機動目錄上頁下頁返回結(jié)束數(shù)量積的說明課件

1、 一一物物體體在在常常力力F作作用用下下沿沿直直線線從從點點1M移移動動到到點點2M，以以s表表示示位位移移，則則力力F所所作作的的功功為為 cos|sFW (其中其中 為為F與與s的夾角的夾角)啟示啟示向量向量a與與b的的數(shù)量積數(shù)量積為為ba cos|baba (其其中中 為為a與與b的的夾夾角角)實例實例兩向量作這樣的運算兩向量作這樣的運算, 結(jié)果是一個數(shù)量結(jié)果是一個數(shù)量.定義定義一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ab cos|baba ,Prcos|bjba ,Prcos|ajab ajbbabPr| .Pr|bjaa 數(shù)量積也稱為數(shù)量積也稱為“點積

2、點積”、“內(nèi)積內(nèi)積”.結(jié)論結(jié)論 兩向量的數(shù)量積等于其中一個向量的兩向量的數(shù)量積等于其中一個向量的模和另一個向量在這向量的方向上的投影的模和另一個向量在這向量的方向上的投影的乘積乘積. .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 關(guān)于數(shù)量積的說明：關(guān)于數(shù)量積的說明：0)2( ba.ba .|)1(2aaa 證證證證機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)量積符合下列運算規(guī)律：數(shù)量積符合下列運算規(guī)律：（1 1）交換律）交換律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 為數(shù)為數(shù)： ),()()(bababa 若若 、 為數(shù)為數(shù)： ).()()(baba 機動 目錄 上頁

3、下頁 返回 結(jié)束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 數(shù)量積的坐標表達式數(shù)量積的坐標表達式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標表示式兩向量夾角余弦的坐標表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知兩向量垂直的充要條件為由此可知兩向量垂直的充要條件為機動 目錄 上頁 下頁

4、 返回 結(jié)束 例例 1 1 已知已知4, 1 , 1 a，2 , 2, 1 b，求，求（1）ba ；（2）a與與b的夾角；的夾角；（3）a在在b上的投影上的投影.解解機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例 2 2 證明向量證明向量c與向量與向量acbbca)()( 垂直垂直.證證機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)設(shè)O為為一一根根杠杠桿桿L的的支支點點，有有一一力力F作作用用于于這這杠杠桿桿上上P點點處處力力F與與OP的的夾夾角角為為 ，力力F對對支支點點O的的力力矩矩是是一一向向量量M，它它的的模模|FOQM sin

5、|FOP M的的方方向向垂垂直直于于OP與與F所所決決定定的的平平面面, 指指向向符符合合右右手手系系.實例實例二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積LFPQO 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 向量向量a與與b的的向量積向量積為為 bac sin|bac (其其中中 為為a與與b的的夾夾角角)定義定義c的的方方向向既既垂垂直直于于a，又又垂垂直直于于b，指指向向符符合合右右手手系系. .關(guān)于向量積的說明：關(guān)于向量積的說明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量積也稱為向量積也稱為“叉積叉積”、“外積外積”.機動 目

6、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 向量積符合下列運算規(guī)律：向量積符合下列運算規(guī)律：（1）.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 為數(shù)：為數(shù)： ).()()(bababa )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin , 0 )(0sin . 0sin| baba證證ba/ba/或或0 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)

7、()()( 向量積的坐標表達式向量積的坐標表達式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三階行列式的定義：三階行列式的定義：323122211333312321123332232211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa已知9個數(shù) a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32, a33, 定義一個數(shù)，記為：向量積還可用三階行列式表示向量積還可用三階行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

8、zzyxbaaa 000, 0 yxaa補充補充|ba 表表示示以以a和和b為為鄰鄰邊邊的的平平行行四四邊邊形形的的面面積積.xb、yb、zb不不能能同同時時為為零零，但但允允許許兩兩個個為為零零，例如，例如，abbac 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例 3 3 求求與與kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的單單位位向向量量.解解機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例 4 4 在在頂頂點點為為)2 , 1, 1( A、)2 , 6, 5( B和和)1, 3 , 1( C的的三三角角形形中中，求求AC邊邊上上的的高高BD.ABC解解D機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例 5

9、 5 設(shè)設(shè)向向量量pnm,兩兩兩兩垂垂直直，符符合合右右手手規(guī)規(guī)則則，且且4| m，2| n，3| p，計計算算pnm )(.解解機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義 設(shè)已知三個向量設(shè)已知三個向量a、b、c，數(shù)量，數(shù)量cba )(稱為這三個向量的稱為這三個向量的混合積混合積，記為，記為cba. .cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 設(shè)設(shè),kcjcicczyx 混合積的坐標表達式混合積的坐標表達式三、向量的混合積三、向量的混合積機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 （1）向量混合積的幾何意義：）向量混合積的幾何意義： 向量的混合積向量的混合積cbacba )(是這樣是這樣的一個數(shù)，它的絕對值表的一個數(shù)，它的絕對值表示以向量示以向量a、b、c為棱的為棱的平行六面體的體積平行六面體的體積.acbba 關(guān)于混合積的說明：關(guān)于混合積的說明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac （3）三向量）三向量a、b、c共面共面. 0 cba機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 已已知知2 cba， 計計算算)()()(accbba .解解例例6機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例 7 7 已知空間內(nèi)不在一平面上