格林公式及其應用(15)課件

1、上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology一、格林公式二、平面上曲線積分與路徑無關的條件三、二元函數(shù)的全微分求積10.3 格林公式及其應用上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology一、格林公式v單連通與復連通區(qū)域 單連通區(qū)域復連通區(qū)域 設D為平面區(qū)域 如果D內任一閉曲線所圍的部分都屬于D 則稱D為平面單連通區(qū)域 否則稱為復連通區(qū)域 邊界曲線的正向邊界曲線的正向: : 當觀察者沿邊界行走時當觀察者沿邊界行走時,區(qū)域區(qū)域D總總在他的左邊在他的左邊.上頁 下頁 返回 退出 Jlin Ins

2、titute of Chemical Technology 設空間區(qū)域G, 如果G內任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于G, 則稱G是空間二維單連通域; 如果G內任一閉曲線總可以張一片完全屬于G的曲面, 則稱G為空間一維單連通區(qū)域.GGG一維單連通二維單連通一維單連通二維不連通一維不連通二維單連通上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv定理1 設閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成 函數(shù)P(x y)及Q(x y)在D上具有一階連續(xù)偏導數(shù) 則有 其中L是D的取正向的邊界曲線 格林公式 定理證明應注意的問題: 對復連通區(qū)域D 格林公式右端應包括沿區(qū)域D

3、的全部邊界的曲線積分 且邊界的方向對區(qū)域D來說都是正向 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology連成連成與與由由21LLL組成組成與與由由21LLL邊界曲線L的正向: 當觀察者沿邊界行走時,區(qū)域D總在他的左邊.2LD1L2L1LD上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology),()(),(21bxaxyxyxD 證明(1),()(),(21dycyxyyxD yxo abDcd)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx 上頁 下頁 返

4、回 退出 Jlin Institute of Chemical TechnologydxxQdydxdyxQyydcD )()(21 dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(),( EACCBEdyyxQdyyxQ),(),( LdyyxQ),(同理可證 LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yx DcCE)(1yx 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology證明證明(2)(2)L1L2L3LD1D2D3D兩式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 321)()(DDDDdxdyy

5、PxQdxdyyPxQ上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ 321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx LQdyPdx1D2D3DL1L2L3L),(32, 1來來說說為為正正方方向向對對DLLL上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical TechnologyGD3L2LFCE1LAB證明證明(3)(3)由由(2)知知 DdxdyyPxQ)( CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx)(3 231)(LLLQdy

6、Pdx LQdyPdx),(32, 1來來說說為為正正方方向向對對DLLL上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology提示: 格林公式: v用格林公式計算區(qū)域的面積 設區(qū)域D的邊界曲線為L 則在格林公式中 令Py Qx 則有 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( DLdxdyxdyydx2 或LydxxdyA21 或LDydxxdydxdyA21 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology格林公式: v用格林公式計算區(qū)域的面積 例1 求橢圓xacosq ybsinq 所圍成圖形的面積A

7、 設區(qū)域D的邊界曲線為L 則 解 設L是由橢圓曲線 則 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( LydxxdyA21 LydxxdyA21qqq2022)cossin(21dababqabdab2021LydxxdyA21qqq2022)cossin(21dabab qabdab2021 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology提示:因此 由格林公式有 格林公式: 用格林公式計算二重積分 解 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 例 2 計算Dydxdye2 其中 D是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1) 為頂點的三角形閉區(qū)域 要

8、使2yeyPxQ 只需 P0 2yxeQ 令 P0 2yxeQ 則2yeyPxQ 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology因此 由格林公式有 格林公式: v用格林公式計算二重積分 解 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 例 2 計算Dydxdye2 其中 D是以 O(0 0) A(1 1) B(0 1) 為頂點的三角形閉區(qū)域 BOABOAyDydyxedxdye22)1 (2111022edxxedyxexOAy)1 (2111022edxxedyxexOAy)1 (2111022edxxedyxexOAy BOABOAyDydyxe

9、dxdye22 令 P0 2yxeQ 則2yeyPxQ 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical TechnologyxyoL簡化曲線積分簡化曲線積分ABDBOABOAL 格林公式: LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology提示: 解 當(0 0)D時 由格林公式得 記L所圍成的閉區(qū)域為D 當x2y20時 有 yPyxxyxQ22222)( 022Lyxydxxdy 例 4 計算Lyxydxxdy22 其中 L 為一條無重點、分段光滑且 不經過原點的連續(xù)閉曲線 L

10、的方向為逆時針方向 這里22yxyP 22yxxQ v用格林公式求閉曲線積分 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology在D內取一圓周l: x2y2r2(r0) 當(0 0)D時 解 記L所圍成的閉區(qū)域為D 記L及l(fā)所圍成的復連通區(qū)域為D1 應用格林公式得其中l(wèi)的方向取順時針方向 于是 例 4 計算Lyxydxxdy22 其中 L 為一條無重點、分段光滑且 不經過原點的連續(xù)閉曲線 L的方向為逆時針方向 0)(122 dxdyyPxQyxydxxdyDlL lLyxydxxdyyxydxxdy2222qqq2022222sincosdrrr

11、lLyxydxxdyyxydxxdy2222qqq2022222sincosdrrr2 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology二、平面上曲線積分與路徑無關的條件v曲線積分與路徑無關 設G是一個開區(qū)域 P(x y)、Q(x y)在區(qū)域G內具有一階連續(xù)偏導數(shù) 與路徑無關 否則說與路徑有關 如果對于G內任意指定的兩個點A、B以及G內從點A到點B的任意兩條曲線L1、L2 等式21LLQdyPdxQdyPdx恒成立 就說曲線積分LQdyPdx在 G 內 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technol

12、ogy二、平面上曲線積分與路徑無關的條件v曲線積分與路徑無關 這是因為 設L1和L2是G內任意兩條從點A到點B的曲線 則L1(L2)是G內一條任意的閉曲線 而且有021LLQdyPdxQdyPdx 0)(21 LLQdyPdx 21LLQdyPdxQdyPdx021LLQdyPdxQdyPdx 意閉曲線 C 的曲線積分LQdyPdx等于零曲線積分LQdyPdx在 G 內與路徑無關相當于沿 G 內任上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology二、平面上曲線積分與路徑無關的條件v曲線積分與路徑無關 v定理2 (曲線積分與路徑無關的判斷方法) 定

13、理證明 在 G 內恒成立xQyP閉曲線的曲線積分為零)的充分必要條件是等式數(shù) 則曲線積分LQdyPdx在 G 內與路徑無關(或沿 G 內任意設函數(shù)P(x y)及Q(x y)在單連通域G內具有一階連續(xù)偏導意閉曲線 C 的曲線積分LQdyPdx等于零曲線積分LQdyPdx在 G 內與路徑無關相當于沿 G 內任上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv應用定理2應注意的問題 (1)區(qū)域G是單連通區(qū)域 2)函數(shù)P(x y)及Q(x y)在G內具有一階連續(xù)偏導數(shù) 如果這兩個條件之一不能滿足 那么定理的結論不能保證成立討論: 提示: .0 xQyP

14、QdyPdxQdyPdxLL與路徑無關 設L為一條無重點、分段光滑且不經過原點的連續(xù)閉曲線 L的方向為逆時針方向 問 是否一定成立？ 022Lyxydxxdy上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 解 這里P2xy Qx2 選擇從O(0 0)到A(1 0)再到B(1 1)的折線作為積分路線 則 ABOALdyxxydxdyxxydxdyxxydx222222 .0 xQyPQdyPdxQdyPdxLL與路徑無關11102dy 因為xxQyP2 所以積分 Ldyxxydx22與路徑無關 例 5 計算Ldyxxydx22 其中 L 為拋

15、物線yx2上從O(0 0)到B(1 1)的一段弧 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 三、二元函數(shù)的全微分求積 表達式P(x y)dxQ(x y)dy與函數(shù)的全微分有相同的結構但它未必就是某個函數(shù)的全微分 那么在什么條件下表達式P(x y)dxQ(x y)dy是某個二元函數(shù)u(x y)的全微分呢？當這樣的二元函數(shù)存在時 怎樣求出這個二元函數(shù)呢？ 二元函數(shù)u(x y)的全微分為du(x y)ux(x y)dxuy(x y)dy 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv原函數(shù)

16、 如果函數(shù)u(x y)滿足du(x y)P(x y)dxQ(x y)dy 則函數(shù)u(x y)稱為P(x y)dxQ(x y)dy的原函數(shù) v定理3 設函數(shù)P(x y)及Q(x y)在單連通域G內具有一階連續(xù)偏導數(shù) 則P(x y)dxQ(x y)dy在G內為某一函數(shù)u(x y)的全微分的充分必要條件是等式 在G內恒成立 xQyP上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technologyv求原函數(shù)的公式 ),(),(00),(),(),(yxyxdyyxQdxyxPyxu yyxxdyyxQdxyxPyxu00),(),(),(0 xxyydxyxPdyyx

17、Qyxu00),(),(),(0 上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 解 ： 這里 例6 驗證 2xydxx2dy在整個xOy平面內是某一函數(shù)u(x y)的全微分 并求這樣的一個u(x y). yPxxQ2所以P(x y)dxQ(x y)dy是某個定義在整個xOy面內的函數(shù)u(x y)的全微分 ),()0 , 0(22),(yxCdyxxydxyxuyyCyxCxydxdy00220上頁 下頁 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 例7設有一變力在坐標軸上的投影為Xxy2 Y2xy8 這變力確定了一個力場 證明質點在此場內移動時 場力所做的功與路徑無關 解： 場力所作的功為 d