61實踐與探索等周變形等積變形

1、6.3 實踐與探索實踐與探索 (等周變形等積變形等周變形等積變形)常用幾何圖形的計算公式長方形的周長長方形的周長 =長方形的面積長方形的面積 =三角形的面積三角形的面積 =圓的周長圓的周長=圓的面積圓的面積=長方體的體積長方體的體積 =圓柱體的體積圓柱體的體積 =（長寬）（長寬） 2 長長 寬寬 底底高高122r(其中其中r是圓的半徑）是圓的半徑）r長長寬寬高高 rh（這里（這里r為底面圓的半徑，為底面圓的半徑，h為圓柱體的高）為圓柱體的高）底面積底面積高高問題問題1 用一根長用一根長60厘米的鐵絲圍成一個長方形厘米的鐵絲圍成一個長方形（2） 使長方形的寬比長少使長方形的寬比長少4厘米，求這厘

2、米，求這個長方形的面積個長方形的面積（長與寬的比為（長與寬的比為3：2）（1） 使長方形的寬是使長方形的寬是 長的長的 ，求這個長方，求這個長方形的長和寬形的長和寬2360厘米厘米解：（解：（1）設(shè)長方形的長為）設(shè)長方形的長為x厘米，則寬為厘米，則寬為23x厘米，依題意得厘米，依題意得x23x22603xx52603106033601018xxxx 經(jīng)檢驗，符合題意經(jīng)檢驗，符合題意答：這個長方形的長是答：這個長方形的長是18厘米，寬是厘米，寬是12厘米。厘米。 （2）問：你打算如何設(shè)未知數(shù)？能否直接設(shè)面積為）問：你打算如何設(shè)未知數(shù)？能否直接設(shè)面積為 x平方厘米？平方厘米？解解: 設(shè)長方形的長為

3、設(shè)長方形的長為x厘米，則寬為（厘米，則寬為（x4）厘米，）厘米，依題意得依題意得xx42(x +x4) = 602(2x-4)=60 2x-4=30 2x=34 x = 17經(jīng)檢驗，符合題意經(jīng)檢驗，符合題意x4 = 174 = 13 (厘米厘米)s長方形長方形 = 1713 = 221（平方厘米）（平方厘米）答：長方形的面積是答：長方形的面積是221平方厘米。平方厘米。不是每道應(yīng)用題都是直不是每道應(yīng)用題都是直接設(shè)未知數(shù)，要認真分接設(shè)未知數(shù)，要認真分析題意，找出能表示題析題意，找出能表示題意的等量關(guān)系，再根據(jù)意的等量關(guān)系，再根據(jù)這個等量關(guān)系，確定如這個等量關(guān)系，確定如何設(shè)未知數(shù)。何設(shè)未知數(shù)。 想

4、一想想一想 比較（比較（1）、（）、（2）所得兩個長方形的面積大小，）所得兩個長方形的面積大小，觀察（觀察（1）、（）、（2）中什么量發(fā)生變化？）中什么量發(fā)生變化？ 什么量沒有發(fā)生變化？什么量沒有發(fā)生變化？（長、寬和面積發(fā)生變化，而周長沒有發(fā)生變化。）（長、寬和面積發(fā)生變化，而周長沒有發(fā)生變化。） 探探 索索 將題（將題（2）中的寬比長少）中的寬比長少4厘米改為厘米改為3厘米、厘米、2厘米、厘米、1厘米、厘米、0厘米（即長與厘米（即長與寬相等），長方形的面積有什么變化？寬相等），長方形的面積有什么變化？長寬之差（厘米）長寬之差（厘米）3210s長方形（平方厘米）長方形（平方厘米）222.752

5、24224.75225問：（問：（1）你有什么發(fā)現(xiàn)？試著歸納一下）你有什么發(fā)現(xiàn)？試著歸納一下 通過探索我們發(fā)現(xiàn)通過探索我們發(fā)現(xiàn)，長方形的周長一定長方形的周長一定的情況的情況下，它的長和寬越接近，面積就越大下，它的長和寬越接近，面積就越大.當長和寬當長和寬相等，即成為相等，即成為正方形正方形時，面積最大時，面積最大，通過以后，通過以后的學習，我們就會知道其中的道理的學習，我們就會知道其中的道理.用一元一次方程解決實際問題用一元一次方程解決實際問題,有三個要點：有三個要點：對現(xiàn)實情境問題的題意的理解對現(xiàn)實情境問題的題意的理解,能畫出示意圖的能畫出示意圖的盡量畫出來盡量畫出來 設(shè)未知數(shù)一般有兩種方法

6、，既設(shè)設(shè)未知數(shù)一般有兩種方法，既設(shè)直接未知數(shù)直接未知數(shù)和和間接未知數(shù)間接未知數(shù)，所設(shè)未知數(shù)的選擇對于能否列出，所設(shè)未知數(shù)的選擇對于能否列出方程以及列出方程的難易程度都有影響方程以及列出方程的難易程度都有影響.例如剛才的例如剛才的第（第（2）小題就是設(shè)間接未知數(shù)便于列方程）小題就是設(shè)間接未知數(shù)便于列方程一般的現(xiàn)實情境都包含多個等量關(guān)系一般的現(xiàn)實情境都包含多個等量關(guān)系,需要根據(jù)需要根據(jù)所設(shè)未知數(shù)所設(shè)未知數(shù),對各個等量關(guān)系進行分析、比較，作出對各個等量關(guān)系進行分析、比較，作出恰當?shù)倪x擇。恰當?shù)倪x擇。同學們有看過煉鋼廠的生產(chǎn)車間嗎？同學們有看過煉鋼廠的生產(chǎn)車間嗎？在鍛壓車間，我們可以看到工人經(jīng)常將一些

7、在鍛壓車間，我們可以看到工人經(jīng)常將一些“又矮又矮又胖又胖”的圓柱形鐵錠鍛造成的圓柱形鐵錠鍛造成“又瘦又長又瘦又長”的長方體的長方體條鋼。條鋼。你能根據(jù)自己的理解試著用橡皮泥先做出你能根據(jù)自己的理解試著用橡皮泥先做出“矮胖形矮胖形”圓柱體，再將它變成圓柱體，再將它變成“瘦長形瘦長形”長方體嗎？有何發(fā)長方體嗎？有何發(fā)現(xiàn)？找一找其中什么發(fā)生變化，什么沒有發(fā)生變化?，F(xiàn)？找一找其中什么發(fā)生變化，什么沒有發(fā)生變化。v圓柱體圓柱體 = v 長方體長方體 底面積底面積高高長長寬寬高高問題問題2 2現(xiàn)在已知圓柱體鋼錠的底面直徑為現(xiàn)在已知圓柱體鋼錠的底面直徑為20厘米厘米 ，高為，高為50厘米，要制造的長方體條鋼

8、的底面的長寬分別為厘米，要制造的長方體條鋼的底面的長寬分別為10厘米和厘米和5厘米厘米 。那么長方體條鋼的高是多少。那么長方體條鋼的高是多少 ？（精確到1厘米，取3.14 ） 解：設(shè)高為解：設(shè)高為x厘米，依題意得厘米，依題意得 v v圓柱體圓柱體 = v = v 長方體長方體10250 = 105x 50 x= 10050 x=100 x=31 4經(jīng)檢驗，符合題意經(jīng)檢驗，符合題意答；高約為答；高約為314厘米厘米 。問：比較問題問：比較問題1和問題和問題2的解題過程，有什么發(fā)現(xiàn)的解題過程，有什么發(fā)現(xiàn)? 歸納歸納: : （1 1）兩個問題都與幾何圖形的變形有關(guān)）兩個問題都與幾何圖形的變形有關(guān) 。

9、問題。問題1 1是是“等周變形等周變形”，問題，問題2 2是是“等積變形等積變形”。 解決這類解決這類問題的問題的關(guān)鍵是抓住其中的不變量，周長或體積關(guān)鍵是抓住其中的不變量，周長或體積 。（2 2）在這類問題中，要熟記常見幾何圖形的）在這類問題中，要熟記常見幾何圖形的面積面積 、體積公式。注意不要把直徑當成半徑、體積公式。注意不要把直徑當成半徑 。練一練練一練在一個底面直徑在一個底面直徑5厘米、高厘米、高18厘米的圓柱形瓶內(nèi)裝滿水，厘米的圓柱形瓶內(nèi)裝滿水，再將瓶內(nèi)的水倒入一個底面直徑再將瓶內(nèi)的水倒入一個底面直徑6厘米、厘米、 高高 10厘米的圓柱厘米的圓柱形玻璃杯中，能否完全裝下？若裝不下形玻璃

10、杯中，能否完全裝下？若裝不下 ，那么瓶內(nèi)水面還，那么瓶內(nèi)水面還有多高？若未能裝滿，求杯內(nèi)水面有多高？若未能裝滿，求杯內(nèi)水面 離杯口的距離離杯口的距離 。分析：分析：要解決要解決“能否完全裝得下能否完全裝得下”這個問題，實質(zhì)是這個問題，實質(zhì)是比較這兩個容器的大小，因此只要分別計算這比較這兩個容器的大小，因此只要分別計算這 兩兩個容器的容積，結(jié)果發(fā)現(xiàn)是否個容器的容積，結(jié)果發(fā)現(xiàn)是否“裝的下裝的下” ” 。發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)“裝不下裝不下”。等量關(guān)系是。等量關(guān)系是玻璃杯中的水的體積玻璃杯中的水的體積 + 瓶內(nèi)剩下的水的體積瓶內(nèi)剩下的水的體積 = 原整瓶水的體原整瓶水的體 積積解：解：22121256181022

11、25184vvvv 910 112.5 90不能完全裝下設(shè)瓶內(nèi)水面還有設(shè)瓶內(nèi)水面還有x厘米高，依題意得厘米高，依題意得2226551018222112.5112.59022.522.56.253.6xxxxxx 25 90 +4 6.25 6.25 經(jīng)檢驗，符合題意經(jīng)檢驗，符合題意答：瓶內(nèi)水面的高為答：瓶內(nèi)水面的高為3.6厘米。厘米。本課小結(jié)：本課小結(jié)：今天主要學習有關(guān)圖形變形的應(yīng)用題的解法，今天主要學習有關(guān)圖形變形的應(yīng)用題的解法，通過大家動手實驗，認真思考，通過大家動手實驗，認真思考，發(fā)現(xiàn)解決關(guān)發(fā)現(xiàn)解決關(guān)鍵是鍵是 找出找準問題中的等量關(guān)系找出找準問題中的等量關(guān)系。有些等量。有些等量關(guān)系是關(guān)系是 隱藏在題目的條件中的，要正確地找隱藏在題目的條件中的，要正確地找到它需要到它需要 我們聯(lián)系實際，積極探索。通過本我們聯(lián)系實際，積極探索。通過本節(jié)學習，我們也節(jié)學習，我們也 意識到將幾何圖形與代數(shù)知意識到將幾何圖形與代數(shù)知識有機的結(jié)合，能很識有機的結(jié)合，能很 有效、直觀地幫助我們有效、直觀地幫助我們解決很多問題。這種解題方法我們稱之為解決很多問題。這種解題方法我們稱之為數(shù)數(shù)形結(jié)合形結(jié)合 。作業(yè)：作業(yè)：1、課本、課本p14頁頁 練習練習1 p15頁頁 習題習