對稱性在二重積分中的應(yīng)用

1、翻1対銅1abstract 1key words 1弓iw 11預(yù)備知識12二重積分對稱性定理在不同條件下的證明及其應(yīng)用22.1積分區(qū)域d關(guān)于坐標(biāo)軸對稱22.1.1積分域z）關(guān)于/軸對稱，/（x，y）為£上的連續(xù)函數(shù)22.1.2積分域d關(guān)于*軸對稱，力為上的連續(xù)函數(shù)42.2積分區(qū)域d關(guān)于坐標(biāo)區(qū)域內(nèi)直線對稱42.3積分區(qū)域d關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱62.4積分區(qū)域d同時關(guān)于坐標(biāo)軸和坐標(biāo)原點(diǎn)對稱7#考文獻(xiàn)7至燃8對稱性在二重積分中的應(yīng)用摘要通過對稱性在定積分中的應(yīng)用，積分總結(jié)了對稱性在二重積分運(yùn)算中的相應(yīng)的一些結(jié)果，給山 了對稱性在二重積分中的有關(guān)定理以及應(yīng)用；介紹了二重積分的積分區(qū)域分別關(guān)于軸

2、;c軸以及原 點(diǎn)對稱的情況.在探討利用對稱性計(jì)算二重積分的基礎(chǔ)上，通過例題說明可以簡化二重積分的計(jì)算. 關(guān)鍵詞二重積分對稱性奇偶性簡化計(jì)算the application of the symmetry in calculating doubleintegrationabstract the symmetry in the application of integral computing by the knowledge of mathematical analysis is discussed.at the same time,some relevant theorems by the sy

3、mmetry theory of calculating the double integration are proved.this paper introduces the integral area of double integral,which is symmetrical about y axis x axis and the origin of coordinates.based on discussing the application ofsymmetry in double integral,some examples illustrate the convenience

4、of using this result in calculating double integral.key words double integral symmetry parity simplified calculation引言在定積分的計(jì)算中，可以根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)間的特點(diǎn)用對稱性定理計(jì) 算，二重積分是積分學(xué)中的重要內(nèi)容之一，所以我們可以將定積分計(jì)算中的對稱性定理 進(jìn)行推廣，并可歸納出利用平面區(qū)域的對稱性來計(jì)算二重積分，從而化繁為簡，收到事 半功倍的效果.利用對稱性計(jì)算二重積分，不但可以使計(jì)算簡化，有時還可以避免錯 誤.在一般情況下，必須是積分區(qū)域£具有對稱性，而且被積函

5、數(shù)對于區(qū)域d也具有對 稱性，才能利用對稱性來計(jì)算.在特殊情況下，雖然積分區(qū)域d沒有對稱性，或者關(guān)于 對稱區(qū)域£被積函數(shù)沒有對稱性，但經(jīng)過技巧性的處理，化為能用對稱性來簡化計(jì)算的 積分.這些都是很值得我們探討的問題.1預(yù)備知識在計(jì)算定積分的時候我們常常會用到如下定理：沿"、*r1卜迚件則右、。"v/ wfmdx,當(dāng)/(x)力偶函數(shù)；設(shè)徹在-叫上述續(xù)，則有0_a徹，0，當(dāng)徹為奇函數(shù).這個結(jié)論，?？珊喕?jì)算奇、偶函數(shù)在對稱于原點(diǎn)的區(qū)間上的定積分在計(jì)算二重積分時，若積分區(qū)域具有某種對稱性，是否也有和應(yīng)的結(jié)論呢？ lh|答是肯定的.i面，我們將此結(jié)論類似地推廣到二重積分.二

6、重積分一方面積分區(qū)域的對稱 性較之定積分積分區(qū)間的對稱性而言情況要復(fù)雜一些，另一方面被積函數(shù)是二元函數(shù)， 因此他關(guān)于變量的奇偶性也較定積分的一元函數(shù)要多變一些.下面給出關(guān)于對稱性在二 重積分應(yīng)用屮所涉及到的命題和證明以及相應(yīng)例題來說明對稱性對二重積分計(jì)算的簡 化.2二重積分對稱性定理在不同條件下的證明及其應(yīng)用定理1若二重積分斛滿足d(1) 區(qū)域d可分為對稱的兩部分djhd2,對稱點(diǎn)d2;例m;/=/（尸）.(2) 被積函數(shù)在對稱點(diǎn)的值/(p)與/(p9相同或互為相反數(shù).蝌 /（x，y）場 4 棚.y）dxdydiio蘇中a的坐標(biāo)根據(jù)z)的對稱性的類型而確定.2.1積分區(qū)域d關(guān)于坐標(biāo)軸對稱2.1

7、.1積分域z)關(guān)于 ，軸對稱，/u，)為d上的連續(xù)函數(shù)定理2如果積分區(qū)域z)關(guān)于 ，軸對稱，d, =(%,y)|(x，y)£u 0,貝u:（1）若/（x，力為關(guān)于;v的偶函數(shù)，即對"（x,y）? d,有/（-x，y） =/（x，y）,貝!j 蝌 y）dxdy = wt f（x，y、dxdy/）d（2）若/（x，y）為關(guān)于 x 的奇函數(shù)，即對"（x,y）? d,有/（-x，y） = -/（x，y），貝 lj 嫩 /o, y）dxdy = 0.d證明 記 z）2 =（x，y）|o，y）；fed，x 0則 £> = £+02 顯然有嫩 fx,

8、y）dxdy =| f （x, y）dxdy/（x, y）dxdydd,d2在區(qū)域d2，我們可令：x = y = v1所以蝌 /（*，）也辦=蝌 /（-w，=蝌 f（- x，y）dxdy d2d所以由可得: 賺 /(a; y)dxdy /(x, y)dxdy 4<4 /(- x, y)dxcly = /(x, y) + /(- %,)0 dxdy定理2結(jié)論得證.例 13計(jì)算斛(x+x3y2)dxdy ,其中 £>: x2 + y2 34,y 0/(x，y)=x+x3/，/(-x3/ =-(x+xy2) = -/(x,>0,且區(qū)域£關(guān)于 ，軸對稱，所以斛(x

9、+x3y2)dxdy =0 ./)例 25計(jì)算蟀!其中區(qū)域 d: -1 #x 1,0 #y 1解= 是關(guān)于x的偶函數(shù)，且區(qū)域d關(guān)于y軸對稱所以蝌 x2ydxdy = 2雕/），x2ydx = 'dy 'qx2dx =|.dj注意求解此類題目的過程中耍首先判斷積分區(qū)域d是否具有某種對稱性，例如是 不是關(guān)于，軸對稱，其次要觀察被積函數(shù)/u，）是否關(guān)于另一坐標(biāo)軸具有奇偶性，兩個 條件缺一不可1.如果忽略了這兩點(diǎn)就會出現(xiàn)如下的錯誤例3 /=蝌”也，其中£是由|+|y|? 1確定的閉區(qū)域d錯解/ = 41 科ex”ds = dx o v ex+ydy = 4 ,其中m是第一象限

10、的稅分區(qū)域此題錯誤的原因是只看到積分區(qū)域z）的對稱性卻忽略了被積函數(shù)/（x，y） =對于d來說沒有對稱性（即它不是同時關(guān)于x和y的偶函數(shù)），正確解法應(yīng)為：/ 二蝌 ex+yds =t4 ex+yds ex+yds =蝴辦穴 f+y辦刪辦，（+二，”辦=卜 e.1 其中dld2d,和d2分別是積分區(qū)域里y軸的右左兩側(cè)的部分本題如果把/u，y） = f改為/（x，） = e1#，這時被積函數(shù)是同時關(guān)于x和;y的偶函數(shù)，而積分區(qū)域£同時對稱于軸和y軸，則可用對稱性計(jì)算如下：/= ex+yds = 4dx *-vex+ydy = 42.1.2積分域d關(guān)于軸對稱，/&，力為£

11、上的連續(xù)函數(shù)定理3如果積分區(qū)域d關(guān)于x軸對稱，z）, =（x，y）|（x，y）緯0,則：（1）若/（x，jv）為關(guān)于y的偶函數(shù)，即對”（%,力？£,有/（x，） = /（x，-y）,貝1j嫩 f（x, y）dxdy = f（x, y）dxdydd（2）若/（x，y）為關(guān)于 y 的奇函數(shù)，即對n （%，），）？£，有/（x，-），）=-/（x，y），則 蛾 /（x, ydxdy - 0d證明與定理二證明類似例4 計(jì)算斛），ln（l+x2+y2）jj吻，其中區(qū)域£: %2+/ 31,% 0d解/（, y） = :，ln（l+x2+y2）是關(guān)于:v的奇函數(shù)且d關(guān)于x軸對

12、稱，所以斛 yln（l+x2+y2w”0.d注此題與例題一類似，顯然我們利用了對稱性，根據(jù)積分區(qū)域的對稱性以及積分 函數(shù)的特點(diǎn)能大大減少計(jì)算量，這就是對稱性的優(yōu)點(diǎn)所在.例 5 計(jì)算姻* sin（x2 +y2）dxdy ,其中區(qū)域 £: x2 +y2 34,x 0d解因?yàn)?（x，;y） =sin（x2+y2）是關(guān)于y的偶函數(shù)，且£關(guān)于x軸對稱，所以斛 sin(x2 +y2)dxdy =2姻* sin(a：2 + y2 )dxdyi)x2+y2?4嫌，0orsinf2jr =注此類題h是積分函數(shù)為三角函數(shù)的二重積分，通過對稱性簡化積分后，因?yàn)轭} 目屮含有系數(shù)相同的y2項(xiàng)，我們就

13、要考慮利用極坐標(biāo)變換法，對于系數(shù)不同的x2, /項(xiàng)可采用廣義的極坐標(biāo)變換從而求得積分結(jié)果.2.2積分區(qū)域d關(guān)于坐標(biāo)區(qū)域內(nèi)直線對稱將積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的情況推廣到積分區(qū)域d關(guān)于坐標(biāo)區(qū)域內(nèi)直線對稱，則有下面定理:定理4如果積分域£關(guān)于直線，=對稱，）|（ y） y x £2 =（x，y）|（x，y）諱d，y則(1) 有以下結(jié)論：嫩 y)dxdy =!feft f(y，x)dxdy， 蛾 /(x, y)dxdy =i /(y,x)dxdydddyd2 /u，) + /() x)yixdy =/(x, ydxdy .(2) 若對"(x，y)? £，有 /(x

14、, y) = /()，x)，則蟠 f、x，y)dxdy = f(x, y)dxdy.dd'(3) 若對"(x，)，)？ £)，有/(x，) = -/()，x)，則 4 f(x, y)dxdy = 0.d例66設(shè)/oo為恒正的連續(xù)函數(shù)，計(jì)算積分蝌x2+v2?r2以/w+/?/()，)/ +/(y)dxdy解由于積分區(qū)域x2+/? r2關(guān)于y = x對稱，所以由定理4,可得于是?r2 /+/()dxdy斛(tz +b)dxdy=p(a +b)r2.r+v?注當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于y = x對稱時，被積分函數(shù)的兩個變量可以互換位罝的特殊性質(zhì)可以使二重積分計(jì)算化簡.類似的，若積、分

15、區(qū)域關(guān)于直線7 = -對稱11滿足/（-%，-/） = -/（，）0，則 蝌 y）dxdy = 0,d或滿足/（-x，-y） = /o，）,），則有斛 /（%, y）dxdy =/（ y）dxdy ./）d（其中m為£的一半）2.3積分區(qū)域d關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱定理5如果積分區(qū)域£>關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，/為/)中關(guān)于原點(diǎn)對稱的一半積分 區(qū)域，則(1 )若/(x, y)為關(guān)于，y都對稱的偶函數(shù)，即對”(x，y)? £，存 /(心)0 = /(- u)，則蝌 /u，ydxdy =y)dxdydd、(2 )若/(x，y)為關(guān)于x，y都對稱的奇函數(shù)，即對n (x，y)?

16、d，有 /(- ,-y) = - /(a y)，則蝌 yu，y)dxdy = 0.d證明若區(qū)域d對稱于原點(diǎn)，對任意p(x，y)e d,對稱點(diǎn)a (-%，-y) e d2,d, =(x) #y j (x), a #x /?, d2 = -j (- x) #y -y (- x), - b #x -tz,令j尸-v則區(qū)域£>2變換為v坐標(biāo)平面內(nèi)區(qū)域£>, =&(x)j* (x), a#x b,雅可比行列式1 (義，)=101 o -1所以蝌 /cr，yw尸蝌 /(-« ，-v、dudv =斛 /(- a：，- ydxdyd2dd丨蟠 y)dxdy ,

17、 /(n) = -/(義，y)；=! m:i:蟲科.,(叉，y、dxdy , f(-x,-y) = ./(x, y).代入得t蝌 /(a； y)dxdy /(人)辦辦姻 /( y)dxdy ,dd,d2i o，若,(-i，-y) = -/u，y);斛 f(x,y)dxdy=i f(x，沁dxdy，若/(-%，-= /(%, )，).1 h例71計(jì)算二重積分蝌其中d為直線y = x與曲線y = j所圍成的有界d閉區(qū)域解分析可知積分區(qū)域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且被積函數(shù)/（x，y） = 2為關(guān)于y的偶函數(shù) 知e v_ dxdy = wl e v dxdy - dy e ' dx =2?（j（y3 -

18、 y）e v dydd,令/ = / 則ey2dxdy=q（t- l）eldt = -ed2.4積分區(qū)域d同時關(guān)于坐標(biāo)軸和坐標(biāo)原點(diǎn)對稱定理7若區(qū)域z）關(guān)于坐標(biāo)軸原點(diǎn)全對稱，則二重積分 蝌 /（ y）dxdy = 44 f（x, y）dxdy ,i）d、其中z）,為z）位于第一象限部分.例8利用對稱性計(jì)算二重積分蝌（|%|+卜|）也，d:x+y? 1.解經(jīng)分析可知區(qū)域d關(guān)于坐標(biāo)軸，坐標(biāo)原點(diǎn)都對稱，而且被積函數(shù)關(guān)于;c，y都是偶函數(shù)，故喇 （|x|+|y|）6fe =4科（|x|+|；v|）6/5 其屮/為/）屮第一象限部分，表示為：/） /）|x+ ,x 0,j 0,又£>,關(guān)于直線y = %對稱，即/（x，y） = /（y，x）所以此題就轉(zhuǎn)化到關(guān) 于y = x對稱的問題上來了，所以有嫩（卜|+|），|）也=染科（卜|小|）也=w xds =0 'xdy = 8?（'）（x- x2）dx = .£>d,d,3當(dāng)積分區(qū)域的對稱性不明顯或者不能夠足夠簡化計(jì)算吋我們還可以將積分區(qū)域的某 一部分分離出來看，利用這一部分的對稱性來簡化計(jì)算，此外我們可以發(fā)現(xiàn)如果此題不 用對稱性計(jì)算將非常麻7.在利用