全等三角形的提高拓展訓(xùn)練經(jīng)典題型50題(含答案)

1、全等三角形的提高拓展訓(xùn)練知識(shí)點(diǎn)睛全等三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)角的角平分線相等，面積相等.尋找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，常用到以下方法：(1)全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊.(2)全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角.(3)有公共邊的，公共邊常是對(duì)應(yīng)邊.(4)有公共角的，公共角常是對(duì)應(yīng)角.(5)有對(duì)頂角的，對(duì)頂角常是對(duì)應(yīng)角.(6)兩個(gè)全等的不等邊三角形中一對(duì)最長(zhǎng)邊(或最大角)是對(duì)應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角)，一對(duì)最短邊(或最小角)是對(duì)應(yīng)邊(或?qū)?yīng)角).要想正確地表示兩個(gè)三角形全等，找出對(duì)應(yīng)的元素是關(guān)鍵.全等三

2、角形的判定方法：(1)邊角邊定理(SAS):兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(2)角邊角定理(ASA):兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(3)邊邊邊定理(SSS：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(4)角角邊定理(AAS):兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(5)斜邊、直角邊定理(HL)：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.全等三角形的應(yīng)用：運(yùn)用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問(wèn)題，在證明的過(guò)程中，注意有時(shí)會(huì)添加輔助線.拓展關(guān)鍵點(diǎn)：能通過(guò)判定兩個(gè)三角形全等進(jìn)而證明兩條線段間的位置關(guān)系和大小關(guān)系.而證明兩條線段或兩個(gè)角的和、差、倍、分相等

3、是幾何證明的基礎(chǔ).例題精講板塊一、截長(zhǎng)補(bǔ)短【例1】(06年北京中考題)已知 ABC中，A 60°, BD、CE分別平分 ABC和.ACB , BD、CE交于點(diǎn)O,試判斷BE、CD、BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.【例2】頁(yè)腳MBE如圖，點(diǎn) M為正三角形 ABD的邊AB所在直線上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)B除外)，作DMN 60 ,射線MN與/DBA外角的平分線交于點(diǎn) N , DM與MN有怎樣的 數(shù)量關(guān)系？【變式拓展訓(xùn)練】如圖，點(diǎn)M為正方形 ABCD的邊AB上任意一點(diǎn), 于點(diǎn)N , MD與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？MN DM且與/ABC外角的平分線交【例3】 已知：如圖， ABCD是正方形，/ FAD =

4、 /FAE.求證：BE+DF=AE.【例4】 以 ABC的AB、AC為邊向三角形外作等邊ABD、 ACE,連結(jié)CD、BE相交于點(diǎn)O.求證：OA平分 DOE .A【例5】（北京市、天津市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）如圖所示，ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，BDC是頂角為120的等腰三角形，以 D為頂點(diǎn)作一個(gè)60的 MDN，點(diǎn)M、N分別在AB、AC上，求 AMN的周長(zhǎng).【例6】五邊形 ABCDE中，AB=AE,BC + DE=CD ,求證：AD平分/ CDE/ ABC + Z AED=180EBAC 60 , AD 是 BAC 的平分線，且 AC AB BD ,A 20 ,在邊AB上取點(diǎn)D ,使AD BC ,A板塊

5、二、全等與角度【例7】如圖，在ABC中, 求 ABC的度數(shù).【例8】在等月ABC中，AB AC,頂角 求 BDC .頁(yè)腳C【例9】（“勤奮杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）如圖所示，在 ABC中，AC BC,M在AC上，N在BC上，且滿足 BAN 50 , ABM 60 ,求 NMB.頁(yè)腳【例10 在四邊形ABCD中，已知AB AC, 求 DBC的度數(shù).ABD 60 , ADB 76 ,如圖所示，DBC 24 ,在四邊形ABCD中求 ACD的度數(shù).【例11】（日本算術(shù)奧林匹克試題）CAB 36 , ABD 48 ,【例12（河南省數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）在正ABC內(nèi)取一點(diǎn)D ,使DA DB, 在 ABC 外取一點(diǎn) E

6、,使 DBE DBC，且 BE BA,求 BED.【例13（北京市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）如圖所示，在 ABC中，BAC BCA 44 , M為 ABC 內(nèi)一點(diǎn)，使得MCA 30 , MAC 16 ,求 BMC的度數(shù).全等三角形證明經(jīng)典20題（含答案）1.已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中點(diǎn)，AD是整數(shù)，求 ADA延長(zhǎng) AD至ij E,使DE=AD,則三角形ADC全等于三角形EBD即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD是整數(shù)，則AD=52.已知：/ 1=Z2, CD=DE ,

7、EF/AB ,求證：EF=AC 證明：過(guò)E點(diǎn)，作EG/AC ,交AD延長(zhǎng)線于 G則/ DEG= ZDCA , / DGE= Z 2又 CD=DE ./ADC 且/GDE (AAS)EG=AC EF/AB ./ DFE=Z 11=/2 ./ DFE=Z DGE.EF=EGEF=AC證明：在AC 上截取 AE=AB ,連接 ED . AD 平分/ BAC/ EAD= / BADX / AE=AB , AD=AD /AEDEABD (SAS)/ AED= / B, DE=DB .AC=AB+BDAC=AE+CE.CE=DE/ C= / EDC / AED= / C+ / EDC=2 / CB=2Z

8、C 4.已知：AC 平分/ BAD , CEXAB , /B+/D=180 ° ,求證：AE=AD+BE 證明：在AE上取F,使EF= EB,連接CF因?yàn)镃E± AB所以/ CEB = Z CEF= 90 °因?yàn)?EB=EF, CE = CE,所以 CEBA CEF所以/ B=Z CFE因?yàn)? B+Z D= 180 ° , ZCFE + Z CFA = 180 °所以/ D = Z CFA因?yàn)锳C平分/ BAD所以/ DAC =Z FAC又因?yàn)锳C =AC所以 ADCAFC (SAS)所以AD = AF所以 AE = AF + FE= AD +

9、 BE5.如圖，四邊形 ABCD中，AB / DC , BE、CE 分別平分/ ABC、/ BCD ,且點(diǎn) E在 AD 上。求證： BC=AB+DC 。證明：在BC上截取BF=BA,連接EF./ ABE= / FBE,BE=BE,則ABE0A FBE(SAS), EFB=Z A;AB 平行于 CD,則：/ A+ / D=180 ° 又/ EFB+Z EFC=180 ° ,貝UEFC=又/ FCE= / DCE,CE=CE,故FCEA DCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.6. 已知，E 是 AB 中點(diǎn)，AF=BD , BD=5 , AC=7 ,求

10、 DCE作AG / BD交DE延長(zhǎng)線于 GAGE全等BDEAG=BD=5AGF sCDFAF=AG=5所以 DC=CF=27. （5 分）如圖，在 ABC 中，BD=DC , Z 1= Z2,求證：AD ± BC.ZABC= Z ACB;延長(zhǎng)AD至H交BC于H;BD=DC;所以：/ DBC= /角 DCB;/ 1= /2;/ DBC+ / 1=/角 DCB+ / 2;所以:AB=AC;三角形ABD全等于三角形ACD;/ BAD= / CAD;AD是等腰三角形的頂角平分線所以:AD垂直BC8. （5分）如圖，OM 平分/ POQ , MA ±OP,MB±OQ , A

11、、B為垂足，AB交OM于點(diǎn) N.OAB=Z OBA因?yàn)锳OM 與MOB都為直角三角形、共用 OM ,且/ MOA= / MOB所以MA=MB所以/ MAB= / MBA因?yàn)? OAM= / OBM=90 度所以/ OAB=90- ZMAB / OBA=90- /MBA/ OBA9. （5分）如圖，已知 AD / BC, / PAB的平分線與/ CBA的平分線相交于 E, CE的連線 交 AP 于 D.求證：AD + BC=AB.證明：做BE的延長(zhǎng)線，與AP相交于F點(diǎn)， PA/BC ./ PAB+ / CBA=180 ° ,又,，AE, BE均為/ PAB和/ CBA 的角平分線 /

12、EAB+ / EBA=90 °/ AEB=90 ° EAB 為直角三角形在三角形 ABF中，AEXBF,且AE為/ FAB的角平分線三角形FAB為等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形 DEF與三角形BEC中， / EBC= / DFE,且 BE=EF, / DEF= / CEB ,三角形 DEF與三角形BEC為全等三角形，DF=BCAB=AF=AD+DF=AD+BC 10. （6分）如圖， ABC中，AD是/ CAB的平分線，且 AB=AC+CD,求證：/ C=2 /B證明：在 AB上找點(diǎn)E,使AE=ACA. AE=AC , / EAD= / CAD , AD=AD.

13、-.ADE ADC 。 DE=CD , Z AED= ZC,. AB=AC+CD , DE=CD=AB-AC=AB-AE=BEZB=Z EDB/ C= / B+ / EDB=2 / B11 . （7分）如圖， ABC中，/ BAC =90度，AB=AC , BD是/ ABC的平分線，BD的延長(zhǎng)線垂直于過(guò) C點(diǎn)的直線于 E,直線CE交BA的延長(zhǎng)線于F.求證：BD=2CE.證明：延長(zhǎng) BA、CE,兩線相交于點(diǎn) F BEXCE ./ BEF=Z BEC=90 °在 8£5和4 BEC中/ FBE=Z CBE, BE=BE, / BEF=Z BEC . BEF BEC(ASA)EF

14、=ECCF=2CE / ABD+ / ADB=90 ° , ACF+ / CDE=90 ° 又. / ADB= ZCDE/ ABD= / ACF在 ABD和 ACF中/ ABD= / ACF, AB=AC, / BAD= / CAF=90 ABDAACF(ASA)BD=CFBD=2CE12、(10分)如圖：AE、BC交于點(diǎn) M, F點(diǎn)在 AM 上,BE/ CF , BE=CF。求證：AM 是ABC 的中線。證明：. BE | CF/ E=/ CFM , / EBM= / FCM .BE=CF . BEMA CFM.BM=CM .AM是 ABC的中線.13、（10分）AB=A

15、C , DB=DC , F是AD的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)。求證:證明：在 ABD與/ ACD 中AB=ACBD=DCAD=ADABDAACD ./ ADB= / ADC ./ BDF= Z FDC在 BDF與 FDC中BD=DC/ BDF= / FDCDF=DF . FBDA FCDBF=FC14、（12 分）如圖：AB=CD , AE=DF , CE=FB。求證:AF=DE。因?yàn)锳B=DCAE=DF,BF=CFCE=FBCE+EF=EF+FB所以三角形ABE=三角形CDF因?yàn)榻荄CB=角ABFAB=DC BF=CE三角形 ABF二三角形CDE所以AF=DE15 .已知：如圖所示， AB = AD,

16、BC = DC, E、F分別是 DC、BC的中點(diǎn)，求證：AE = AF。連結(jié)BD,得到等腰三角形 ABD和等腰三角形 BDC ,由等 腰兩底角相等得：角ABC二角ADC在結(jié)合已知條件證得： ADEA ABF得 AE=AF16 .如圖，在四邊形 ABCD中，E是AC上的一點(diǎn)，/ 1=/2, /3=/4,求證：/ 5= / 6 .因?yàn)榻?二角2/3=/4所以角 ADC二角ABC.又因?yàn)锳C是公共邊，所以AAS=三角形ADC全等于三角形ABC.所以BC等于DC ,角3等于角4,EC=EC三角形DEC全等于三角形BEC 所以/ 5=7 617 .已知：如圖，AB=AC, BD AC, CE AB,垂足

17、分別為 D、E, BD、CE相交于點(diǎn)F,求證：BE=CD .證明：因?yàn)?AB=AC ,所以 / EBC= / DCB因?yàn)?BDXAC , CEXAB所以 / BEC= / CDBBC=CB （公共邊）則有三角形EBC全等于三角形 DCB所以BE=CD18 .如圖，在 ABC 中，AD 為/ BAC 的平分線，DEXABT E, DF± AC 于 F。求證：DE=DF.AAS 證AD EA ADF19.在 ABC 中， ACB 90 , AC BC ,直線 MN 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C ,且 AD MN 于 D ,BEDEMN于E .當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖AD BE ；1的位置時(shí)，求證: ADC

18、 CEB；2的位置時(shí)，(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明;(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖 若不成立，說(shuō)明理由.(1)證明：ACB=90 ° , / ACD+ / BCE=90 ° ,而 AD，MN 于 D , BEX MN 于 E,，/ADC= / CEB=90 ° , /BCE+/ CBE=90 ./ ACD= / QBE.在 RtAADC 和 Rt CEB 中， ZADC= / CEB / ACD= / CBE AC=CB , RtAADC RtACEB (AAS), .AD=CE , DC=BE, .DE=DC+CE=BE+AD(2)不成立，證明：在 ADC CEB 中，/ADC= / CEB=90 ° /ACD= / CBE AC=CB , .ADC CEB (AAS), .AD=CE ,