五年級(jí)奧數(shù)春季班第14講 從反面情況考慮

1、第十四講 從反面情況考慮模塊一、幾何中的反面考慮例1如圖長(zhǎng)方形abcd 的長(zhǎng)ad 為9cm，寬ab 為6cm，ae=4cm，fc=5cm，則陰影部分的面積是_17_.解：長(zhǎng)方形abcd的面積是9×6=54（cm2），又ae=4，fc=5；所以be=2，bf=4，所以saed=18cm2，sdfc=15cm2，sbef=4cm2，于是sdef=5418154=17（cm2）。例2如圖所示，圖中是一個(gè)正六邊形，面積為1040平方厘米，空白部分是6個(gè)半徑為10厘米的小扇形，則陰影部分的面積為 412 平方厘米。（圓周率取3.14）解：由圖知，正六邊形的邊長(zhǎng)是20厘米，每個(gè)內(nèi)角是120

2、76;，六個(gè)扇形拼成2個(gè)圓。這2個(gè)圓的面積是2××102=628平方厘米，所有陰影部分的面積是1040628=412平方厘米。模塊二、計(jì)數(shù)中的反面考慮例3下圖為4×4的點(diǎn)陣，取不同的三個(gè)點(diǎn)可能組合成一個(gè)三角形，問(wèn)總共可能組成 516 個(gè)三角形。解：三角形的個(gè)數(shù)為個(gè)。例4（1）所有三位數(shù)中，與456相加至少出現(xiàn)一次進(jìn)位的數(shù)有 800 個(gè)；（2）所有三位數(shù)中與456相加產(chǎn)生的進(jìn)位次數(shù)少于三次的數(shù)有 720 個(gè)。解：（1）在百位與4相加不進(jìn)位的有1、2、3、4、5共5個(gè)數(shù)，在十位與5相加不進(jìn)位的有0、1、2、3、4共5個(gè)數(shù)，在個(gè)位與6相加不進(jìn)位的有0、1、2、3共4個(gè)數(shù)

3、，所有三個(gè)位置都不進(jìn)位的有5×5×4=100個(gè)，三位數(shù)共有900個(gè)，所以至少出現(xiàn)一次進(jìn)位的有900100=800（個(gè)）；（2）在個(gè)位與6相加進(jìn)位的有9、8、7、6、5、4共6個(gè)數(shù)，在十位與5相加進(jìn)位的有9、8、7、6、5，4（包含從個(gè)位進(jìn)上來(lái)的1）有6個(gè)，在百位與4相加進(jìn)位的有9、8、7、6、5（包含從個(gè)位進(jìn)上來(lái)的1）共5個(gè)數(shù)， 所以進(jìn)行三次進(jìn)位的有5×6×6=180（個(gè)），于是進(jìn)行次數(shù)少于三次的有900180=720（個(gè)）。例5從15個(gè)同學(xué)中選出3人做游戲，甲、乙、丙三人至少有一人被選中的方法共有 235 種。解：15個(gè)人中選取3人的方法有（種），從1

4、2個(gè)人中選取3人的方法有（種）， 所以甲、乙、丙三人至少有一人被選中的方法共有455220=235（種）。模塊三、最值中的反面考慮例6有13個(gè)不同的正整數(shù)，它們的和是100，其中偶數(shù)最多有 7 個(gè)，最少有 5 個(gè)。解：100是偶數(shù)，13個(gè)正整數(shù)相加，應(yīng)該是偶數(shù)個(gè)奇數(shù)和若干個(gè)偶數(shù)的和為100.從最小的看起，1+2+3+13=91，10091=7，其中有7個(gè)奇數(shù)，6個(gè)偶數(shù)，但是奇數(shù)不能是奇數(shù)個(gè)，如果再減少一個(gè)奇數(shù)，增加一個(gè)偶數(shù)，可以得到1+2+3+12+14=92，這時(shí)有6個(gè)奇數(shù)，7個(gè)偶數(shù)。只要適當(dāng)增加14的大小，用22換掉14，這13個(gè)數(shù)的和為100。而如果偶數(shù)的個(gè)數(shù)還要增加，就要增加2個(gè)偶數(shù)，

5、使偶數(shù)的個(gè)數(shù)達(dá)到9個(gè)，而奇數(shù)為4個(gè)；最小的4個(gè)奇數(shù)是1、3、5、7；最小的9個(gè)偶數(shù)為2、4、6、8、10、12、14、16、18，這13個(gè)數(shù)的和是16+90=106>100，所以不可能有9個(gè)偶數(shù)，最多有7個(gè)偶數(shù)；同樣考慮1+2+3+13=91，10091=7，其中有7個(gè)奇數(shù)，6個(gè)偶數(shù)，把奇數(shù)的個(gè)數(shù)增加到8個(gè)為1、3、5、7、9、11、13、15，它們的和為64，5個(gè)最小的偶數(shù)的和2、4、6、8、10，它們的和為30，只要把10換成16，這13個(gè)數(shù)的和為100.而如果偶數(shù)的個(gè)數(shù)還要少，比如為3個(gè)，最小的三個(gè)偶數(shù)為2、4、6，而10個(gè)奇數(shù)最小為1、3、5、7、9、11、13、15、17、19

6、，這10個(gè)數(shù)的和已經(jīng)是100了，矛盾。所以偶數(shù)最少為5個(gè)。隨 堂 測(cè) 試1下圖是面積為9的正方形，其中四條線段的長(zhǎng)度已知，則陰影部分的面積是 4.25 。解：面積為9的正方形，邊長(zhǎng)為3，所以四個(gè)小三角形的面積分別是、2、0.75、1.5， 所以陰影部分的面積是9(0.5+2+0.75+1.5)=4.25.2如下圖，邊長(zhǎng)為4的正方形中放入一個(gè)半圓，則陰影部分的面積是 9.72 。（圓周率取3.14）解：正方形的邊長(zhǎng)為4，正方形的面積是16，半圓的直徑為4，半徑為2，所以半圓的面積是6.28， 所以陰影部分的面積是166.28=9.72.3如下圖，直角三角形的三條邊上有6個(gè)點(diǎn)，以這6個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可以畫(huà)出 19 個(gè)三角形。解：從6個(gè)點(diǎn)中任選三個(gè)點(diǎn)的方法種，其中有喪點(diǎn)在一條直線上， 所以可以畫(huà)出201=19個(gè)三角形。4所有四位數(shù)中，與6789相加至少產(chǎn)生一次進(jìn)位的數(shù)有 8982 個(gè)。解：在千位不進(jìn)位選取1、2、3有3種方法，在百位不進(jìn)位有0、1、2，有3種方法，在十位不進(jìn)位有0、1、兩種方法，在個(gè)位不進(jìn)位只能取0，1種方法。所以在四個(gè)數(shù)位上都不進(jìn)位有3×3×2×1=18個(gè)數(shù)，四位數(shù)一共有9000個(gè)，所以至少產(chǎn)生一次進(jìn)位的有900