《數(shù)學(xué)模型》第1章

1、第第一一章章 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義數(shù)學(xué)建模的重要意義1.3 數(shù)學(xué)建模示例數(shù)學(xué)建模示例1.4 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟數(shù)學(xué)建模的方法和步驟1.5 數(shù)學(xué)模型的特點和分類數(shù)學(xué)模型的特點和分類1.6 怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型 實物模型實物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī)水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī) 物理模型物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖 符號模型符號模型模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分是為了一定目的，對客觀事物的一部分進(jìn)行簡縮、抽象、提煉

2、出來的進(jìn)行簡縮、抽象、提煉出來的原型原型的替代物的替代物.模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人們需要的那一部分特征中人們需要的那一部分特征.1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型我們常見的模型我們常見的模型你碰到過的數(shù)學(xué)模型你碰到過的數(shù)學(xué)模型“航行問題航行問題”用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速為答：船速為20km/h. .甲乙兩地相距甲乙兩地相距750km，船從甲到乙順?biāo)叫行?，船從甲到乙順?biāo)叫行?0h，從乙到甲逆水航行需從乙到甲逆水航行需50h，問船的速度是多少，問船的速度是多少?x=20y

3、 =5求解求解航行問題航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟 作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）； 用符號表示有關(guān)量（用符號表示有關(guān)量（x, y表示船速和水速）；表示船速和水速）； 用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以 時間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；時間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）； 求解得到數(shù)學(xué)解答（求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20, y=5）；）； 回答原問題（船速回答原問題（船速為為20km/h）.數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 (Mathematical Model) 和和數(shù)學(xué)建模（數(shù)學(xué)建模（Mathematic

4、al Modeling)對于一個對于一個現(xiàn)實對象現(xiàn)實對象，為了一個，為了一個特定目的特定目的，根據(jù)其根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律內(nèi)在規(guī)律，作出必要的，作出必要的簡化假設(shè)簡化假設(shè)，運用適當(dāng)?shù)倪\用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)工具，得到的一個，得到的一個數(shù)學(xué)表述數(shù)學(xué)表述. .建立數(shù)學(xué)模型的全過程建立數(shù)學(xué)模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模建模1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義數(shù)學(xué)建模的重要意義 電子計算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；電子計算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展； 數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透.數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的第一

5、步，數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視越來越受到人們的重視. 在一般工程技術(shù)領(lǐng)域在一般工程技術(shù)領(lǐng)域, 數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地；數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地； 在高新技術(shù)領(lǐng)域在高新技術(shù)領(lǐng)域, 數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具；數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具； 數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地.“數(shù)學(xué)是一種關(guān)鍵的、普遍的、可以應(yīng)用的數(shù)學(xué)是一種關(guān)鍵的、普遍的、可以應(yīng)用的技術(shù)技術(shù)”. 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)“由研究到工業(yè)領(lǐng)域的由研究到工業(yè)領(lǐng)域的技術(shù)轉(zhuǎn)化技術(shù)轉(zhuǎn)化，對加強(qiáng)，對加強(qiáng)經(jīng)濟(jì)競爭力具有重要意義經(jīng)濟(jì)競爭力具有重要意義”. “計算和建

6、模計算和建模重新成為中心課題，它們是數(shù)學(xué)重新成為中心課題，它們是數(shù)學(xué)科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑科學(xué)技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑” .數(shù)學(xué)建模的重要意義數(shù)學(xué)建模的重要意義數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用 分析與設(shè)計分析與設(shè)計 預(yù)報與決策預(yù)報與決策 控制與優(yōu)化控制與優(yōu)化 規(guī)劃與管理規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計算機(jī)技術(shù)知識經(jīng)濟(jì)知識經(jīng)濟(jì)如虎添翼如虎添翼1.3 數(shù)學(xué)建模示例數(shù)學(xué)建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問題分析問題分析模模型型假假設(shè)設(shè)通常通常 三只腳著地三只腳著地放穩(wěn)放穩(wěn) 四只腳著地四只腳著地 四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方

7、形連線呈正方形; 地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面曲面; 地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地只腳同時著地.模型構(gòu)成模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來. 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅腳連線椅腳連線)的對稱性的對稱性.xBADCOD C B A 用用 (對角線與對角線與x軸的夾角軸的夾角)表示椅子位置表示椅子位置. 四只腳著地四只腳著地距離是距離是 的函數(shù)的函數(shù).四個距離四個距離(四只腳四只腳)A,C 兩腳與地面距離之和兩腳與地

8、面距離之和 f( )B,D 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 g( )兩個距離兩個距離 椅腳與地面距離為零椅腳與地面距離為零正方形正方形ABCD繞繞O點旋轉(zhuǎn)點旋轉(zhuǎn)正方形正方形對稱性對稱性用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來.f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)對任意對任意 , f( ), g( )至少一個為至少一個為0數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)問題問題已知：已知： f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) ; 對任意對任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在證明：存在 0，使，使f( 0) = g(

9、 0) = 0.模型構(gòu)成模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只腳著地至少三只腳著地模型求解模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法給出一種簡單、粗糙的證明方法3）由）由 f, g 的連續(xù)性知的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函數(shù)據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)的基本性質(zhì), 必存在必存在 0 ( 0 0 0，知，知 f( /2)=0, g( /2)0.2）令）令 h( )= f( )g( ), 則則 h(0)0 和和 h( /2)0)，總劑量，總劑量1100mg藥物在藥物在t=0瞬間進(jìn)入胃腸道瞬間進(jìn)入胃腸道.2. 血液系統(tǒng)中藥物的排除率與血液系統(tǒng)中藥物的排除率與y(

10、t) 成正比，比例系數(shù)成正比，比例系數(shù)(0)，t=0時血液中無藥物時血液中無藥物.3. 氨茶堿被吸收的半衰期為氨茶堿被吸收的半衰期為5小時，排除的半衰期為小時，排除的半衰期為6小時小時. 4. 孩子的血液總量為孩子的血液總量為2000ml. 胃腸道中藥量胃腸道中藥量x(t), 血液系統(tǒng)中藥量血液系統(tǒng)中藥量y(t)，時間，時間t以以孩子誤服藥的時刻為起點（孩子誤服藥的時刻為起點（t=0）. 模型建立模型建立x(t)下降速度與下降速度與x(t)成正比成正比(比例系數(shù)比例系數(shù)), 總劑量總劑量1100mg藥藥物在物在t=0瞬間進(jìn)入胃腸道瞬間進(jìn)入胃腸道.轉(zhuǎn)移率轉(zhuǎn)移率正比于正比于x排除率排除率正比于正比

11、于y胃腸道胃腸道血液系統(tǒng)血液系統(tǒng)口服藥物口服藥物體外體外藥量藥量x(t)藥量藥量y(t)y(t)由吸收而增長的速度是由吸收而增長的速度是x，由排除而減少的速度，由排除而減少的速度與與y(t) 成正比成正比(比例系數(shù)比例系數(shù)) , t=0時血液中無藥物時血液中無藥物.0)0(,yyxdtdy1100)0(,xxdtdx模型模型求解求解 1100)0(,xxdtdx藥物吸收的半衰期為藥物吸收的半衰期為5小時小時 tetx 1100)()/1 (1386. 05/ )2(lnh2/110011005e2/ )0()5(xxyxdtdytey11000)0(y藥物排除的半衰期為藥物排除的半衰期為6小時

12、小時 )(1100)(tteety只考慮血液對藥物的排除只考慮血液對藥物的排除2/)6(,)(ayay)()(taetyydtdy)/1 (1155. 06/ )2(lnhtetx1386.01100)()(6600)(1386. 01155. 0tteety0510152025020040060080010001200t(h)x,y(mg)x(t)y(t)血液總量血液總量2000ml血藥濃度血藥濃度200g/ml結(jié)果及分析結(jié)果及分析 胃腸道藥量胃腸道藥量血液系統(tǒng)藥量血液系統(tǒng)藥量血藥濃度血藥濃度100g/mly(t) =200mg嚴(yán)重中毒嚴(yán)重中毒y(t) =400mg致命致命t=1.62t=4

13、.87t=7.89y=442孩子到達(dá)醫(yī)院前已嚴(yán)重中毒，如不及時施救，孩子到達(dá)醫(yī)院前已嚴(yán)重中毒，如不及時施救，約約3 3小時后將致命！小時后將致命！y(2)=236.5 施救方案施救方案 口服活性炭使藥物排除率口服活性炭使藥物排除率增至原來的增至原來的2倍倍. 5 .236)2(,1100, 2,zextzxdtdzt孩子到達(dá)醫(yī)院孩子到達(dá)醫(yī)院(t=2)就開始施救，血液中藥量記作就開始施救，血液中藥量記作z(t) 2,5 .16091650)(2310. 01386. 0teetztt=0.1386 (不變)， =0.1155*2=0.2310 施救方案施救方案 05101520250200400

14、60080010001200t(h)x,y,z(mg)x(t)y(t)z(t)t=5.26z=318 施救后血液中藥量施救后血液中藥量z (t)顯著低于顯著低于y(t). z (t)最大值低于最大值低于致命水平致命水平. 要使要使z (t)在施救后在施救后立即下降，可算出立即下降，可算出至少應(yīng)為至少應(yīng)為0.4885. 若采用體外血液透析，若采用體外血液透析，可增至可增至0.1155*6=0.693，血，血液中藥量下降更快；臨床上是否需要采取這種辦法，液中藥量下降更快；臨床上是否需要采取這種辦法，當(dāng)由醫(yī)生綜合考慮并征求病人家屬意見后確定當(dāng)由醫(yī)生綜合考慮并征求病人家屬意見后確定. 數(shù)學(xué)建模的基本方

15、法數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析機(jī)理分析測試分析測試分析根據(jù)對客觀事物特性的認(rèn)識，根據(jù)對客觀事物特性的認(rèn)識，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律.將對象看作將對象看作“黑箱黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型.機(jī)理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過機(jī)理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究實例研究 (Case Studies)來學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析來學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析. .二者結(jié)合二者結(jié)合用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu)用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測試分析確定模型參數(shù)用測試分析確定模型參數(shù).1.4 數(shù)學(xué)建模的方法

16、和步驟數(shù)學(xué)建模的方法和步驟 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型假設(shè)模型構(gòu)成模型構(gòu)成模型求解模型求解模型分析模型分析模型檢驗?zāi)Ｐ蜋z驗?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型應(yīng)用模模型型準(zhǔn)準(zhǔn)備備了解實際背景了解實際背景明確建模目的明確建模目的搜集有關(guān)信息搜集有關(guān)信息掌握對象特征掌握對象特征形成一個形成一個比較清晰比較清晰的的“問題問題”模模型型假假設(shè)設(shè)針對問題特點和建模目的針對問題特點和建模目的作出作出合理合理的、的、簡化簡化的假設(shè)的假設(shè)在合理與簡化之間作出折中在合理與簡化之間作出折中模模型型構(gòu)構(gòu)成成用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題發(fā)揮發(fā)揮想像力想像力使用使用類比法類比法盡量

17、采用簡單的數(shù)學(xué)工具盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型模型求解求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計算機(jī)技術(shù)各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計算機(jī)技術(shù).如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析.模型模型分析分析模型模型檢驗檢驗與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇浴⑦m用性檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性.模型應(yīng)用模型應(yīng)用 數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的一般步驟數(shù)學(xué)建模的全過程數(shù)學(xué)建模的全過程現(xiàn)實對象的信息現(xiàn)實對象的信息數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實對象的解答現(xiàn)實對象的解答數(shù)學(xué)模型的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述表述求解求解解釋解釋驗證驗

18、證(歸納)(演繹)表述表述求解求解解釋解釋驗證驗證根據(jù)建模目的和信息將實際問題根據(jù)建模目的和信息將實際問題“翻譯翻譯”成數(shù)學(xué)問成數(shù)學(xué)問題題.選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答.將數(shù)學(xué)語言表述的解答將數(shù)學(xué)語言表述的解答“翻譯翻譯”回實際對回實際對象象.用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答.實踐現(xiàn)現(xiàn)實實世世界界數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)世世界界理論實踐1.5 數(shù)學(xué)模型的特點和分類數(shù)學(xué)模型的特點和分類模型的逼真性和可行性模型的逼真性和可行性模型的漸進(jìn)性模型的漸進(jìn)性模型的強(qiáng)健性模型的強(qiáng)健性模型的可轉(zhuǎn)移性模型的可轉(zhuǎn)移性模型的非預(yù)制性模型的非預(yù)制性模型的條理性模

19、型的條理性模型的技藝性模型的技藝性模型的局限性模型的局限性 數(shù)學(xué)模型的特點數(shù)學(xué)模型的特點數(shù)學(xué)模型的分類數(shù)學(xué)模型的分類應(yīng)用領(lǐng)域應(yīng)用領(lǐng)域人口、交通、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)、人口、交通、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)、數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法初等數(shù)學(xué)、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計、初等數(shù)學(xué)、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計、表現(xiàn)特性表現(xiàn)特性描述、優(yōu)化、預(yù)報、決策、描述、優(yōu)化、預(yù)報、決策、建模目的建模目的了解程度了解程度白箱白箱灰箱灰箱黑箱黑箱確定和隨機(jī)確定和隨機(jī)靜態(tài)和動態(tài)靜態(tài)和動態(tài)線性和非線性線性和非線性離散和連續(xù)離散和連續(xù)1.6 怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模與其說是一門數(shù)學(xué)建模與其說是一門技術(shù)技術(shù)，不如說是一門，不如說是一門藝術(shù)藝術(shù)技術(shù)大致有章

20、可循技術(shù)大致有章可循藝術(shù)無法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則藝術(shù)無法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則想像力想像力洞察力洞察力判斷力判斷力 學(xué)習(xí)、分析、評價、改進(jìn)別人作過的模型學(xué)習(xí)、分析、評價、改進(jìn)別人作過的模型. . 親自動手，認(rèn)真作幾個實際題目親自動手，認(rèn)真作幾個實際題目. .參加參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的意義和作用的意義和作用 1992年中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會年中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(CSIAM)開始組織開始組織 1994年起教育部高教司和年起教育部高教司和CSIAM共同舉辦共同舉辦(每年每年9月月)2010年年33省省/市市/區(qū)區(qū)(含港澳含港澳)的的1195校校17200隊隊內(nèi)容內(nèi)容 賽

21、題：工程技術(shù)、管理科學(xué)中簡化的實際問題賽題：工程技術(shù)、管理科學(xué)中簡化的實際問題. 答卷：包含模型假設(shè)、建立、求解計算方法設(shè)計和計答卷：包含模型假設(shè)、建立、求解計算方法設(shè)計和計算機(jī)實現(xiàn)、結(jié)果分析和檢驗、模型改進(jìn)等方面的論文算機(jī)實現(xiàn)、結(jié)果分析和檢驗、模型改進(jìn)等方面的論文.形式形式 3名大學(xué)生組隊，在名大學(xué)生組隊，在3天內(nèi)完成的通訊比賽天內(nèi)完成的通訊比賽. 可使用任何可使用任何“死死”材料（圖書、計算機(jī)、軟材料（圖書、計算機(jī)、軟件、互聯(lián)網(wǎng)等），但不得與隊外任何人討論件、互聯(lián)網(wǎng)等），但不得與隊外任何人討論.宗旨宗旨創(chuàng)新意識創(chuàng)新意識 團(tuán)隊精神團(tuán)隊精神 重在參與重在參與 公平競爭公平競爭標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)的合理性，建模的創(chuàng)造性，假設(shè)的合理性，建模的創(chuàng)造性，結(jié)果的正確性，表述的清晰性結(jié)果的正確性，表述的清晰性.全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽 http:/競賽培養(yǎng)創(chuàng)新精神和綜合素質(zhì)競賽培養(yǎng)創(chuàng)新精神和綜合素質(zhì) 賽題緊密結(jié)合科技和社會熱點問題，培養(yǎng)理論聯(lián)系實賽