2018年北京市高考數(shù)學試卷(理科)解析(共18頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上2018年北京市高考數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1（5分）已知集合A=x|x|2，B=2，0，1，2，則AB=（）A0，1B1，0，1C2，0，1，2D1，0，1，2【分析】根據(jù)集合的基本運算進行計算即可【解答】解：A=x|x|2=x|2x2，B=2，0，1，2，則AB=0，1，故選：A【點評】本題主要考查集合的基本運算，根據(jù)集合交集的定義是解決本題的關鍵比較基礎2（5分）在復平面內(nèi)，復數(shù)的共軛復數(shù)對應的點位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】利用復數(shù)的

2、除法運算法則，化簡求解即可【解答】解：復數(shù)=，共軛復數(shù)對應點的坐標（，）在第四象限故選：D【點評】本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的乘除運算，復數(shù)的幾何意義，是基本知識的考查3（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（）ABCD【分析】直接利用程序框圖的應用求出結果【解答】解：執(zhí)行循環(huán)前：k=1，S=1在執(zhí)行第一次循環(huán)時，S=1=由于k=23，所以執(zhí)行下一次循環(huán)S=，k=3，直接輸出S=，故選：B【點評】本題考查的知識要點：程序框圖和循環(huán)結構的應用4（5分）“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻，十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依

3、次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為（）AfBfCfDf【分析】利用等比數(shù)列的通項公式，轉化求解即可【解答】解：從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為：=故選：D【點評】本題考查等比數(shù)列的通項公式的求法，考查計算能力5（5分）某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側面中，直角三角形的個數(shù)為（）A1B2C3D4【分析】畫出三視圖的直觀圖，判斷各個面的三角形的情況，即可推出結果【解答】解：四棱錐的三視圖對應的直觀圖為：PA底面ABCD，AC

4、=，CD=，PC=3，PD=2，可得三角形PCD不是直角三角形所以側面中有3個直角三角形，分別為：PAB，PBC，PAD故選：C【點評】本題考查簡單幾何體的三視圖的應用，是基本知識的考查6（5分）設，均為單位向量，則“|3|=|3+|”是“”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的應用，結合充分條件和必要條件的對應進行判斷即可【解答】解：“|3|=|3+|”平方得|2+9|26=9|2+|2+6，即1+96=9+1+6，即12=0，則=0，即，則“|3|=|3+|”是“”的充要條件，故選：C【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判

5、斷，結合向量數(shù)量積的公式進行轉化是解決本題的關鍵7（5分）在平面直角坐標系中，記d為點P（cos，sin）到直線xmy2=0的距離當、m變化時，d的最大值為（）A1B2C3D4【分析】由題意d=，當sin（+）=1時，dmax=1+3由此能求出d的最大值【解答】解：由題意d=，tan=，當sin（+）=1時，dmax=1+3d的最大值為3故選：C【點評】本題考查點到直線的距離的最大值的求法，考查點到直線的距離公式、三角函數(shù)性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題8（5分）設集合A=（x，y）|xy1，ax+y4，xay2，則（）A對任意實數(shù)a，（2，1）AB對任意實數(shù)a，

6、（2，1）AC當且僅當a0時，（2，1）AD當且僅當a時，（2，1）A【分析】利用a的取值，反例判斷（2，1）A是否成立即可【解答】解：當a=1時，集合A=（x，y）|xy1，ax+y4，xay2=（x，y）|xy1，x+y4，x+y2，顯然（2，1）不滿足，x+y4，x+y2，所以A，C不正確；當a=4，集合A=（x，y）|xy1，ax+y4，xay2=（x，y）|xy1，4x+y4，x4y2，顯然（2，1）在可行域內(nèi)，滿足不等式，所以B不正確；故選：D【點評】本題考查線性規(guī)劃的解答應用，利用特殊點以及特殊值轉化求解，避免可行域的畫法，簡潔明了二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。9（5

7、分）設an是等差數(shù)列，且a1=3，a2+a5=36，則an的通項公式為an=6n3【分析】利用等差數(shù)列通項公式列出方程組，求出a1=3，d=6，由此能求出an的通項公式【解答】解：an是等差數(shù)列，且a1=3，a2+a5=36，解得a1=3，d=6，an=a1+（n1）d=3+（n1）×6=6n3an的通項公式為an=6n3故答案為：an=6n3【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式的求法，考查等差數(shù)列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎題10（5分）在極坐標系中，直線cos+sin=a（a0）與圓=2cos相切，則a=1+【分析】首先把曲線和直線的極坐標方程轉化

8、成直角坐標方程，進一步利用圓心到直線的距離等于半徑求出結果【解答】解：圓=2cos，轉化成：2=2cos，進一步轉化成直角坐標方程為：（x1）2+y2=1，把直線（cos+sin）=a的方程轉化成直角坐標方程為：x+ya=0由于直線和圓相切，所以：利用圓心到直線的距離等于半徑則：=1，解得：a=1±a0則負值舍去故：a=1+故答案為：1+【點評】本題考查的知識要點：極坐標方程與直角坐標方程的互化，直線與圓相切的充要條件的應用11（5分）設函數(shù)f（x）=cos（x）（0），若f（x）f（）對任意的實數(shù)x都成立，則的最小值為【分析】利用已知條件推出函數(shù)的最大值，然后列出關系式求解即可【解

9、答】解：函數(shù)f（x）=cos（x）（0），若f（x）f（）對任意的實數(shù)x都成立，可得：，kZ，解得=，kZ，0則的最小值為：故答案為：【點評】本題考查三角函數(shù)的最值的求法與應用，考查轉化思想以及計算能力12（5分）若x，y滿足x+1y2x，則2yx的最小值是3【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義進行求解即可【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：設z=2yx，則y=x+z，平移y=x+z，由圖象知當直線y=x+z經(jīng)過點A時，直線的截距最小，此時z最小，由得，即A（1，2），此時z=2×21=3，故答案為：3【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數(shù)的幾

10、何意義以及數(shù)形結合是解決本題的關鍵13（5分）能說明“若f（x）f（0）對任意的x（0，2都成立，則f（x）在0，2上是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是f（x）=sinx【分析】本題答案不唯一，符合要求即可【解答】解：例如f（x）=sinx，盡管f（x）f（0）對任意的x（0，2都成立，當x0，）上為增函數(shù)，在（，2為減函數(shù)，故答案為：f（x）=sinx【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題14（5分）已知橢圓M：+=1（ab0），雙曲線N：=1若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為；雙曲線N的離心率為2【分析】利用已知條件求出正六

11、邊形的頂點坐標，代入橢圓方程，求出橢圓的離心率；利用漸近線的夾角求解雙曲線的離心率即可【解答】解：橢圓M：+=1（ab0），雙曲線N：=1若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，可得橢圓的焦點坐標（c，0），正六邊形的一個頂點（，），可得：，可得，可得e48e2+4=0，e（0，1），解得e=同時，雙曲線的漸近線的斜率為，即，可得：，即，可得雙曲線的離心率為e=2故答案為：；2【點評】本題考查橢圓以及雙曲線的簡單性質的應用，考查計算能力三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。15（13分）在ABC中，a=7，b=8，cos

12、B=（）求A；（）求AC邊上的高【分析】（）由正弦定理結合大邊對大角進行求解即可（）利用余弦定理求出c的值，結合三角函數(shù)的高與斜邊的關系進行求解即可【解答】解：（）ab，AB，即A是銳角，cosB=，sinB=，由正弦定理得=得sinA=，則A=（）由余弦定理得b2=a2+c22accosB，即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c15=0，得（c3）（c+5）=0，得c=3或c=5（舍），則AC邊上的高h=csinA=3×=【點評】本題主要考查解三角形的應用，利用正弦定理以及余弦定理建立方程關系是解決本題的關鍵16（14分）如圖，在三棱柱ABCA

13、1B1C1中，CC1平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為AA1，AC，A1C1，BB1的中點，AB=BC=，AC=AA1=2（）求證：AC平面BEF；（）求二面角BCDC1的余弦值；（）證明：直線FG與平面BCD相交【分析】（I）證明ACBE，ACEF即可得出AC平面BEF；（II）建立坐標系，求出平面BCD的法向量，通過計算與的夾角得出二面角的大??；（III）計算與的數(shù)量積即可得出結論【解答】（I）證明：E，F(xiàn)分別是AC，A1C1的中點，EFCC1，CC1平面ABC，EF平面ABC，又AC平面ABC，EFAC，AB=BC，E是AC的中點，BEAC，又BEEF=E，BE平面BEF，EF平面BEF，

14、AC平面BEF（II）解：以E為原點，以EB，EC，EF為坐標軸建立空間直角坐標系如圖所示：則B（2，0，0），C（0，1，0），D（0，1，1），=（2，1，0），=（0，2，1），設平面BCD的法向量為=（x，y，z），則，即，令y=2可得=（1，2，4），又EB平面ACC1A1，=（2，0，0）為平面CDC1的一個法向量，cos，=由圖形可知二面角BCDC1為鈍二面角，二面角BCDC1的余弦值為（III）證明：F（0，0，2），（2，0，1），=（2，0，1），=2+04=20，與不垂直，F(xiàn)G與平面BCD不平行，又FG平面BCD，F(xiàn)G與平面BCD相交【點評】本題考查了線面垂直的判定，二面

15、角的計算與空間向量的應用，屬于中檔題17（12分）電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值假設所有電影是否獲得好評相互獨立（）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；（）從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；（）假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等用“k=1”表示第k類電影得到人們喜歡“k=0”表示第k類

16、電影沒有得到人們喜歡（k=1，2，3，4，5，6）寫出方差D1，D2，D3，D4，D5，D6的大小關系【分析】（）先求出總數(shù)，再求出第四類電影中獲得好評的電影的部數(shù)，利用古典概型概率計算公式直接求解（）設事件B表示“從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，恰有1部獲得好評”，第四類獲得好評的有50部，第五類獲得好評的有160部，由此能求出從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率（）由題意知，定義隨機變量如下：k=，則k服從兩點分布，分別求出六類電影的分布列及方差由此能寫出方差D1，D2，D3，D4，D5，D6的大小關系【解答】解：（）設事件A表示“從電影公司收集的

17、電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影”，總的電影部數(shù)為140+50+300+200+800+510=2000部，第四類電影中獲得好評的電影有：200×0.25=50部，從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的頻率為：P（A）=0.025（）設事件B表示“從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，恰有1部獲得好評”，第四類獲得好評的有：200×0.25=50部，第五類獲得好評的有：800×0.2=160部，則從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率：P（B）=0.35（）由題意知，定義隨機變量

18、如下：k=，則k服從兩點分布，則六類電影的分布列及方差計算如下：第一類電影： 1 1 0 P 0.4 0.6E（1）=1×0.4+0×0.6=0.4，D（1）=（10.4）2×0.4+（00.4）2×0.6=0.24第二類電影： 2 1 0 P 0.2 0.8E（2）=1×0.2+0×0.8=0.2，D（2）=（10.2）2×0.2+（00.2）2×0.8=0.16第三類電影： 3 1 0 P 0.15 0.85E（3）=1×0.15+0×0.85=0.15，D（3）=（10.15）2×

19、;0.15+（00.85）2×0.85=0.1275第四類電影： 4 1 0 P 0.25 0.75E（4）=1×0.25+0×0.75=0.15，D（4）=（10.25）2×0.25+（00.75）2×0.75=0.1875第五類電影： 5 1 0 P 0.2 0.8E（5）=1×0.2+0×0.8=0.2，D（5）=（10.2）2×0.2+（00.2）2×0.8=0.16第六類電影： 6 1 0 P 0.1 0.9E（6）=1×0.1+0×0.9=0.1，D（5）=（10.1）2&

20、#215;0.1+（00.1）2×0.9=0.09方差D1，D2，D3，D4，D5，D6的大小關系為：D6D3D2=D5D4D1【點評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的方差的求法，考查古典概型、兩點分布等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題18（13分）設函數(shù)f（x）=ax2（4a+1）x+4a+3ex（）若曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線與x軸平行，求a；（）若f（x）在x=2處取得極小值，求a的取值范圍【分析】（）求得f（x）的導數(shù)，由導數(shù)的幾何意義可得f（1）=0，解方程可得a的值；（）求得f（x）的導數(shù)，注意分解因式，討論a=0，a=，a

21、，0a，a0，由極小值的定義，即可得到所求a的范圍【解答】解：（）函數(shù)f（x）=ax2（4a+1）x+4a+3ex的導數(shù)為f（x）=ax2（2a+1）x+2ex由題意可得曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線斜率為0，可得（a2a1+2）e=0，解得a=1；（）f（x）的導數(shù)為f（x）=ax2（2a+1）x+2ex=（x2）（ax1）ex，若a=0則x2時，f（x）0，f（x）遞增；x2，f（x）0，f（x）遞減x=2處f（x）取得極大值，不符題意；若a0，且a=，則f（x）=（x2）2ex0，f（x）遞增，無極值；若a，則2，f（x）在（，2）遞減；在（2，+），（，）遞增，可得f（x）

22、在x=2處取得極小值；若0a，則2，f（x）在（2，）遞減；在（，+），（，2）遞增，可得f（x）在x=2處取得極大值，不符題意；若a0，則2，f（x）在（，2）遞增；在（2，+），（，）遞減，可得f（x）在x=2處取得極大值，不符題意綜上可得，a的范圍是（，+）【點評】本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和極值，考查分類討論思想方法，以及運算能力，屬于中檔題19（14分）已知拋物線C：y2=2px經(jīng)過點P（1，2），過點Q（0，1）的直線l與拋物線C有兩個不同的交點A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N（）求直線l的斜率的取值范圍；（）設O為原點，=，=，求證：+為定值【分析】（）將P

23、代入拋物線方程，即可求得p的值，設直線AB的方程，代入橢圓方程，由0，即可求得k的取值范圍；（）根據(jù)向量的共線定理即可求得=1yM，=1yN，求得直線PA的方程，令x=0，求得M點坐標，同理求得N點坐標，根據(jù)韋達定理即可求得+為定值【解答】解：（）拋物線C：y2=2px經(jīng)過點P（1，2），4=2p，解得p=2，設過點（0，1）的直線方程為y=kx+1，設A（x1，y1），B（x2，y2）聯(lián)立方程組可得，消y可得k2x2+（2k4）x+1=0，=（2k4）24k20，且k0解得k1，且k0，x1+x2=，x1x2=，故直線l的斜率的取值范圍（，0）（0，1）；（）證明：設點M（0，yM），N（0

24、，yN），則=（0，yM1），=（0，1）因為=，所以yM1=yM1，故=1yM，同理=1yN，直線PA的方程為y2=（x1）=（x1）=（x1），令x=0，得yM=，同理可得yN=，因為+=+=+=2，+=2，+為定值【點評】本題考查拋物線的方程，直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的應用，考查轉化思想，計算能力，屬于中檔題20（14分）設n為正整數(shù)，集合A=|=（t1，t2，tn），tk0，1，k=1，2，n，對于集合A中的任意元素=（x1，x2，xn）和=（y1，y2，yn），記M（，）=（x1+y1|x1y1|）+（x2+y2|x2y2|）+（xn+yn|xnyn|）（）當n=3時，若=（1，1，0），=（0，1，1），求M（，）和M（，）的值；（）當n=4時，設B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素，當，相同時，M（，）是奇數(shù)；當，不同時，M