平面向量的坐標表示

1、棗莊三中 2008-2009 學年度上學期高三年級數(shù)學學科教學案編號 _3038平面向量的坐標表示組編人 白永慶 審核人 滿其倫 使用時間 姓名 班級學號、說明解讀1掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；2會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算；3掌握平面向量的坐標運算 ,理解用坐標表示的平面向量共線的條件。二、知識網(wǎng)絡1平面向量的坐標表示： 在直角坐標系中， 分別取與 x 軸、y 軸方向相同的兩個單位向量 i, j 作為基底。由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量a 可表示成 a xi y j ， 由2+ x2y1i j + y1y2 j = x1x2 + y1y2于a與數(shù)對(x,y)

2、是一一對應的， 因此把(x,y)叫做向量 a的坐標，記作 a (x, y) ，其中 x叫作 a在 x軸上的坐標， y叫做在 y軸上的坐標。設(shè) a= (x1, y1)，b= (x2, y2)， x軸上單位向量 i ， y 軸上單位向量 j ，則： i i |i | |i | cos0 1 ， j j = 1， i j = j i = 0a b= (x1i+ y1 j )(x2i+ y2 j ) = x1x2i2 + x1y2i j從而獲得公式： a b = x1x2 + y1y22 2 2(1) 若 a xi yj ，則 a |a|2 x2(2)若 A(x1,y1)，B(x2,y2)，則 AB

3、(x2 x1,y2 y1) ；表示相等向量的有向線段的始點、終點 的坐標未必相同。 |AB| (x2 x1)2 (y2 y1)2(3) 向量相等 坐標相同。2平面向量的坐標運算(1)若 a x1,y1 ,b x2,y2 ，則 a b x1 x2,y1 y2(2)若 a =( x,y)，則 a=( x, y)(3)若 a x1,y1 ,b x2,y2 ，則 a b x1 x2 y1 y23設(shè) a x1,y1 ,b x2, y2 則向量共線 :a/bx1y2 x2y1 0向量垂直 : a b ，x1 x2 y1 y2 0三、基礎(chǔ)再現(xiàn)1.(06 山東)設(shè)向量 a=(1,-3)，b=(-2,4)，c=

4、(-1,-2)，若表示向量 4a、4b-2c、2( a-c)、d 的有向線段依次首尾相接能構(gòu)成四邊形，A. （2,6）B.（-2,6）2平 面上 A(-2,1),B(1,4),D(4,-3),C則向量 d 為C.（ 2,-6）D.（-2,-6）1點 滿 足 AC2CB， 連 DC 并 延 長 至 E ， 使1| CE |= 1 | ED | ，則點 E 坐標為：4A.(-8, 53 )8B.( 83 311)C.(0,1)D.0,1)或( 2,11 )33（2008 ·安徽理 ,3）在平行四邊形 ABCD 等于A. （-2,-4）中 ,AC 為一條對角線,若 AB =(2,4), A

5、C =(1,3) ，則(BD)B. (-3,-5)C. (3,5)D. (2,4)4若向量 a =（1,1） ，b =(1,-1), c =(-2,1), 則 c 等于A. 12 a+32 b22B. 1 a-3 b22C. 3 a - 1 b22D. 3 a+1 b225(05 全國 )已知向量 OA (k,12),OB (4,5), OC ( k,10), ，且 A.B.C 三點共線，則k= 6（05 湖北）已知向量 a （ 2,2）,b （5, k）.若|a b|不超過 5，則 k的取值范圍是 7.設(shè) OA =（3，1），OB =（-1 ，2），OC OB ，BCOA，O 為坐標原點，則

6、滿足 OD+OA=OC的 OD 的坐標是8已知向量 a 3,2 ，b 1,1 ,向量 m與3a 2b平行, m=4 137 則向量 m的坐 標是 四、典例示范1）2）5 ，求 d1】平面內(nèi)給定三個向量 a 3,2,b 1,2,c 4,1 ，回答下列問題：求滿足 a mb nc 的實數(shù) m,n； 若 a kc / 2b a ，求實數(shù) k； 若 d 滿足 d c / a b ，且例 2】已知 A、B、C三點的坐標分別為 （-1，0）、（3，-1）、（1，2），并且 AE=1 AC，BF =1 BC. 33 求證： EF AB .例 3】（2006 全國） 已知向量 a （sin ,1）,b （1,

7、cos ）, 。 22（）若 a b ，求 ； （）求 a b 的最大值。例 4】 ( 05 山東 ) 已知向量 m (cos ,sin ) 和 n ( 2 sin ,cos ), ( ,2 ) ，且82m n ，求 cos() 的值5 2 8五、知能遷移1（04 天津）若A.（ 3， 6）面向量 b與向量 a =（1,-2）的夾角是 180°,且|b |=3 5 ,則b等于 （ ）B.（3，6） C.（6， 3）D.（ 6，3）2.正方形 PQRS對角線交點為 M，坐標原點 O 不在正方形內(nèi)部，且 OP=（ 0,3），OS=（4,0），則 RM =A( 27 , 12 )B（27,

8、12）C（7,4）D7)243（04 全國）已知平面上直線 l 的方向向量 e=（ ，572,33 ），點 O（0,0）和 A（ 1,-2）在5l 上的射影分別是 O 和 A，則 OA = e ，其中 等于11 11 A.B. 5514(09 煙臺模擬 )已知向量 a=(8, 12 x ), b =(x,1),其中 x>0,若(a 2b )/(2 a + b ),則 xC.2D.2的值為A.45（09 寧夏海南卷文 值為1A.7B.8 ） 已知 aC.0 D.2( 3,2), b ( 1,0),向量 a b與 a 2b垂直,則實數(shù) 的 ( )1C.6O 是 ABC 的外心，AB=a， A

9、C=b，若 AO= 1a+ 2 b,則 1+ 2的值為（）23A. 1263答案 C1 B.76（ 2009·武漢武昌區(qū)調(diào)研測試）已知B.1136C.1631D.6AB=2，AC=1，BAC=120°.設(shè)D.127（ 05天津）在直角坐標系 xOy中，已知點 A（0,1）和點 B（-3,4），若點 C 在AOB的平分線 上且|OC |=2,則OC =8已知點 A(2,3),B(5,4),C(7,10), 若 APAC (R),試問（1）為何值時 ,點 P 在一、三象限角平分線上？2）點 P 到兩坐標軸的距離相等？9.已知 ABC中，A（2,-1），B（3,2），C（-3,-

10、1）,BC 邊上的高為 AD，求 AD。平面向量的坐標運算答案 2雙基練習答案 : 1-3.DBBB; 5. 3; 6.- 6,2; 7.(11,6).8.1】 解：(1)由題意得 3,2 m 1,2 n 4,1所以2)5m98n9a kc 3 4k,2 k ,2b am 4n 3 ，得2m n 25,2 16 133)設(shè) d (x,y) 則d c x 4,y 1,a b 2,44 x 4 2 y 1 0x 4 2 y 12 5 x5, d (3, 1)或 (5,3) y32 3 4k 5 2 k 0, k由題意得x 3 或 y1 例 2】證明m 44,16 或 m 44, 16設(shè) E、F 兩

11、點的坐標分別為( x1，y1)、( x21 2 2BC=(-2，3)， AB=(4，-1) AE 31AC (23,23),BF 3BC ( 3,1) 22 AE (x1, y1) ( 1,0) (3,3),BF (x2 ,y2) (3, 1) ( 2,1).2 2 32 21 2 (x1,y1) ( , ) ( 1,0) ( , ),1 1 3 33 327(x2,y2) ( ,1) (3, 1) ( ,0),2 2 3 382 EF (x2,y2) (x1,y1) ( , ),33y2)，則依題意，得 AC =( 2，2)，2BC ( 3,1)又 AB (4, 1),284×(

12、) ( 1) × 0 ， EF AB .33例 3】解：() 若a b,則 sin cos 0， 得 tan 1 所以4() 由 a (sin ,1),b (1,cos )得| sin2 (1 cos )2|a b3 2 2sin( )當 sin()例 4】 解 :m n (cos sin2) 2 (cos sin )21時,a b 取最大值， 即當4時,a b因為 m n (cos sin 2,cos sin ),max 2 1.4 2 2 ( c o ss i4n 4)cos ( 2 )1 c o由已知 m n 8 2 ，得 cos( ) 75 4 25 2又 cos() 2cos 2 () 14 2 82 16所以cos2()2 8 2559 2 ,82練習簡答 ： 1-6. AADA AC8 解 ( 1)由已知 AB =(3，則 AB + AC =(3，1)+ (5，7)=( 3+5 ， 設(shè) P(x,y)，則 AP =(x-2,y-3)，x 5 5y 4 7所以 cos( )8 8 2 87. ( 1051)， AC =3 10)5 5，7)， 1+7 ) .x 2