反三角函數(shù)(正課)

1、下頁上頁主頁 反三角函數(shù)反三角函數(shù)下頁上頁主頁(1)什么樣的函數(shù)有反函數(shù)什么樣的函數(shù)有反函數(shù)?一一對應(yīng)函數(shù)有反函數(shù)一一對應(yīng)函數(shù)有反函數(shù)沒有沒有,因?yàn)樗皇且灰粚?yīng)函數(shù)因?yàn)樗皇且灰粚?yīng)函數(shù)(2)互為反函數(shù)圖象之間有什么關(guān)系互為反函數(shù)圖象之間有什么關(guān)系關(guān)于直線關(guān)于直線y=x對稱對稱(4)正弦函數(shù)y=sinx在 上有反函數(shù)嗎？(3)正弦函數(shù)正弦函數(shù)y=sinx ,余弦函數(shù)y=cosx,正切函數(shù)y=tanx在定義域上有反函數(shù)嗎在定義域上有反函數(shù)嗎? 余弦函數(shù)y=cosx在0， 上有反函數(shù)嗎？正切函數(shù)y=tanx在 上有反函數(shù)嗎？,2 2 (,)2 2 下頁上頁主頁xyo-2 - 2 3 4 1-1

2、正弦函數(shù)正弦函數(shù) 有反函數(shù)嗎？有反函數(shù)嗎？)(sinRxxy22 沒有沒有,因?yàn)樗皇且灰粚?yīng)函數(shù)，因?yàn)樗皇且灰粚?yīng)函數(shù)，同一個(gè)三角函數(shù)值會(huì)對應(yīng)同一個(gè)三角函數(shù)值會(huì)對應(yīng) 許多角。許多角。 正弦函數(shù)正弦函數(shù) 有反函數(shù)嗎？有反函數(shù)嗎？)(sinRxxysin (, )2 2yx x 正弦函數(shù)正弦函數(shù) 有反函數(shù)嗎？有反函數(shù)嗎？ 有有,因?yàn)樗且灰粚?yīng)函數(shù)，因?yàn)樗且灰粚?yīng)函數(shù)，同一個(gè)三角函數(shù)值只對應(yīng)一個(gè)角。同一個(gè)三角函數(shù)值只對應(yīng)一個(gè)角。下頁上頁主頁一、反正弦函數(shù)一、反正弦函數(shù) 1、定義：、定義：正弦函數(shù)正弦函數(shù) 的反函的反函數(shù)數(shù)sin (, )2 2yx x 叫反正弦函數(shù)，記作叫反正弦函數(shù)，記作ar

3、csinxyarcsinyx 習(xí)慣記作習(xí)慣記作 1,1, 2 2xy 1,1,arcsin ,xaya 若有下頁上頁主頁理解和掌握 符號(hào)arcsin (1)a a （1）、）、 表示一個(gè)角表示一個(gè)角（2）、這個(gè)角的范圍是）、這個(gè)角的范圍是,2 2 arcsinaarcsin,.2 2a 即下頁上頁主頁21.510.5-0.5-1-1.5-2-3-2-1123221-1sin , 1,12 2yx xy arcsin , 1,1,2 2yx xy 2、反正弦函數(shù)、反正弦函數(shù)y=arcsinx,x-1，1的圖象與性質(zhì)：的圖象與性質(zhì)：yxyx22(1)定義域定義域:-1，1。(2)值域值域:,2 2

4、 (3)單調(diào)性單調(diào)性:是增函數(shù)是增函數(shù)。o下頁上頁主頁(1)arcsin1 _(2)arcsin( 1)_1(3)arcsin0_(4)arcsin_212(5)arcsin()_(6)arcsin_2223(7)arcsin()_(8)arcsin_223(9)arcsin()_2 3、熟記特殊值的反正弦函數(shù)值、熟記特殊值的反正弦函數(shù)值220646433下頁上頁主頁2-2-22O1EF22 只有正弦函數(shù)主值區(qū)間只有正弦函數(shù)主值區(qū)間 上的角才能用上的角才能用反正弦表示反正弦表示ax=?arcsinax1x24、已知三角函數(shù)值求角、已知三角函數(shù)值求角2,2,sinxxy3x4x,2 2 例1：判

5、斷下列各式是否正確？并簡述理由。3(1)arcsin233(2)arcsin32(3)arcsin12()2kkZ(4)arcsin()arcsin33 對錯(cuò)13錯(cuò)錯(cuò)13 下頁上頁主頁xyo-2 - 2 3 4 1-1 沒有沒有,因?yàn)樗皇且灰粚?yīng)函數(shù)，因?yàn)樗皇且灰粚?yīng)函數(shù)，同一個(gè)三角函數(shù)值會(huì)對應(yīng)同一個(gè)三角函數(shù)值會(huì)對應(yīng) 許多角。許多角。 余弦函數(shù)余弦函數(shù) 有反函數(shù)嗎？有反函數(shù)嗎？cos ()yx xRcos (0, )yx x 余弦函數(shù)余弦函數(shù) 有反函數(shù)嗎？有反函數(shù)嗎？ 有有,因?yàn)樗且灰粚?yīng)函數(shù)，因?yàn)樗且灰粚?yīng)函數(shù)，同一個(gè)三角函數(shù)值只對應(yīng)一個(gè)角。同一個(gè)三角函數(shù)值只對應(yīng)一個(gè)角。下頁上頁主頁

6、二、反余弦函數(shù)二、反余弦函數(shù) 1、定義：、定義：余弦函數(shù)余弦函數(shù) 的反函的反函數(shù)數(shù)cos (0, )yx x 叫反余弦函數(shù)，記作叫反余弦函數(shù)，記作 (本義反函數(shù)本義反函數(shù)) arccosxyarccosyx 習(xí)慣記作習(xí)慣記作 (矯正反函數(shù)矯正反函數(shù)) 1,1,0, xy 1,1,arccos ,xaya 若有下頁上頁主頁理解和掌握 符號(hào)arccos(1)a （1）、）、 表示一個(gè)角表示一個(gè)角（2）、這個(gè)角的范圍是）、這個(gè)角的范圍是0,arccosaarccos0,.即下頁上頁主頁54.543.532.521.510.5-0.5-1-4-3-2-11234y=cosx,x0，y-1，1y=arc

7、cosx,x-1，1y0，-112、反余弦函數(shù)、反余弦函數(shù)y=arccosx,x-1，1的圖的圖象與性質(zhì)象與性質(zhì)oxyyx(1)定義域：定義域：-1，1。(2)值域值域:0，。(3)單調(diào)性單調(diào)性:是減函數(shù)。是減函數(shù)。下頁上頁主頁(1)arccos1 _(2)arccos( 1)_1(3)arccos0_(4)arccos_212(5)arccos()_(6)arccos_2223(7)arccos()_(8)arccos_223(9)arccos()_2 3、熟記特殊值的反正弦函數(shù)值、熟記特殊值的反正弦函數(shù)值20342334656下頁上頁主頁只有余弦函數(shù)主值區(qū)間0，上的角才能用反余弦表示2-2

8、-22O1 EFaxarccosax1x2x3-arccosa2-arccosa2+arccosa, 0,cosxxy4、已知三角函數(shù)值求角、已知三角函數(shù)值求角例1：判斷下列各式是否正確？并簡述理由。1(1)arccos231(2)arccos32(3)arccos02()2kkZ(4)arccos()arccos33對錯(cuò)13錯(cuò)錯(cuò)13 下頁上頁主頁tan (,)2yx xkkz 沒有沒有,因?yàn)樗皇且灰粚?yīng)函數(shù)，因?yàn)樗皇且灰粚?yīng)函數(shù)，同一個(gè)三角函數(shù)值會(huì)對應(yīng)同一個(gè)三角函數(shù)值會(huì)對應(yīng) 許多角。許多角。 正弦函數(shù)正弦函數(shù) 有反函數(shù)嗎？有反函數(shù)嗎？tan ,(, )2 2yx x 正弦函數(shù)正弦函數(shù) 有

9、反函數(shù)嗎？有反函數(shù)嗎？ 有有,因?yàn)樗且灰粚?yīng)函數(shù)，因?yàn)樗且灰粚?yīng)函數(shù)，同一個(gè)三角函數(shù)值只對應(yīng)一個(gè)角。同一個(gè)三角函數(shù)值只對應(yīng)一個(gè)角。22下頁上頁主頁三、反正切函數(shù)三、反正切函數(shù) 1、定義：、定義：正切函數(shù)正切函數(shù) 的反函的反函數(shù)數(shù)tan (, )2 2yx x 叫反正切函數(shù)，記作叫反正切函數(shù)，記作 (本義反函數(shù)本義反函數(shù)) arctanxyarctanyx 習(xí)慣記作習(xí)慣記作 (矯正反函數(shù)矯正反函數(shù)) ,(, )2 2xR y ,arctan ,xaRya 若有下頁上頁主頁理解和掌握 符號(hào)arctan ()a aR（1）、）、 表示一個(gè)角表示一個(gè)角（2）、這個(gè)角的范圍是）、這個(gè)角的范圍是(,)2 2 arctanaarctan(,).2 2a 即下頁上頁主頁32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-3-4-3-2-112342、反正切函數(shù)、反正切函數(shù)y=arctanx,xR的圖象與性質(zhì)的圖象與性質(zhì)22Ryxxy)2,2(,tan22)2,2(,arctanyRxxy(1)定義域定義域R(2)值域值域: (,)2