空間曲線及其方程(5)課件

1、2011.2.68-4-18.4 空間曲線及其方程空間曲線及其方程空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程空間曲線在坐標面上的投影空間曲線在坐標面上的投影小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)2011.2.6北京工商大學(xué)8-4-2 此為空間曲線的一般方程此為空間曲線的一般方程空間曲線空間曲線C可看作可看作特點：特點：一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程曲線上的點都滿足方程曲線上的點都滿足方程,滿足方程的點都在曲線上滿足方程的點都在曲線上,不在曲線上的點不能不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程同時滿足兩個方程.空間兩曲面的交線空間兩曲面的交線.空間曲線及其方程空間

2、曲線及其方程xyzO1S2SC0),( zyxF0),( zyxG(1)2011.2.6北京工商大學(xué)8-4-3例例 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 632122zxyx解解122 yx表示圓柱面，表示圓柱面，632 zx表示平面，表示平面， 632122zxyx交線為交線為橢圓橢圓空間曲線及其方程空間曲線及其方程C1zxyO22011.2.6北京工商大學(xué)8-4-4例例 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？空間曲線及其方程空間曲線及其方程 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面(如圖如圖)4)2(222ayax 圓柱面圓柱面(如圖如圖)

3、交線為藍色部分（交線為藍色部分（如圖如圖）zxyOxyzO2011.2.6北京工商大學(xué)8-4-5 )()()(tzztyytxx空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程隨著參數(shù)隨著參數(shù)t 的變化可得到曲線上的全部點的變化可得到曲線上的全部點.,1時時當當給給定定tt 就得到曲線上的一個點就得到曲線上的一個點),(111zyx空間曲線及其方程空間曲線及其方程(2)2011.2.6北京工商大學(xué)8-4-6例例 如果空間一點如果空間一點M 在圓柱面在圓柱面 上以角速度上以角速度空間曲線及其方程空間曲線及其方程222ayx 動點從動點從A點出發(fā)點出發(fā),tax co

4、s tay sin vtz 螺旋線的參數(shù)方程螺旋線的參數(shù)方程取時間取時間t為參數(shù)為參數(shù),解解經(jīng)過經(jīng)過t時間時間,運動到運動到M點點.),(都是常數(shù)都是常數(shù)其中其中v 那末點那末點M 構(gòu)成的圖形稱為構(gòu)成的圖形稱為螺旋線螺旋線. 試建立其參數(shù)方程試建立其參數(shù)方程.M在在xOy面的投影面的投影)0 ,(yxM zxyO MM A t a上升上升繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),同時又以線速度同時又以線速度v沿平行于沿平行于z軸的正軸的正方向方向2011.2.6北京工商大學(xué)8-4-7螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為螺旋線的參數(shù)方程還可以寫為 bzayaxsincos),( vbt 重要重要性質(zhì)性質(zhì) 00: bbbz 00

5、:上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比上升的高度與轉(zhuǎn)過的角度成正比. 即即,2 上升的高度上升的高度 bh2 螺距螺距空間曲線及其方程空間曲線及其方程zxyO MM A t P2011.2.6北京工商大學(xué)8-4-8 0),(0),(zyxGzyxF消去變量消去變量z后得：后得：0),( yxH曲線關(guān)于曲線關(guān)于xOy的的設(shè)空間曲線設(shè)空間曲線C的一般方程：的一般方程：投影柱面的投影柱面的特征：特征：三、空間曲線在坐標面上的投影三、空間曲線在坐標面上的投影 此柱面必包含曲線此柱面必包含曲線C,以曲線以曲線C為準線、為準線、 C投影柱面投影柱面. .空間曲線及其方程空間曲線及其方程母線垂直于所投影的坐標面母線

6、垂直于所投影的坐標面.2011.2.6北京工商大學(xué)8-4-9類似地類似地:可定義空間曲線在其它坐標可定義空間曲線在其它坐標面上的投影面上的投影. 00),(xzyR 00),(yzxT yOz面面上的上的投影曲線投影曲線 xOz面上的面上的投影曲線投影曲線 00),(zyxH空間曲線在空間曲線在xOy 面上的面上的投影曲線投影曲線(或稱或稱投影投影)(即為曲線關(guān)于即為曲線關(guān)于xOy面面的的投影柱面投影柱面)(即為即為xOy 面面) C空間曲線及其方程空間曲線及其方程(即為投影柱面與即為投影柱面與xOy 面的交線面的交線)2011.2.6北京工商大學(xué)8-4-10例例 求曲線求曲線 在坐標面上的投

7、影在坐標面上的投影. 211222zzyx解解 (1) 消去變量消去變量z后得后得4322 yx在在 xOy面上的投影為面上的投影為 04322zyx(2) 因為曲線在平面因為曲線在平面 21 zxOy面的投面的投影柱面影柱面空間曲線及其方程空間曲線及其方程上，上，所以在所以在 xOz面上面上的投影為線段的投影為線段 23|021 xyz2011.2.6北京工商大學(xué)8-4-1123|021 yxz空間曲線及其方程空間曲線及其方程例例 求曲線求曲線 在坐標面上的投影在坐標面上的投影. 211222zzyx(3) 同理在同理在yOz面上的投影面上的投影 也為線段也為線段. 2011.2.6北京工商

8、大學(xué)8-4-12例例 求橢圓拋物面求橢圓拋物面 與平面與平面空間曲線及其方程空間曲線及其方程xzy 2202 zyx交線方程為交線方程為 0222zyxxzy0 z 0222zyzy解解的交線在三個坐標面上的投影曲線方程的交線在三個坐標面上的投影曲線方程.(1) 消去變量消去變量z(2) 消去變量消去變量y(3) 消去變量消去變量x得投影得投影 04522xxyyx得投影得投影0 y 042522xxzzx得投影得投影0 x2011.2.6北京工商大學(xué)8-4-13在在yOz平面上的平面上的投影投影為為在在xOy平面上的平面上的投影投影為為:想一想想一想 在在xOz平面上的平面上的投影投影呢呢?

9、 tztytxsincos例例 螺旋線螺旋線即即0 z 0122zyx tztysin即即 0sinxzy空間曲線及其方程空間曲線及其方程 tytxsincos0 x2011.2.6北京工商大學(xué)8-4-14 選擇題選擇題1.曲線曲線 在在xOy面面上的上的投影柱面投影柱面方程是方程是( ).A 03215416222zxzyx01162420)(22 xyxA 001162420)(22zxyxC 0071244)(22xzzyD071244)(22 zzyB空間曲線及其方程空間曲線及其方程2011.2.6北京工商大學(xué)8-4-15 2. 球面球面 與與 交線交線在在xOy面面上上投影曲線投影曲

10、線方程是方程是()D2222Rzyx azx 0)()(2222zRzyzaB2222)()(RxayxC 0)()(2222zRxayxD空間曲線及其方程空間曲線及其方程2222)()(RzyzaA 2011.2.6北京工商大學(xué)8-4-16表示表示( ).(A) 雙曲柱面與平面雙曲柱面與平面x = 2交線交線;(B) 雙曲柱面雙曲柱面;(C) 雙葉雙曲面雙葉雙曲面; (D) 單葉雙曲面單葉雙曲面.A 214922xxy曲面及其方程曲面及其方程3.2011.2.6北京工商大學(xué)8-4-17空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程空間曲線在坐標面上的投影空間曲線在坐標面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF