復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)(3)課件

1、11-4 復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)一、復(fù)變函數(shù)的極限二、復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性2定義定義：設(shè)函數(shù)：設(shè)函數(shù) 在復(fù)平面上已給點(diǎn)集在復(fù)平面上已給點(diǎn)集E E上確定，上確定，A A為為E E 的一個(gè)聚點(diǎn)，的一個(gè)聚點(diǎn)， 為一復(fù)常數(shù)，為一復(fù)常數(shù)，如果對(duì)任意如果對(duì)任意 , , 存在存在 ，使當(dāng)，使當(dāng) 且且 時(shí)，有時(shí)，有 則稱當(dāng)則稱當(dāng)z z 在在E E 中趨于中趨于 時(shí)時(shí), , 趨于趨于極極限限A A ，記作，記作 )(zfw 0z00)(Ez |00zz|)(|Azf0z)(zfw AzfzzEz)(lim0,30)(lim)(lim00,AzfAzfzzEzzzEz2121)()(lim0AAzfzfzz zz0的路

2、徑無(wú)窮，不能都列舉的路徑無(wú)窮，不能都列舉2121)()(lim0AAzfzfzz21212)()(lim00AAzfzfAzz時(shí)，4 復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)的極限可用兩個(gè)二元實(shí)復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)的極限可用兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)在一點(diǎn)的極限來(lái)討論，即函數(shù)在一點(diǎn)的極限來(lái)討論，即 AzfAzfzzzzzzRe)(Relim)(lim000ImImReReAzfzzzzIm)(Imlim00ImImReRe且且5定義定義：設(shè)函數(shù)：設(shè)函數(shù) 在復(fù)平面上已給點(diǎn)集在復(fù)平面上已給點(diǎn)集E E上確定，上確定， 為為E E 的一個(gè)聚點(diǎn)，且的一個(gè)聚點(diǎn)，且 ，如果對(duì)任意，如果對(duì)任意 ，存在，存在 ，使當(dāng)，使當(dāng) 且且 時(shí)，有時(shí)，有 則稱函數(shù)則

3、稱函數(shù) 在在 點(diǎn)點(diǎn)連續(xù)連續(xù) ，若，若 在在E E 中每一點(diǎn)都中每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱連續(xù)，則稱 在在E E連續(xù)連續(xù). .)(zfw 0zEz 000)(Ez |0zz|)()(|0zfzf)(zf)(zfw 0z)(zf6 定理：復(fù)變函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0=x0+y0連續(xù)的充要條件是實(shí)部和虛部的兩個(gè)二元函數(shù)在點(diǎn)(x0,y0)都連續(xù)。7與數(shù)學(xué)分析中的連續(xù)函數(shù)一樣，我們可類似與數(shù)學(xué)分析中的連續(xù)函數(shù)一樣，我們可類似地證得以下定理地證得以下定理定理定理1 1 若函數(shù)若函數(shù) 與函數(shù)與函數(shù) 均在點(diǎn)均在點(diǎn) 連連續(xù)，則續(xù)，則 和和 在點(diǎn)在點(diǎn) 連續(xù)進(jìn)一步，如果連續(xù)進(jìn)一步，如果 ，那么，那么 在點(diǎn)在點(diǎn) 連續(xù)。連續(xù)。 )

4、(zf)(zg0z)()(zgzf)()(zgzf0z0)z (g0)()(zgzf0z8定理定理2 2 函數(shù)函數(shù) 在簡(jiǎn)單曲線在簡(jiǎn)單曲線 或者有界閉區(qū)或者有界閉區(qū)域域 上連續(xù)，則上連續(xù)，則 在它上為有界函數(shù)；在它上為有界函數(shù)； 在它上能取到最大值與最小值；在它上能取到最大值與最小值； 在它上一致連續(xù)，即對(duì)任意的在它上一致連續(xù)，即對(duì)任意的 , ,存在存在 ，使當(dāng)，使當(dāng) 或者或者 且且 時(shí)，有時(shí)，有)(zfE)(zf)(zf)(zf00)( Ezz21,|21zz|)()(|21zfzfCzz21,C9定義定義：如果對(duì)于任給定常數(shù)如果對(duì)于任給定常數(shù) ，存，存在在 ，使當(dāng)，使當(dāng) ， 時(shí)，有時(shí)，有 則

5、稱當(dāng)則稱當(dāng)z z在在E E 中趨于中趨于 時(shí)時(shí) 趨于無(wú)窮大趨于無(wú)窮大 ，記作記作)(zf0)(AEz |00zzAzf |)(|0z)(lim0,zfzzEz0A10定義定義：如果對(duì)于任給定常數(shù)：如果對(duì)于任給定常數(shù)00 ，存，存在在 ，使當(dāng)，使當(dāng) 且且 時(shí)，有時(shí)，有 則稱當(dāng)則稱當(dāng)z z 在在E E 中趨于無(wú)窮大中趨于無(wú)窮大 時(shí)時(shí) 趨趨于于 ，記作，記作0)(Ez | z|)(|zf)(lim,zfzEz)(zf11函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)性的判別函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)性的判別基本解法：基本解法：(1)把函數(shù)f(z)化為形式f(z)=u(x,y)+iv(x,y)(2)利用教材24頁(yè)定理2判別u(x,y)和v(

6、x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處是否連續(xù)n若都連續(xù)，則f(z)在z0連續(xù)n若不連續(xù)，則 f(z0)無(wú)意義，即u(x0,y0), v(x0,y0)至少一個(gè)不存在)(lim0zfzz不存在或存在但)()(lim00zfzfzz只需驗(yàn)證 在某方向上0zz )()(lim00zfzfzz或存在某方向 時(shí)，有),(),(00yxyx),(),(lim0000yxuyxuyyxx或),(),(lim0000yxvyxvyyxx12證明argz在原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸不連續(xù)由于 是分段定義的二元函數(shù))0(arccos)0(arccosarg2222yyxxyyxxz當(dāng)y0或y0時(shí)有00arccosarccoslim220

7、02200 xxyxxyxx0arccoslim2200yxxyxx即當(dāng) 且 時(shí)，函數(shù)的極限值等于在點(diǎn)(x0,0)處的函數(shù)值，此二元函數(shù)在點(diǎn)(x0,0)處連續(xù)，因此argz在正實(shí)軸連續(xù)。0 xx 0y13(2) argz在z=0點(diǎn)無(wú)意義，因此不連續(xù)所以分段定義的二元函數(shù)argz在y=0且x0這些點(diǎn)處不連續(xù)000arccosargxxz(3) 在y0，x0的半直線上) 1arccos(arccoslim2200yxxyxx可是綜上所述，argz在出去負(fù)實(shí)軸和原點(diǎn)的整個(gè)復(fù)平面上處處連續(xù)。f(z)=|z|的連續(xù)性？ 是復(fù)變實(shí)值函數(shù)，是x,y的二元連續(xù)函數(shù)，因此在整個(gè)復(fù)平面上連續(xù)。22)(yxzfP26,4證明函數(shù)f(z)=ln|z|+iarg(z)在原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)性。14函數(shù)極限的求法和極限不存在的判別法函數(shù)極限的求法和極限不存在的判別法方法方法1： 當(dāng)容易看出f(z)在z0點(diǎn)連續(xù)時(shí)，可用函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義來(lái)求極限。即)()(lim00zfzfzz方法方法2： 當(dāng)不能判斷f(z)在z0點(diǎn)是否連續(xù)時(shí)，首先，把f(z)寫成f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的形式。然后，