fēng)靡歐洲。3 解析幾何學(xué)的誕生 近代數(shù)學(xué)的本質(zhì)上可以說是變量數(shù)學(xué)。而變量數(shù)學(xué)的第一個里程碑是解析幾何的發(fā)明。最重要的前驅(qū)是法國數(shù)學(xué)家奧雷斯姆（公元1323年至公元1382年）。但解析幾何的真正發(fā)明要?dú)w功于法國數(shù)學(xué)家笛卡兒和費(fèi)馬。 笛卡兒（公元1596年至公元1650年）1637年發(fā)表了著名的哲學(xué)著作更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論。在這本書的附錄幾何學(xué)中，

5、笛卡兒從一個著名的希臘數(shù)學(xué)問題帕波斯問題出發(fā)，系統(tǒng)闡述了解析幾何的理論，成為解析幾何的發(fā)明人。笛卡兒也是一位哲學(xué)家，他將其方法論作為發(fā)現(xiàn)真理的一般方法，稱之為“通用數(shù)學(xué)”，并概述了這種通用數(shù)學(xué)的思路。甚至提出一項(xiàng)計(jì)劃：任何問題數(shù)學(xué)問題代數(shù)問題方程求解。 笛卡兒堅(jiān)持用懷疑的態(tài)度進(jìn)行科學(xué)研究。他有一句哲學(xué)名言：“我思故我在”。 費(fèi)馬（公元1601年至公元1665年）1629年，在著作論平面和立體的軌跡引論一書中，清晰地闡述了他的解析幾何原理。并解析地定義了下面的曲線：直線方程： 圓： 橢圓： 拋物線： ， 雙曲線： ； 費(fèi)馬還定義了新曲線： ， 和 但是費(fèi)馬并沒有說明他的解析幾何思想是如何形成的。

6、4 微積分的創(chuàng)立及分析時代的成果解析幾何是代數(shù)與幾何相結(jié)合的產(chǎn)物。它將變量引進(jìn)了數(shù)學(xué)，使運(yùn)動與變化的定量表述成為可能，從而為微積分的創(chuàng)立打下了基礎(chǔ)。微積分發(fā)明之前，在科學(xué)研究上醞釀了近半個世紀(jì)，發(fā)生了許多重大事件： 德國天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開普勒（公元1571年至公元1630年）在1615年論述了圓錐曲線圍繞某直線旋轉(zhuǎn)而成的立體體積的積分法。1619年，公布了他的行星運(yùn)動三大定律。 意大利物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家伽利略（公元1564年至公元1642年）在1638年建立了自由落體定律、動量定律。 意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里（公元1598年至公元1647年）發(fā)展了系統(tǒng)的不可分量方法，即“卡瓦列里原理”。P147。

7、法國數(shù)學(xué)家笛卡兒（公元1596年至公元1650年）在幾何學(xué)中提出了求切線的所謂“圓法”，這種方法本質(zhì)上是一種代數(shù)方法。在推動微積分的早期發(fā)展方面有很大的影響，牛頓正是以這種方法為起跑點(diǎn)而踏上研究微積分的道路的。 法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（公元1601年至公元1665年）的求極大值與極小值的方法也可以用來求曲線的切線。 英國數(shù)學(xué)家巴羅（公元1630年至公元1677年）也給出了求曲線的切線的“微分三角形”法。巴羅是牛頓的老師，一位劍橋大學(xué)的數(shù)學(xué)教授。 英國數(shù)學(xué)家沃利斯（公元1616年至公元1703年）是最早將分析方法引入微積分的，具體體現(xiàn)在他的著作無窮算術(shù)中。他在研究四分之一單位圓的面積時，得到了的無窮乘積

8、表達(dá)式。這項(xiàng)工作直接引導(dǎo)牛頓發(fā)現(xiàn)了有理數(shù)冪的二項(xiàng)式定理。P154頁。16世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們的突出工作為微積分的發(fā)明鋪平了道路。時代的需要和個人的才識，使牛頓和萊布尼茲完成了微積分的創(chuàng)立中的最后也是最關(guān)鍵的一步。 牛頓的“流數(shù)術(shù)”牛頓（公元1642年至公元1727年）于1661年進(jìn)入劍橋大學(xué)三一學(xué)院，受教于巴羅。笛卡兒的幾何學(xué)和沃利斯的無窮算術(shù)對于他的數(shù)學(xué)思想的形成影響最深。正是這兩部著作引導(dǎo)牛頓走上創(chuàng)立微積分之路的。1664年，牛頓首創(chuàng)了小o記號表示x的無窮小且最終趨于零的增量。1665年11月，發(fā)明了“正流數(shù)術(shù)”（微分法）。1666年5月，又建立了“反流數(shù)術(shù)”（積分法）。1666年10月，寫出了

9、歷史上第一篇微積分論文流數(shù)簡論。但未發(fā)表。到1693年，又先后寫成了三篇微積分論文：運(yùn)用無限多項(xiàng)方程的分析（簡稱分析學(xué)1669年）；流數(shù)法與無窮級數(shù)（簡稱流數(shù)法1671年）；曲線求積術(shù)（求積術(shù)1691年）。1687年出版的力學(xué)名著自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理（簡稱原理）成為數(shù)學(xué)史上劃時代的著作。 萊布尼茲的微積分 萊布尼茲（公元1646年至公元1716年）德國數(shù)學(xué)家，早年在萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，同時接觸伽利略、開普勒、笛卡兒、帕斯卡和巴羅等人的數(shù)學(xué)思想。1667年獲阿爾特多夫大學(xué)法學(xué)博士學(xué)位。1672年1676年在巴黎任德國駐法國大使。從1672年開始，萊布尼茲將他對數(shù)列的研究與微積分的運(yùn)算聯(lián)系起來。用笛

10、卡兒的解析幾何研究曲線時，他發(fā)現(xiàn)：求切線不過是求差，求積不過是求和。他首先著眼于求和。在1675年10月29日的一份手稿中，他首次用符號表示sum。11月11日的手稿中，又引進(jìn)了記號表示兩相鄰x的值的差，并尋找運(yùn)算和d 運(yùn)算的關(guān)系，并給出了冪函數(shù)的微分和積分的公式（P169頁）。1677年，他在一份手稿中明確陳述了微積分基本定理。1684年萊布尼茲發(fā)表了他的第一篇微分學(xué)論文一種求極大與極小值和求切線的新方法（簡稱新方法）。這是數(shù)學(xué)史上第一篇正式發(fā)表的微分學(xué)文獻(xiàn)。其中定義了微分并使用了微分記號，。在新方法中，他陳述了1677年得到的函數(shù)和、差、積、商、乘冪與方根的微分公式（P171頁）。并包含了

11、在求拐點(diǎn)以及光學(xué)等方面應(yīng)用。1686年萊布尼茲發(fā)表了他的第一篇積分學(xué)論文深奧的幾何學(xué)與不可分量及無限的分析。在這篇積分學(xué)論文中，積分號第一次出現(xiàn)在印刷出版物上。萊布尼茲還是二進(jìn)制數(shù)制的發(fā)明人（1679年二進(jìn)制算術(shù)）。他也是制造計(jì)算機(jī)的先驅(qū)（1674年制成了第一臺做四則運(yùn)算的“算術(shù)計(jì)算機(jī)”）。萊布尼茲也是行列式的發(fā)明人（1693年）（P173頁）。 分析時代的成果 微積分的創(chuàng)立，被譽(yù)為“人類精神的最高勝利”。在數(shù)學(xué)史上，18世紀(jì)可以說是分析的時代，也是向現(xiàn)代數(shù)學(xué)過渡的重要時期。 微積分的發(fā)展 在英國和歐洲大陸，對微積分的發(fā)展起重大作用的代表人物有： 泰勒（公元1685年至公元1731年）英國數(shù)學(xué)

12、家，曾做過英國皇家學(xué)會的秘書，以泰勒公式的發(fā)現(xiàn)而著稱。 麥克勞林（公元1698年至公元1746年）英國數(shù)學(xué)家，著有流數(shù)論。 棣莫弗（公元1707年至公元1730年）英國數(shù)學(xué)家，有著名的棣(di)莫弗公式： （這個公式由歐拉明確地陳述） 上面的三位數(shù)學(xué)家都是牛頓微積分學(xué)說的維護(hù)者和繼承者。 雅各布·伯努利（公元1654年至公元1705年）和約翰·伯努利（公元1667年至公元1748年）則是萊布尼茲微積分學(xué)說的維護(hù)者和繼承者。 18世紀(jì)微積分最重大的進(jìn)步是由歐拉作出的。 歐拉（公元1707年至公元1783年）瑞士數(shù)學(xué)家，13歲進(jìn)入巴塞爾大學(xué)，受教于約翰·伯努利。他的科

13、學(xué)生涯是在俄國圣彼得堡科學(xué)院（公元1727年至公元1741年；公元1766年至公元1783年）和德國柏林科學(xué)院（公元1741年至公元1766年）度過的。 歐拉是歷史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家。他生前發(fā)表的著作與論文有560余種，死后留下了大量的手稿。1911至今，瑞士自然科學(xué)協(xié)會出版了歐拉全集70多卷（計(jì)劃84卷）。 歐拉在1748年出版的無限小分析引論，1755年發(fā)表的微分學(xué)和積分學(xué)（17681770）是微積分史上里程碑式的著作。其中，他引進(jìn)了一批標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)符號，如： 函數(shù)符號； 求和號； 自然對數(shù)底； 虛數(shù)單位 在18世紀(jì)推進(jìn)微積分及其應(yīng)用貢獻(xiàn)卓著的歐陸數(shù)學(xué)家中，還有法國學(xué)派，代表人物有： 克萊洛（

14、公元1713年至公元1765年）； 達(dá)朗貝爾（公元1717年至公元1783年）； 拉格朗日（公元1736年至公元1813年）； 蒙日（公元1746年至公元1818年）； 拉普拉斯（公元1749年至公元1827年）； 勒讓德（公元1752年至公元1833年）。 這一時期，微積分的深入發(fā)展表現(xiàn)在以下幾個主要方面：A 積分技術(shù)與橢圓積分（不能用已知的初等函數(shù)表示）（法尼亞諾，歐拉，拉格朗日和勒讓德及阿貝兒、雅可比）。B 微積分向多元函數(shù)的推廣尼古拉·伯努利（公元1687年至公元1759年）證明了公式： （，符號由雅可比創(chuàng)立） C 無窮級數(shù)理論（P181184頁） D 函數(shù)概念的深化函數(shù)概念

15、是萊布尼茲首先使用，最先將其公式化的是約翰·伯努利，而歐拉在無限小分析引論中明確宣布：“數(shù)學(xué)分析是關(guān)于函數(shù)的科學(xué)”，并給出了函數(shù)的定義。他還區(qū)分了代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)。18世紀(jì)最重要的超越函數(shù)有函數(shù)（名稱和記號是勒讓德后來在1811年給出的）和函數(shù)。歐拉在1771年給出這兩個函數(shù)之間的關(guān)系： 在18世紀(jì)，已有的初等函數(shù)被推廣到復(fù)數(shù)領(lǐng)域。歐拉在無限小分析引論中還發(fā)表了著名的公式： E 微積分嚴(yán)格化的嘗試牛頓和萊布尼茲的微積分是不嚴(yán)格的（尤其是無限小概念）。18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家則力圖以代數(shù)化的途徑來克服微積分基礎(chǔ)的困難，代表人物是達(dá)朗貝爾、歐拉和拉格朗日。 微積分的應(yīng)用和新分支的形成 18世紀(jì)

16、的數(shù)學(xué)家們一方面努力探索使微積分嚴(yán)格化的基礎(chǔ)，一方面大膽擴(kuò)展微積分的應(yīng)用范圍，形成了一系列新的數(shù)學(xué)分支。 A 常微分方程常微分方程是伴隨著微積分一起發(fā)展起來的。1690年雅各布·伯努利提出了有名的懸鏈線問題。（P188頁）解一階常微分方程的所謂“積分因子法”，先后由歐拉和克萊洛提出。歐拉在1743年給出了n階常系數(shù)線性齊次方程的完整解法，并指出：n階方程的通解是其n個特解的線性組合。他是最早區(qū)分“通解”與“特解”的數(shù)學(xué)家。18世紀(jì)常微分方程求解的最高成就是拉格朗日在17741775年間用參數(shù)變易法解出了一般n階變系數(shù)非齊次常微分方程。 B 偏微分方程微積分對弦振動等力學(xué)問題的應(yīng)用則引

17、導(dǎo)到另一門新的數(shù)學(xué)分支-偏微分方程。開始于達(dá)朗貝爾1747年發(fā)表的論文張緊的弦振動時形成的曲線研究，明確導(dǎo)出了弦的振動所滿足的偏微分方程： 并給出了通解： 及初始條件 之后，歐拉在1749年也發(fā)表了論弦的振動。18世紀(jì)的另一類偏微分方程是位勢方程：通稱“拉普拉斯方程” 拉格朗日、拉普拉斯、勒讓德并稱為“巴黎三L”。拉普拉斯有一句名言：“我們知道的，是很微小的；我們不知道的，是無限的?！?C 變分法變分法起源于“最速降線”和其他一些類似的問題（P193頁）。這個問題最早由約翰·伯努利提出向其他數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn)。牛頓給出了解答：擺線。變分法處理的是一個全新的課題。變分的概念由拉格朗日首創(chuàng)，用記

18、號表示。 18世紀(jì)的幾何與代數(shù)分析方法的應(yīng)用開拓出一個嶄新的幾何分支-微分幾何。 A 微分幾何的形成歐拉是微分幾何的重要奠基人。他關(guān)于曲面論的經(jīng)典工作關(guān)于曲面上曲線的研究（1760年）被認(rèn)為是微分幾何史上的一個里程碑。18世紀(jì)微分幾何的發(fā)展由于蒙日的工作而臻于高峰。 B 方程論及其他18世紀(jì)代數(shù)學(xué)的主題仍然是代數(shù)方程。這世紀(jì)的最后一年（1799年），年青的高斯公布了代數(shù)基本定理（n次代數(shù)方程恰有n個根）的第一個實(shí)質(zhì)性證明。瑞士數(shù)學(xué)家克拉默（公元1704年至公元1752年）在代數(shù)曲線分析引論（1750年）中提出了線性代數(shù)方程組解的表達(dá)式法則，即“克拉默法則”。法國數(shù)學(xué)家范德蒙德（公元1735年至

19、公元1796年）在1772年的研究中，使行列式成為獨(dú)立的數(shù)學(xué)對象，因此被認(rèn)為是行列式理論的奠基人。歐拉在1737年證明了是無理數(shù)。蘭伯特在1761年證明了是無理數(shù)。之后，數(shù)學(xué)家們將無理數(shù)區(qū)分為代數(shù)數(shù)和超越數(shù)。1873年和1882年，法國數(shù)學(xué)家埃爾米特和德國數(shù)學(xué)家林德曼分別證明了和的超越性。 C 數(shù)論進(jìn)展近代意義的數(shù)論研究是從費(fèi)馬開始的。他提出的一堆定理（猜想），讓數(shù)學(xué)家們忙碌了好幾個世紀(jì)。如：費(fèi)馬小定理；費(fèi)馬大定理等等。18世紀(jì)的數(shù)論研究都和這些定理有關(guān)。（P201204頁）。不過，18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們也提出了自己的猜想，著名的有：德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫（公元1690年至公元1764年）猜想（174

20、2年提出）。英國數(shù)學(xué)家華林（公元1734年至公元1798年）猜想（1770年提出）。其中，華林猜想1909年由希爾伯特首次證明，哥德巴赫猜想至今沒有徹底解決。18世紀(jì)的數(shù)論還有兩個深刻的工作：1737年，歐拉導(dǎo)出了恒等式： 其中 s>1，n取遍所有的正整數(shù)，p取遍所有的素?cái)?shù)。歐拉利用這一恒等式證明了：素?cái)?shù)的個數(shù)是無窮的。這個恒等式是解析數(shù)論的開端。1743年，歐拉發(fā)現(xiàn)了二次互反律，從而開啟了數(shù)論的一個新領(lǐng)域-代數(shù)數(shù)論。5 代數(shù)學(xué)的發(fā)展與幾何學(xué)的變革從17世紀(jì)初開始，數(shù)學(xué)經(jīng)歷了近兩個世紀(jì)的開拓，在18世紀(jì)末的時候，數(shù)學(xué)家們卻普遍存在著一種悲觀的情緒。其原因是對于數(shù)學(xué)靠內(nèi)在邏輯需要推動而發(fā)展

21、的前景缺乏充分的預(yù)見。19世紀(jì)，數(shù)學(xué)跨入了一個前所未有、突飛猛進(jìn)的歷史時期。 群和伽羅瓦理論 對于5次及以上代數(shù)方程是否有根式解的問題，拉格朗日第一個給出了否定的回答，但沒有給出證明。1824年，22歲的挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾（公元1802年至公元1829年）在論文論代數(shù)方程，證明一般五次方程的不可解性中給出完整的證明。這里，他引入了“域（field）”的概念。那么，有沒有特殊的方程能夠用根式來求解？怎樣判斷？1829年1831年，法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦（公元1811年至公元1832年）在幾篇論文中，建立了判別方程根式可解的充分必要條件，從而徹底解決了經(jīng)歷了300年的世紀(jì)難題。他的思想是將n次方程的n個根

22、作為一個整體來考慮，并研究它們之間的排列或“置換”。這些“置換”的全體構(gòu)成一個集合，伽羅瓦稱之為“群”，這是歷史上最早的“群”的定義。繼而伽羅瓦理論形成。代數(shù)學(xué)由于“群”的概念的引進(jìn)和發(fā)展而獲得了新生。 布爾代數(shù)和代數(shù)數(shù)論早在17世紀(jì)，萊布尼茲就想要發(fā)明一種通用的語言來指導(dǎo)推理。他提出的邏輯數(shù)學(xué)化的思想在19世紀(jì)中后葉得以實(shí)現(xiàn)。英國數(shù)學(xué)家布爾（公元1815年至公元1864年）的邏輯代數(shù)即“布爾代數(shù)”基本上完成了邏輯的演算工作。他的思想集中在1847年發(fā)表的著作邏輯的數(shù)學(xué)分析和1854年出版的思維規(guī)律研究中。1801年德國數(shù)學(xué)家高斯（公元1777年至公元1855年）發(fā)表了算術(shù)研究后，數(shù)論作為現(xiàn)代

23、數(shù)學(xué)的一個重要分支得到了系統(tǒng)的發(fā)展。在其中，他研究了同余理論，復(fù)整數(shù)理論和型的理論，并證明了二次互反律。德國數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺枺ü?810年至公元1893年）是在高斯之后對代數(shù)數(shù)論作出重要貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家。他的工作與證明費(fèi)馬大定理有關(guān)，并在1844年1847年間創(chuàng)立了理想數(shù)理論。 非歐幾何與射影幾何 從公元前3世紀(jì)到18世紀(jì)末，數(shù)學(xué)家們一直對歐幾里得幾何學(xué)中的第五公設(shè)，即平行公設(shè)心存疑慮。18世紀(jì)中葉開始，數(shù)學(xué)家們發(fā)展了這種平行公設(shè)在其中不成立的新幾何，高斯稱之為非歐幾何。對非歐幾何的發(fā)明有影響的數(shù)學(xué)家有：高斯、波約和羅巴切夫斯基。隨后，德國數(shù)學(xué)家黎曼（公元1826年至公元1866年）在1854年發(fā)展

24、了非歐幾何，建立了黎曼幾何。黎曼是最先理解非歐幾何全部意義的數(shù)學(xué)家，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上最具創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)家之一。19世紀(jì)70年代以后，德國數(shù)學(xué)家克萊因、法國數(shù)學(xué)家龐加萊先后在歐幾里得空間中給出了非歐幾何的直觀模型。至此，非歐幾何才真正獲得了廣泛的理解。19世紀(jì)初，蒙日的畫法幾何學(xué)及其工作，重新刺激了射影幾何的研究。到1850年前后，數(shù)學(xué)家們對于射影幾何與歐氏幾何在一般概念與方法上已作出了區(qū)別。19世紀(jì)中葉以后，通過否定歐氏幾何中的部分公設(shè)或公理，產(chǎn)生了多種幾何學(xué)（P242頁）。所以，尋找不同幾何學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系，用統(tǒng)一的觀點(diǎn)來解釋它們，便成為數(shù)學(xué)家們追求的目標(biāo)。首先提出統(tǒng)一幾何學(xué)計(jì)劃的是德國數(shù)學(xué)家

25、克萊因（公元1849年至公元1925年）。這種思想體現(xiàn)在1872年他的就職演講愛爾朗根綱領(lǐng)中。其次，希爾伯特（公元1862年至公元1943年）提出了統(tǒng)一幾何學(xué)的途徑-公理化方法。并在歷史上第一次明確闡明了選擇和組織公理系統(tǒng)的原則。6 分析學(xué)及其嚴(yán)格化 柯西與分析基礎(chǔ) 19世紀(jì)分析嚴(yán)格化真正有影響的先驅(qū)是法國數(shù)學(xué)家柯西（公元1789年至公元1851年）?？挛髟谄浯碜鞣治鼋坛蹋?821年）、無限小計(jì)算教程概論中嚴(yán)格地定義了微積分的基本概念，如：變量、函數(shù)、極限、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、微分、收斂等等，（P248頁）?？挛鞯墓ぷ飨蚍治龅娜鎳?yán)格化邁出了關(guān)鍵一步。他的研究結(jié)果一開始就引起了科學(xué)界的很大轟動。然

26、而，柯西的理論還只能說“比較嚴(yán)格”，人們不久便發(fā)現(xiàn)柯西的理論實(shí)際上也存在漏洞。1861年德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯（公元1815年至公元1897年）舉出一個處處連續(xù)但卻處處不可微的函數(shù)例子，使數(shù)學(xué)界大為震驚： 其中是奇數(shù)，為常數(shù)，使得。把分析建立在“純粹算術(shù)”的基礎(chǔ)上，導(dǎo)致了19世紀(jì)后半葉數(shù)學(xué)史上著名的“分析算術(shù)化”運(yùn)動。主角便是魏爾斯特拉斯。他關(guān)于分析嚴(yán)格化的貢獻(xiàn)使他獲得了“現(xiàn)代分析之父”的稱號。（P253頁） 集合論的誕生 在分析的嚴(yán)格化過程中，康托爾發(fā)展了一般點(diǎn)集的理論。（P255258頁）。 復(fù)分析的建立與解析數(shù)論的形成復(fù)分析真正作為現(xiàn)代分析的一個研究領(lǐng)域，是在19世紀(jì)建立起來的，而且通過柯西、黎曼和魏爾斯特拉斯三個人的工作而發(fā)展的?？挛髟?825年出版的關(guān)于積分限為虛數(shù)的定積分的報(bào)告可以看成是復(fù)分析