實(shí)驗(yàn)3用三線擺測(cè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

1、實(shí)驗(yàn) 3用三線擺測(cè)定物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn) 3 用三線擺測(cè)定物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體在轉(zhuǎn)動(dòng)中慣性大小的量度， 它與剛體的質(zhì)量的大小、 轉(zhuǎn)軸的位置和剛體 質(zhì)量的分布有關(guān)。 對(duì)于形狀簡(jiǎn)單規(guī)則的均勻剛體， 測(cè)出其外形尺寸和質(zhì)量， 可用數(shù)學(xué)方法計(jì) 算出其繞特定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量， 而對(duì)于形狀復(fù)雜， 質(zhì)量分布不均勻的剛體用數(shù)學(xué)方法求轉(zhuǎn)動(dòng) 慣量非常困難， 有時(shí)甚至不可能， 一般要通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法來(lái)測(cè)定。 測(cè)定剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的實(shí)驗(yàn)方 法有多種， 如三線擺法及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?jī)x法等。 本實(shí)驗(yàn)用三線擺法測(cè)定剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量， 其特點(diǎn) 是操作簡(jiǎn)單。 為了便于與理論計(jì)算值比較， 實(shí)驗(yàn)中被測(cè)物體仍采用形狀簡(jiǎn)單規(guī)則的剛體。 對(duì) 于形狀較復(fù)

2、雜的剛體，如槍炮、彈丸、電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子、機(jī)器零件等都可以測(cè)量出其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?. 學(xué)會(huì)正確測(cè)量長(zhǎng)度、質(zhì)量和時(shí)間的方法；2. 用三線擺測(cè)定圓盤(pán)和圓環(huán)對(duì)稱(chēng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；3. 驗(yàn)證轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理。實(shí)驗(yàn)儀器】FB210A 型三線擺組合實(shí)驗(yàn)儀、FB213A 型數(shù)顯計(jì)時(shí)計(jì)數(shù)毫秒儀、 米尺、 游標(biāo)卡尺。物理學(xué)中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 I實(shí)驗(yàn)原理】mi ?ri2 。式中， mi為質(zhì)元的質(zhì)量、 ri 為該質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離。 1測(cè)定懸盤(pán)繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J0 圖 1 是三線擺實(shí)驗(yàn)裝置的示意圖。 上、下 圓盤(pán)均處于水平， 懸掛在橫梁上。 三個(gè)對(duì)稱(chēng)分 布的等長(zhǎng)懸線將兩圓盤(pán)相連。 上圓盤(pán)固定， 下 圓盤(pán)可繞

3、中心軸 OO 作扭擺運(yùn)動(dòng)。因懸盤(pán)來(lái) 回?cái)[動(dòng)的周期與其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小有關(guān)，所以， 懸掛物不同， 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也就不同， 相應(yīng)的擺動(dòng) 周期也將發(fā)生變化。如圖 2 示，當(dāng)懸盤(pán)離開(kāi)平衡位置向某一方 向轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)很小的角度 時(shí)，整個(gè)懸盤(pán)的位置 也將升高一高度 h，即懸盤(pán)既繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)， 又有升降運(yùn)動(dòng)，在任何時(shí)刻其轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為1 J0 2 d ，上下運(yùn)動(dòng)的平動(dòng)動(dòng)能為2 0 dt21mv2 v ddht ，重力勢(shì)能為 mgh，如果忽略摩擦力，則在重力場(chǎng)中機(jī)械能守恒，即12J0d dt1+m2dhdt+mgh=恒量1)上式中 m 為懸盤(pán)的質(zhì)量， J0 為其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。取懸盤(pán)在平衡位置對(duì)重力勢(shì)能為零，在懸線足夠長(zhǎng)，且懸盤(pán)作

4、小角度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，dhdt遠(yuǎn)小于 1J0 d 。略去式（ 1）中平動(dòng)動(dòng)能并2 0 dt對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，則有d d 2J0（ ） 20 dt dt2若令上下盤(pán)之間的距離為dhmg 0dtH ，懸線長(zhǎng)為2）l，表示上下盤(pán)上系線點(diǎn)到圓心的距離，則根據(jù)圖 單的幾何關(guān)系可以得到懸盤(pán)上升的高度r和 R分別2，應(yīng)用簡(jiǎn)h OOa1c1a1c122(a1c1) (a1c1 )a1c1 a1c1由于 (a1c1)2 (a1b1)2 而(a1c1 )2 (a1b1 )2 (b1c1 )得 h 2Rr(1 cos )a1c1 a1c1l 2 (R22l2 (R24Rr sin22，a1c1 a1c1(b1c1)22r)22r

5、 2Rr cos )當(dāng)偏轉(zhuǎn)角 很小時(shí)，圖2sin 2 2 , a1c1 a1c1H ，即 H l2 (R r)2 ，所以Rr 22H，對(duì) t 求導(dǎo)得將式（ 3）代入式（ 2）dh Rr (d ) H ( dt )dt3）d2后可得 d 2dt2(mHgJR0r)0，d2即 ddt2(mgRr)HJ0可見(jiàn)， 振動(dòng)的角加速度與角位移成正比，方向相反，顯然上式是個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程，其解為0 cos( 0t ) ，式中0mHgJR0r 為懸盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角頻率， 0為角振幅。因?yàn)楹?jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期 T 2 ，于是有0mgRr 2 J0 2 T 0 4 2H 這就是測(cè)定懸盤(pán)繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算公式。2測(cè)定圓環(huán)

6、繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量將質(zhì)量為 M 的圓環(huán)放在懸盤(pán)上， 使兩者中心重合 （使物體的質(zhì)心恰好在儀器的轉(zhuǎn)軸上） 組成一個(gè)系統(tǒng)。測(cè)得系統(tǒng)繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)的周期為T(mén)1，則它們總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為（m M ）gRr 2J12T14）4 2H 得圓環(huán)繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 J= J1- J05）圓環(huán)繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的理論計(jì)算公式為J M （R內(nèi)2 R外2 ），式中 R 外為圓環(huán)外半徑，R 內(nèi)為圓環(huán)內(nèi)半徑。3測(cè)定圓柱體繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 Jx若質(zhì)量為 m 的物體繞過(guò)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J 0 ，當(dāng)轉(zhuǎn)軸平行移動(dòng)距離 x 時(shí)（如圖 32所示），則此物體對(duì)新軸 OO 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 Joo' J0 mx2 。這一結(jié)論稱(chēng)為

7、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行 軸定理。（6）x 以及小圓（7）將質(zhì)量均為 m'，形狀和質(zhì)量分布完全相同的兩個(gè)圓柱體對(duì)稱(chēng) 地放置在下圓盤(pán)上（下盤(pán)有對(duì)稱(chēng)的兩排小孔） 。按上面同樣的方 法，測(cè)出兩小圓柱體和下盤(pán)繞中心軸 OO 的轉(zhuǎn)動(dòng)周期 Tx ，則可求 出每個(gè)柱體對(duì)中心轉(zhuǎn)軸 OO 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 :1 (m0 2m') gRr T 2 J2 4 2 HTx J0如果測(cè)出小圓柱中心與下圓盤(pán)中心之間的距離J'm'x2 21m'Rx2柱體的半徑 Rx ，則由平行軸定理可求得比較 Jx與 J'x 的大小 ,可驗(yàn)證平行軸定理。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容】調(diào)整三線擺裝置1觀察上圓盤(pán)中心的水準(zhǔn)器，并調(diào)

8、節(jié)底板上三個(gè)調(diào)節(jié)螺釘，使儀器處于水平狀態(tài)。 2觀察下圓盤(pán)中心的水準(zhǔn)器，利用上圓盤(pán)上的三個(gè)調(diào)節(jié)螺絲，使三懸線等長(zhǎng)，并固定 緊定螺釘，再用米尺，測(cè)量懸線的長(zhǎng)度。3調(diào)整底板左上方的光電傳感接收裝置，使下圓盤(pán)邊上的擋光桿能自由往返通過(guò)光電 門(mén)槽口。二測(cè)量周期 T0 和T1、 TX ：1接通 FB213A 型數(shù)顯計(jì)時(shí)計(jì)數(shù)毫秒儀的電源，把光電接收裝置與毫秒儀連接。合上毫秒儀電源開(kāi)關(guān)， 使用“功能”按鈕選擇周期“擺動(dòng)” ，預(yù)置測(cè)量次數(shù)為 50次 （可根據(jù)實(shí) 驗(yàn)需要從 1 99次任意設(shè)置） 。2設(shè)置計(jì)數(shù)次數(shù)時(shí)，可分別按“置數(shù)”鍵的十位或個(gè)位按鈕進(jìn)行調(diào)節(jié)，（注意數(shù)字調(diào)節(jié)只能按進(jìn)位操作） ，設(shè)置完成后自動(dòng)保持設(shè)置

9、值， （直到再次改變?cè)O(shè)置為止） 。3在下圓盤(pán)處于靜止?fàn)顟B(tài)下， 撥動(dòng)上圓盤(pán)的 “轉(zhuǎn)動(dòng)手柄” ，將上圓盤(pán)轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)小角度 （ 5 左右），帶動(dòng)下圓盤(pán)繞中心軸 OO 作微小扭擺運(yùn)動(dòng)。 擺動(dòng)若干次后， 按毫秒儀的 “執(zhí)行” 鍵， 毫秒儀開(kāi)始計(jì)時(shí)，每計(jì)量一個(gè)周期，周期顯示數(shù)值自動(dòng)逐1 遞減 ，直到遞減為 0 時(shí)，計(jì)時(shí)結(jié)束，毫秒儀顯示出累計(jì) 50個(gè)周期的時(shí)間。（說(shuō)明：毫秒儀計(jì)時(shí)范圍： 0 99.999s,分辨率 為1ms）重復(fù)以上測(cè)量 5次，將數(shù)據(jù)記錄到表 1。如此測(cè) 5 次，進(jìn)行下一次測(cè)量時(shí)，測(cè)試儀 要先按“復(fù)位”鍵。4將待測(cè)圓環(huán)置于懸盤(pán)上，使兩者中心軸線重合，按以上方法求出圓環(huán)與懸盤(pán)系統(tǒng)的 擺動(dòng)周期 T

10、1，算出 J1，從而計(jì)算出待測(cè)圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J = J1J0。5取下圓環(huán)，把質(zhì)量和形狀都相同的兩個(gè)圓柱體對(duì)稱(chēng)地置于懸盤(pán)上，再按同樣方法求圖4出擺動(dòng)周期 Tx。6如圖 4 所示，分別測(cè)出小圓盤(pán)和懸盤(pán)三懸點(diǎn)之間的距 離 a 和 b ，各取其平均值，算出懸點(diǎn)到中心的距離r 和 R。7測(cè)出兩圓盤(pán)之間的垂直距離 H 、圓環(huán)的內(nèi)直徑 2R 內(nèi)、外直徑 2R 外、圓柱體直徑 2Rx 和圓柱體中心至懸盤(pán)中心的距離 x。8記下懸盤(pán)、圓環(huán)和圓柱體的質(zhì)量m、M、 m(上述質(zhì)量均已標(biāo)明在盤(pán)上) 。9將各實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算相比較，分析誤差原因?！緦?shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄及數(shù)據(jù)處理】表 1 轉(zhuǎn)動(dòng)周期的測(cè)定擺動(dòng) 50 次所需時(shí) 間 t

11、(s)懸盤(pán)懸盤(pán)加圓環(huán)懸盤(pán)加兩圓柱體111222333平均平均平均周期(s)T0=T1=Tx=表 2 各長(zhǎng)度量和質(zhì)量的測(cè)定上下圓盤(pán) 之間的垂 直距離 H(10 -2m)上圓盤(pán)懸 孔間距 a(10 -2 m)下掛懸盤(pán) 懸孔間距 b(10 -2m)待測(cè)圓環(huán)小圓柱 體直徑 2Rx -2(10 -2m)放置小圓 柱體兩小 孔間距-22x(10 -2m)外直徑2R 外-2(10 -2m)內(nèi)直徑2R 內(nèi)-2(10 -2m)123平均HabR外R內(nèi)Rxxr a ， R b33 懸盤(pán)質(zhì)量 m= kg；待測(cè)圓環(huán)質(zhì)量 M= kg；圓柱體質(zhì)量 m=kg3各轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的數(shù)據(jù)計(jì)算(有關(guān)計(jì)算應(yīng)列出計(jì)算公式、代入實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)、再寫(xiě)

12、出計(jì)算結(jié) 果，注意單位的統(tǒng)一性)( 1)懸盤(pán)繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： J0=( 2)圓環(huán)繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：實(shí)驗(yàn)值J= ；理論值 J=百分誤差 EJ=( 3)圓柱體繞中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：實(shí)驗(yàn)值Jx=；理論值 Jx=百分誤差 EJx=并由此說(shuō)明平行軸定理是否成立？如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明原因。注意事項(xiàng) 1注意轉(zhuǎn)動(dòng)三線擺的上圓盤(pán)時(shí)，不可使下圓盤(pán)發(fā)生左右顫擺，因?yàn)槲覀儧](méi)有考慮左右 擺動(dòng)的能量。2式( 4)只有在 很小，三邊相等，張力相等，上下盤(pán)水平，繞過(guò)兩盤(pán)中心的軸轉(zhuǎn)動(dòng) 的條件下才成立。所以在測(cè)定周期時(shí)，轉(zhuǎn)角不宜過(guò)大，一般不超過(guò) 10°。3怎樣啟動(dòng)三線擺？先使已調(diào)水平的下圓盤(pán)保持靜止，然后輕輕轉(zhuǎn)動(dòng)上圓

13、盤(pán)約5°左右，隨即退到原處。【思考題 】1用三線擺測(cè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，為什么必須保持下盤(pán)水平？2在測(cè)量過(guò)程中 , 如下盤(pán)出現(xiàn)晃動(dòng) ,對(duì)周期測(cè)量有影響嗎？如有影響，應(yīng)如何避免之？3三線擺放上待測(cè)物后，其擺動(dòng)周期是否一定比空盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)周期大？為什么？ 4測(cè)量圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，若圓環(huán)的轉(zhuǎn)軸與下盤(pán)轉(zhuǎn)軸不重合，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果有何影響？ 5如何利用三線擺測(cè)定任意形狀的物體繞某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量？【附錄一】FB213A 型數(shù)顯計(jì)時(shí)計(jì)數(shù)毫秒儀使用說(shuō)明書(shū)（1）FB213A 計(jì)時(shí)儀采用編程單片機(jī)，具有多功能計(jì)時(shí)、存儲(chǔ)和查詢(xún)功能?？捎糜趩螖[、氣 墊導(dǎo)軌、馬達(dá)轉(zhuǎn)速測(cè)量及車(chē)輛運(yùn)動(dòng)速度測(cè)量等諸多與計(jì)時(shí)相關(guān)的實(shí)驗(yàn)。（2）該毫秒

14、儀通用性強(qiáng)， 可以與多種傳感器連接， 用不同的傳感器控制毫秒儀的啟動(dòng)和停止， 從而 適應(yīng)不同實(shí)驗(yàn)條件下計(jì)時(shí)的需要。（3）毫秒儀“量程”按鈕可根據(jù)實(shí)驗(yàn)需要切換二擋：S（99.999s分辨率 1ms）；mS（9.9999s 分辨率 0.1ms），對(duì)應(yīng)的指示燈點(diǎn)亮。（4）毫秒儀“功能”按鈕可根據(jù)實(shí)驗(yàn)需要切換五個(gè)功能：計(jì)時(shí)：?jiǎn)蜺 ； 雙U ；雙計(jì) 時(shí)；周 期 ：擺動(dòng) （用于 單擺、三線擺、扭擺等實(shí)驗(yàn)）；轉(zhuǎn)動(dòng)（用于簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)等實(shí)驗(yàn) ） 。轉(zhuǎn)換至某個(gè)功能下，該功能對(duì)應(yīng)的指示燈點(diǎn)亮；切換到二種“周期” ，左窗口二位數(shù)碼管 點(diǎn)亮，可“預(yù)置”測(cè)量周期個(gè)數(shù)并顯示，隨計(jì)數(shù)進(jìn)程逐次遞減至“ 1”，計(jì)數(shù)停止，恢復(fù)顯

15、示 預(yù)置數(shù)。切換到三種“計(jì)時(shí)” ，左窗口二位數(shù)碼管熄滅。（5）在二種“周期”方式下：按“執(zhí)行”鍵， “執(zhí)行”工作指示亮 （ 等待測(cè)量狀態(tài) ），由傳感器啟動(dòng)測(cè)量，燈光閃爍，表 示毫秒儀進(jìn)入測(cè)量狀態(tài)。 在每個(gè)周期結(jié)束時(shí)， 顯示并存貯該周期對(duì)應(yīng)的時(shí)間值， 在預(yù)設(shè)周 期 數(shù)執(zhí)行完后，顯示并存貯總時(shí)間值，然后退出執(zhí)行狀態(tài)。（6）在三種“計(jì)時(shí)”方式的符號(hào)意義：A、單 U計(jì)時(shí)按執(zhí)行鍵執(zhí)行燈亮 （等待測(cè)量狀態(tài) ），當(dāng) U型擋光片從單個(gè)光電門(mén)通過(guò)。執(zhí)行燈滅，存下第一個(gè)通過(guò)時(shí)間數(shù)據(jù)，按相同步驟可存下第二個(gè)數(shù)據(jù)、第三個(gè)數(shù)據(jù)等等。一 共可存 20 個(gè)數(shù)據(jù)，存滿后，若繼續(xù)操作下去，將從第一個(gè)數(shù)據(jù)起，逐個(gè)被覆蓋；B、 雙

16、U 計(jì)時(shí)按執(zhí)行鍵， 執(zhí)行燈亮， 當(dāng)U 型擋光片從第一光電門(mén)通過(guò)， 顯示其 通過(guò)時(shí)間的第一個(gè)數(shù)據(jù)，執(zhí)行燈開(kāi)始閃爍， U 型擋光片移動(dòng)到第二光電門(mén)，顯示第一至二光 電門(mén)間通過(guò)時(shí)間的第二個(gè)數(shù)據(jù)，再?gòu)牡诙怆婇T(mén)通過(guò)，顯示其通過(guò)時(shí)間的第三個(gè)數(shù)據(jù)，執(zhí)行 燈滅；查詢(xún)時(shí)； 1 顯示 t1 時(shí)間， 2 顯示 t2 時(shí)間， 3 顯示 t3 時(shí)間， 4 顯示 t1 速度（ 5cm/ms）,5 顯示 t3 速度（ 5cm/ms） C 、雙計(jì)時(shí)按執(zhí)行鍵，執(zhí)行燈亮，當(dāng) U 型擋光片入第一光電門(mén)移至第二光電門(mén)，顯示第一至二光電門(mén)間通過(guò)時(shí)間；注意：雙 U 計(jì)時(shí)和雙計(jì)時(shí)方式， 須把毫秒儀背后第 (1)、(2)傳感器插頭互換插座插。 (小 車(chē)先通過(guò)傳感器 2，再通過(guò)傳感器 1)(7) 毫秒儀“查詢(xún)”按鈕可查詢(xún)五個(gè)功能工作方式下存貯數(shù)據(jù)。 在“周期”方式下，逐次按“查詢(xún)”鍵，則依次顯示出各周期對(duì)應(yīng)的時(shí)間值，在最后周期顯 示出總時(shí)間值，在