經(jīng)濟數(shù)學基礎(微積分)講義

1、-作者xxxx-日期xxxx經(jīng)濟數(shù)學基礎(微積分)講義【精品文檔】經(jīng)濟數(shù)學微積分學習講義合川電大蘭冬生知識點一：5個基本函數(shù)1，常數(shù)函數(shù)， （是常數(shù)）例如：，這些函數(shù)可以看成是隱含，例如可看成。2，冪函數(shù)，（是一個數(shù)）形如，是冪函數(shù)，注意：僅僅是這種形式是冪函數(shù)，其他的任何一點形式變化都不是，是冪函數(shù)，就不是冪函數(shù)，只能是下面，上面（指數(shù)）是一個數(shù)！以下基本函數(shù)均如此3，指數(shù)函數(shù)，（是一個數(shù)）例如：，不是指數(shù)函數(shù)。4，對數(shù)函數(shù)，這里要求必須大于零，我們的考試常常拿來考“求定義域”這里我們只認識兩個特殊的對數(shù)函數(shù)，一個是，他是的簡寫，是一個數(shù)，和我們知道的一樣，另一個是，他是的簡寫。5，三角函數(shù)

2、，特別注意的是，都不是三角函數(shù)。l 這5個基本函數(shù)是我們要學習的函數(shù)的主要構成細胞。l 例如：，二次函數(shù)，由冪函數(shù)，常數(shù)函數(shù)構成。知識點二：極限1，什么是數(shù)列？數(shù)列就是按照“一定規(guī)律排列的一組數(shù)”，我們常見的是無限數(shù)列。數(shù)學符號記為：例如：數(shù)列：1,2,4,8,16,32，發(fā)展規(guī)律依 變化， 1，發(fā)展規(guī)律依 變化，2，極限 學習極限，一個非常重要的認識就是“分母越大，分數(shù)越小” 數(shù)列的極限，就是指數(shù)列的一個趨近值，（即是指一串數(shù)的趨近值）例如：1，分母由1,2,3,4，變化，當分母無限大時，最后，這個無限數(shù)列趨近于0，這里，我們簡單描述這個變化， 分母越大，分數(shù)越小是趨近，是無窮大的意思，無窮

3、大是指非常非常大，無法計量。是指數(shù)軸的最遠端。用極限式寫為：這個位置寫趨近值。分母無窮大，分數(shù)趨近值為0說明趨向無窮大，例如：1，這個數(shù)列由，取0,1,2,3,4，得到， 分母越大，分數(shù)越小用極限式寫為分母無窮大，分數(shù)趨近值為0這個位置寫趨近值。例：求極限分析： 所以，解為 解：=1例：求極限分析：可變?yōu)椋^續(xù) 分子是數(shù)，分母是無窮大，一個固定數(shù)與無窮大相比，固定數(shù)顯得太小太小，忽略不計， 不是所有數(shù)列都有極限，極限存在是指數(shù)列趨近于一個固定數(shù)，不趨近一個數(shù)，說極限不存在。例如：時，所以不存在，極限存在，稱數(shù)列收斂，不存在，稱為發(fā)散。函數(shù)的極限，就是把前面的看成是可取任何數(shù)的就可以了。例如：求

4、極限，分析：理解為時， 分母越大，分數(shù)越小所以函數(shù)在某一點的極限如圖：函數(shù)函數(shù)在這一點不取值，的取值可無限靠近1，于是就有函數(shù)在一點的極限，這個極限的意思是： 當無限靠近1時，也說趨近1 趨近于多少從圖上看得出值趨近于1函數(shù)在一點的極值記為：，是函數(shù)在點處的極限值，是一個趨近值。例：求極限，這是一類直接帶入分母為0的極限，這類極限需要分解因式約去為0分母，然后直接帶入求值。分析：直接帶入，分母為0，于是對分子分解因式，此時帶1，式子有意義，直接算出，所以，=2考題分析：計算極限。解：計算極限。解：計算極限 解 = = = *：求函數(shù)在某一點的極限：1，帶入分母不為0，就直接帶入求值。 2，帶入

5、分母為0，先分解因式，約掉為0分母，然后帶入求值。關于求極限的一般方法比較分子和分母最高次項系數(shù)，1，分子最高次項指數(shù)小于分母最高次項指數(shù)，極限為02，分子最高次項指數(shù)等于分母最高次項指數(shù)，極限為系數(shù)比3，分子最高次項指數(shù)大于分母最高次項指數(shù)，極限不存在題目中次數(shù)最高的項，稱為最高次項，指數(shù)稱為次數(shù)。這個題目中最高次數(shù)是3，例：求極限分析：當時，遠比大。比指數(shù)小的，都可以視為0，因此，這個極限分母遠比分子大，極限值是0。也可以對分子分母同除以，得=，當時，。所以，此題極限是0.前面的2稱為最高次項系數(shù)前面的3稱為最高此項系數(shù)例：求極限，分析，比指數(shù)小的，都可以視為0，常數(shù)直接去掉。所以此題極限

6、是最高次項系數(shù)比，也可以分子分母同除以。解：=例：求極限分析，顯然，分子最高次數(shù)為3，當時，分子遠大于分母，次極限不存在。 最高次項系數(shù)比歸納為如下：此處也可說極限不存在解此類題只看最高次項，直接寫答案?？碱}舉例：求極限 解：=求極限 解：兩個重要極限：（這兩個是公式，直接使用！）1，或 ，考試?，F(xiàn)，希望注意，現(xiàn)以考題作講解。公式應理解為，或，括號里面填任何變量都可以，但必須是相同的。特別要注意，這里是例：求極限，分析：通過變形，達到內相同，=，因為，時，所以=5=5這就是我們要的，3個位置都一樣因為是乘積，常數(shù)5可以直接拿出來當時，1-1=0 例，求極限0分析：=0也可以=加減法可以分開求，

7、例， （形成性考核作業(yè)）這里可以寫，也可以寫，是一個意思，所以，考試的時候，直接寫解：原式=總結：極限的運算遵循加法可分，常數(shù)可透原則， 也遵循乘法可分原則2， 或 這個公式都要理解成，只要里一樣，極限值就是 次類考得少，只舉一個簡例，例求極限分析：=此處與是一樣的。知識點： 無窮大量與無窮小量，此考點經(jīng)?？迹鋵嵑唵?，極限值是0的就是無窮小量，極限值是0的就是無窮小量。極限值是無窮大的就是無窮大量?？碱}舉例例：1，已知，當 時，為無窮小量2，已知，當 時，為無窮小量3，設，當（A）時，f(x)為無窮小量Ax0 Bx1 Cx- Dx+4，當時，下列變量為無窮小量的是（ D ）A B C D 5

8、，已知，當（A ）時，為無窮小量.A. B. C. D. 6，當時，變量（ D ）為無窮小量。A BC D7，當時，變量（ D ）是無窮小量。A BC D函數(shù)的連續(xù)可以再一段數(shù)上面都取得到，稱函數(shù)在這一段數(shù)上面連續(xù)，例如，在這一段數(shù)上面連續(xù)，但在這段數(shù)上面不連續(xù)，因為取不到0.以下用考題來分析，1，函數(shù) 在x = 0處連續(xù)，則k = ( B )A-2 B-1 C1 D22函數(shù) 在x = 0處連續(xù)，則k = (C)A-2 B-1 C1 D2 3. 函數(shù) 在x = 0處連續(xù)，則（ A ）A. 1 B. 0 C.2 D. 4函數(shù) 在x = 0處連續(xù)，則k = (B)5若函數(shù)，在處連續(xù)，則 ( B )

9、 A BC D 6已知，若f(x)在（，+）內連續(xù)，則a=27已知，若在x=1處連續(xù)，則2 .此類題目就是對上面一個式子求當不等于那個數(shù)時的極限。1，求 2，求 3，求=下面1時的值，4，求，5，求，6，求，7，求分析：要使得函數(shù)連續(xù)，必須要上面的極限等于下面的，具體意義請參看教材中“函數(shù)的連續(xù)性”一節(jié)。另外補充，找函數(shù)不連續(xù)的點，一般可以理解為找函數(shù)無意義的點，比如間斷點（就是不連續(xù)點）是分母為0的點和求函數(shù)定義域：函數(shù)的定義域就是指使得式子有意義的的取值范圍。一些常見的式子有意義的條件：1，分母不等于0；2，開平方：根號里面大于等于0，如果根號在分母下面，一定不要使分母是0了。3，對數(shù)里面

10、必須大于0，例如：，的位置必須大于0，中，位置必須大于0，若，作分母，位置還不能取1考題舉例：1函數(shù)的定義域是（ D ） AB CD 且2函數(shù)的定義域是 (A） A B C D 3函數(shù)的定義域是（-1,，0）（0,3 )4.函數(shù)的定義域是 5函數(shù)的定義域是-5，2.6函數(shù)的定義域是 .7函數(shù)的定義域是 8函數(shù)的定義域是 （0，3.9函數(shù)的定義域是10函數(shù)的定義域是詳細講解2,3題，解2，要使得有意義，根號里面，結合分母不能是0，有同時還要滿足，位置大于0，即，所以有并且，合起來就是是區(qū)間表示，=3，要使得有意義，根號里面大于等于0，得，位置要大于0，同時作分母，還必須不等于1，即且，得到，且，

11、要是整個式子有意義，還得，所以，且，所以答案：（-1,，0）（0,3，是合起來的意思，（-1,，0）（0,3意思是：且用區(qū)間表示就是用區(qū)間表示就是用區(qū)間表示就是等得到，方括號，等不到圓括號。用區(qū)間表示就是用區(qū)間表示就是用區(qū)間表示就是請結合上兩個例子學習。關于指數(shù)是分數(shù)和負數(shù)的學習僅以實例來學習，指數(shù)是負數(shù)：只要是指數(shù)是負數(shù)，去掉負數(shù)取倒數(shù)，有時候經(jīng)常反過來用指數(shù)是分數(shù)：，分母是開方，分子是次方。知識點三，導數(shù)求導：求導是在5個基本函數(shù)上進行！， ， 這種形如的導數(shù)是把指數(shù)放下來，指數(shù)減1，5個基本函數(shù)的導數(shù)1，例如，,2，例如，3，這是一個非常特殊的導數(shù)，的導數(shù)等于他本身4，,5， 這是5個基

12、本函數(shù)的導數(shù)公式，以后的學習中，主要是由這5個結合構造出復雜的函數(shù)，但是我們都能分解成這5個基本函數(shù)，來求導，再后面的積分學習也是如此。例如：，求解：象這種由幾個基本函數(shù)加在一起的，可以分開求，我們稱為加法可分例如：，求解：象這種，基本函數(shù)前的系數(shù)（常數(shù)）可以直接拿出來，我們稱為常數(shù)可透兩個基本函數(shù)乘積的導數(shù)：等于一個求導乘以另一個，再加上這個乘以另一個求導，例如：，求分式的導數(shù)：例如 ，求至此，我們學習了由基本函數(shù)加減乘除構造成的函數(shù)的導數(shù)求法，綜合舉例：例如，已知，求這里特別注意，求微分：由導數(shù)的意義，求微分就是求，所以，我們主需要先求出，然后再寫成這種形式就可以了，例如：，求解：因為，所

13、以復合函數(shù)求導，這是求導最難的，也是必考的，每題10分，其實也不難復合的意思就是一層套一層，我們可以分層從外到內求出。例如：，我們來求這3個復合函數(shù)的導數(shù)。1，主體是由構成，把看成括號里面內容，由于，所以，對主題按基本函數(shù)求導，再乘以括號內函數(shù)的導數(shù)，這個函數(shù)可以看成是，復合而成。2，主體是，由于，所以，3，主體是，由，所以，又可以依求出，因為，所以，所以，繼續(xù)求下去 1， 2， 做復合函數(shù)的題，一定要對基本函數(shù)導數(shù)熟悉，特別是那5個基本函數(shù)，第一步就要認清這個主體是由哪個基本函數(shù)構成，對主題按基本函數(shù)求導，再乘以括號內函數(shù)的導數(shù)，考題舉例，1設，求 解： 所以 2已知y =，求dy 解 因為

14、 = = 所以 3設 y，求dy解 因為 y 所以 dy = ()dx 4設，求。 解： 5已知，求 解： 6已知，求 解： 7已知，求；解：8已知，求dy 解： dy=9設 y，求dy解：10設，求 解：11已知，求解： 12設，求解： 13設 y，求 解 因為 y所以 14設，求解：由導數(shù)運算法則和復合函數(shù)求導法則得 15已知，求 解：因為 所以 = 16設, 求.解：因為 所以 17已知y =，求dy 解 因為 = = 所以 18設，求19設，求。20已知，求。21設，求22設，求23.設，求解：由微分四則運算法則和微分基本公式得 24設，求 解：因為 所以 25.已知，求解：由導數(shù)運算

15、法則和復合函數(shù)求導法則得 26.設，求解：由導數(shù)運算法則和復合函數(shù)求導法則得 27設，求 解：因為 所以 28設求解：= = dy=隱函數(shù)求導：隱函數(shù)求導就是對求導，然后再乘以。隱函數(shù)求導，是因為解不出，具體步驟，1，方程兩邊對求導，把里面的當成操作求導，但若把當成求導后，要對這個式子乘以，有但不求導的地方不乘，2，解出。例如：，求，解：所以，解出得考題舉例：1由方程確定是的隱函數(shù)，求解 在方程等號兩邊對x求導，得 故 2由方程確定是的隱函數(shù)，求 解 在方程等號兩邊對x求導，得 故 3設函數(shù)由方程確定，求解 方程兩邊對x求導，得 當時，所以，函數(shù)在某一點的導數(shù)：此類題目是函數(shù)在一點的導數(shù)，就是

16、先求出函數(shù)導數(shù)，然后再帶入計算，第一步，求出導數(shù)，第二步帶入求值。括號里面是的值。1設，求.解：因為 = 所以 = = 0 2已知，求解：，所以 3已知，求；解 = 求積分：積分是求導的逆運算.例：已知，求導運算，。已知，求求導前的函數(shù)（稱原函數(shù)）這一運算的數(shù)學符號，讀作積分記：，其中是任意常數(shù)求導前的函數(shù)，求導過程求導后，添加一個，是因為，為了邏輯上的相等，求導，所以，注意五個基本函數(shù)的積分：以后直接利用公式求積分！ 注：后面都加上，加的結果表示所有原函數(shù)。求積分遵循：加法可分，常數(shù)可透原則。例：求積分，解：=例：求積分，=湊微分：湊微分遵循：若，則，這里，是指的導數(shù)，只需滿足括號內相同即可

17、。例：求積分，解：= 1，利用基本函數(shù)，公式為，要把公式中的看成。2， 中的可理解為對求導，。 3，湊，是反過來運用，湊成有用的，然后用，求出積分。4，湊微分要求對5個基本公式要熟悉。例如：求積分，解：=例如：求積分，解：=不是所有的積分都可以用湊微分作出來，湊微分只是一種手段，能求的積分是很少的一部分，接下來學習分步積分，分部積分公式：，公式特點：是含有的兩個因式的乘積，若見是乘積的形式，可考慮套用公式。分部積分的重點在于確定哪個是，哪個是，確定原則是找出來的求導后與的乘積可消，使得簡單，可積。（可參照例題作）考題舉例，1，求積分， = 寫成公式的形式 = = = = =2，求積分，解：=3

18、，計算不定積分.解：=4，計算不定積分.解：由分部積分法=定積分：定積分就是在前面學的不定積分上加上限和下限，具體算法是先算出不定積分，然后上限（帶入）減下限（帶入）上限，也就是積分號上標那個數(shù)例如：不定積分=上限帶入的值減下限帶入的值 定積分=2下限，也就是積分號下標那個數(shù)定積分不要考題綜合舉例：1 解 = = （湊微分）2. 解：原式 3 解 = （湊微分）4 解： = = =(25-ln26) 最后算限的時候，可以分開，也可以合攏=5 解：=- = （分部積分法）6 解法一 = =1 注意 解法二 令，則=7 解 = 分子分母同除 =1+ ln 8. 解： = 分部積分9. 計算定積分解：由分部