755量子理論的應(yīng)用

1、量子理論的應(yīng)用宋曉亮物理科學(xué)學(xué)院2007級應(yīng)用物理學(xué)系光子學(xué)技術(shù)方向?qū)W號(hào)：0710243住址：南開大學(xué)22宿（高培樓）b204-2 抱歉老師沒現(xiàn)成單人圖片，故從其他多人圖片中ps了一個(gè)下來孫剛物理科學(xué)學(xué)院2007級物理學(xué)系凝聚態(tài)方向?qū)W號(hào)：0710244住址：南開大學(xué)22宿（高培樓）b204-2孫騰騫物理科學(xué)學(xué)院2007級物理學(xué)系理論物理方向?qū)W號(hào)：0710246住址：南開大學(xué)22宿（高培樓）b204-2內(nèi)容介紹量子控制的模型量子控制系統(tǒng)的建模量子系統(tǒng)的仿真量子控制系統(tǒng)的仿真研究量子控制模型簡介模型是系統(tǒng)的一種表示，是求解問題的基礎(chǔ)，它可以用來描述系統(tǒng)的內(nèi)在聯(lián)系及系統(tǒng)與外界的關(guān)系。量子控制可借用部

2、分經(jīng)典控制系統(tǒng)模型的形式，又由于量子力學(xué)系統(tǒng)的觀測和實(shí)驗(yàn)據(jù)不易進(jìn)行，故需要通過模型求解來進(jìn)行指導(dǎo)。量子控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型即將量子控制系統(tǒng)各部分的相互關(guān)系用傳遞函數(shù)模型（經(jīng)典控制借鑒）、方程、文字等圖示表示。優(yōu)點(diǎn)：形象、直觀、靈活缺點(diǎn)：不易直接獲得系統(tǒng)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型適用范圍：未知信息量子控制系統(tǒng)的初期分析、量子控制實(shí)驗(yàn)研究、對量子反饋龍之中狀態(tài)的觀測與估計(jì)、量子閉環(huán)控制學(xué)習(xí)算法等量子控制系統(tǒng)的微分方程模型用希爾伯特（hilbert）空間態(tài)矢描述系統(tǒng)的量子態(tài)，它隨時(shí)間的演化遵循薛定諤方程： i(/t)|(t)=|(t) 理論上，我們可將該方程看作量子控制系統(tǒng)的微分模型優(yōu)點(diǎn)：物理意義明確，系統(tǒng)狀態(tài)演

3、化完全包含在微分方程中。缺點(diǎn)：系統(tǒng)方程不易建立也不易求解適用范圍：研究比較透徹的系統(tǒng)和具有比較明確經(jīng)典對應(yīng)的量子系統(tǒng)量子控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型通過何時(shí)的簡化和假設(shè)，將量子控制系統(tǒng)看作一些環(huán)節(jié)的組合，根據(jù)各環(huán)節(jié)的輸入輸出關(guān)系，確定各環(huán)節(jié)傳遞模型，近似結(jié)構(gòu)模型。優(yōu)點(diǎn)：可借用經(jīng)典分析中的方法理論，并加以發(fā)展，在系統(tǒng)化間、反饋控制分析、控制器設(shè)計(jì)等方面很方便。缺點(diǎn)：量子糾纏態(tài)使傳遞函數(shù)應(yīng)用受很大限制適用范圍：量子反饋控制和系統(tǒng)控制器的實(shí)際與分析。量子控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型系統(tǒng)狀態(tài)空間模型： （t）=az（t）+bz（t）u y（t）=z（t）y（0） z表狀態(tài)矢量（矩陣）y表輸出矢量u表控制矢量，即得

4、到一個(gè)雙線性系統(tǒng)模型優(yōu)點(diǎn)：數(shù)學(xué)描述明確缺點(diǎn)：計(jì)算復(fù)雜且在起步階段，問題也較多使用范圍：較簡單的物理系統(tǒng)，將來成熟之后或可擴(kuò)大范圍量子控制系統(tǒng)的建模簡介科學(xué)家們在經(jīng)過長時(shí)間的研究后發(fā)現(xiàn)：量子控制系統(tǒng)的模型主要是用來描述系統(tǒng)的量子態(tài)演化特性，在量子理論中量子態(tài)用希爾伯特空間的態(tài)矢描述，它遵循薛定諤方程。而理論上，薛定諤方程完全決定了系統(tǒng)狀態(tài)的演化，這樣量子控制的建模就轉(zhuǎn)化為求取系統(tǒng)的薛定諤方程，其中的重點(diǎn)就在于求取方程中的哈密頓方程。下面介紹目前常用的兩種方法。直接機(jī)理建模法即直接根據(jù)量子控制系統(tǒng)的作用機(jī)理，根據(jù)量子力學(xué)規(guī)律，找出系統(tǒng)相應(yīng)的哈密頓算符，從而確定控制系統(tǒng)的薛定諤方程。優(yōu)點(diǎn)：直觀，物理

5、意義明確缺點(diǎn)：目前對于量子系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)還不夠充分，要直接根據(jù)系統(tǒng)作用機(jī)理獲得哈密頓算符比較困難。量子化建模法一直接量子化建模我們通過已有對應(yīng)關(guān)系從經(jīng)典控制系統(tǒng)的模型求取相應(yīng)的量子算符，然后建立對應(yīng)量子控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。優(yōu)點(diǎn)：許多量子控制模型可以直接從對應(yīng)的經(jīng)典控制系統(tǒng)中推導(dǎo)得出缺點(diǎn)：需有已知經(jīng)典控制系統(tǒng)對應(yīng)適用范圍：有明確對應(yīng)經(jīng)典系統(tǒng)的量子系統(tǒng)建模量子化建模法二間接量子化建模即量子控制的模型在拉格朗日和哈密頓框架內(nèi)間接的從經(jīng)典控制系統(tǒng)求得。經(jīng)典控制系統(tǒng)拉格朗日系統(tǒng)哈密頓控制系統(tǒng)量子化量子控制數(shù)學(xué)模型優(yōu)點(diǎn)：可直接借助與經(jīng)典控制模型的許多結(jié)果缺點(diǎn)：對未知量子系統(tǒng)較無力適用范圍：具有較明確經(jīng)典對應(yīng)的

6、量子系統(tǒng)建模量子化建模法三類比量子化建模通過與易于量子化的控制系統(tǒng)類比，先經(jīng)過量子化建立類比系統(tǒng)量子控制模型，再根據(jù)類比關(guān)系獲得所需的量子控制系統(tǒng)模型。給定經(jīng)典控制系統(tǒng)易于量子化的類比系統(tǒng)量子化類比系統(tǒng)的量子控制系統(tǒng)建立類比系統(tǒng)與給定系統(tǒng)的關(guān)系獲得給定系統(tǒng)的量子控制數(shù)學(xué)模型優(yōu)點(diǎn)：應(yīng)用范圍廣缺點(diǎn)：相比前兩種方法計(jì)算較復(fù)雜適用范圍：大部分已知或未知經(jīng)典對應(yīng)的量子系統(tǒng)建模量子系統(tǒng)的仿真概述 量子仿真的分類基于經(jīng)典計(jì)算機(jī)的量子仿真量子仿真算法量子蒙特卡羅方法前景一 概述系統(tǒng)仿真是根據(jù)被研究的真實(shí)系統(tǒng)的模型，利用計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究的一種方法，它是建立在系統(tǒng)科學(xué)、控制理論、計(jì)算機(jī)技術(shù)上的一門綜合性很強(qiáng)

7、的實(shí)驗(yàn)科學(xué)技術(shù)，是分析、綜合各類復(fù)雜系統(tǒng)，特別是大系統(tǒng)的一種研究方法和有力工具。二 量子仿真的分類1 根據(jù)仿真所使用的平臺(tái)不同可以將量子仿真分為一下幾類a 基于經(jīng)典計(jì)算機(jī)的仿真：以經(jīng)典的數(shù)字計(jì)算機(jī)為仿真平臺(tái)，在其上進(jìn)行量子電路的設(shè)計(jì)和量子算法的研究。 目前的研究大多是基于高性能計(jì)算機(jī)hpc（high performance computers)和集群計(jì)算機(jī)平臺(tái)。b 基于元胞自動(dòng)機(jī)的仿真：元胞自動(dòng)機(jī)（cellular automata 或 cellular automaton，ca）是空間和時(shí)間都離散，物理參數(shù)取有限值集系統(tǒng)的理想化模型。比較適合用于對量子場進(jìn)行模擬。c 基于特殊量子系統(tǒng)的仿真：

8、這類仿真主要是用一些特殊的量子系統(tǒng)如量子點(diǎn)，量子光學(xué)設(shè)備，核磁共振，離子阱等對某些簡單的量子系統(tǒng)和量子算法進(jìn)行模擬和仿真。由于這類系統(tǒng)自身的特殊性使得能夠被它們仿真的系統(tǒng)的范圍非常小，但可以用來對某些用經(jīng)典計(jì)算機(jī)無法模擬的量子效應(yīng)進(jìn)行仿真研究 。d 基于量子計(jì)算機(jī)的仿真：是以量子計(jì)算機(jī)為仿真平臺(tái)進(jìn)行的仿真研究。量子計(jì)算機(jī)的功能之一就是可以在其上實(shí)現(xiàn)量子系統(tǒng)隨著時(shí)間的演化過程，這就為量子物理學(xué)提供了新的研究工具。2 根據(jù)仿真對象的不同可以將量子系統(tǒng)仿真分為對量子設(shè)備的仿真和對量子算法的仿真兩類a 量子設(shè)備是指基于電子的量子效應(yīng)進(jìn)行運(yùn)作的設(shè)備，常見的量子設(shè)備有量子點(diǎn)（quantum dot）量子阱

9、激光二極管（quantum well laser diode）熱電子三極管(hot electron transistor)等b 對量子算法的仿真研究是基于量子模擬器的?，F(xiàn)在所擁有的量子計(jì)算機(jī)只是實(shí)驗(yàn)用的兩位量子計(jì)算原型機(jī)，對大多數(shù)量子計(jì)算研究者而言，不可能獲得真正的通用量子計(jì)算機(jī)。而量子模擬器則可以為研究者提供一種基于經(jīng)典計(jì)算機(jī)的模擬量子計(jì)算平臺(tái)，作為進(jìn)一步研究量子計(jì)算的重要工具和手段。量子模擬器對量子計(jì)算理論和量子算法可行性、正確性的研究具有重要意義。將來，當(dāng)量子計(jì)算機(jī)達(dá)到實(shí)用化的階段時(shí)，我們就可以將已有的科研成果直接應(yīng)用到實(shí)際的量子計(jì)算機(jī)上。三 基于經(jīng)典計(jì)算機(jī)的量子分析用經(jīng)典的計(jì)算機(jī)對量

10、子系統(tǒng)進(jìn)行仿真是可能的，但通常來說效率是很低的。對于很對簡單的量子系統(tǒng)，其本身的動(dòng)態(tài)方程行為服從薛定諤方程。對于典型的微觀粒子，薛定諤方程是一個(gè)橢圓形方程，因而僅僅對薛定諤方程進(jìn)行求解并不是量子系統(tǒng)仿真的主要困難，困難在于仿真過程中需要求解的微分方程數(shù)目是指數(shù)級增長的。雖然有時(shí)我們可以通過有效的算法減少方程個(gè)數(shù)來實(shí)現(xiàn)經(jīng)典仿真，然而有很多實(shí)際的物理系統(tǒng)，其方程數(shù)目是沒有辦法進(jìn)行有效縮減的。對于量子系統(tǒng)，量子仿真技術(shù)中主要存在以下兩個(gè)困難，一個(gè)是系統(tǒng)的狀態(tài)表示，另一個(gè)是仿真的速度問題。下面我們就分析系統(tǒng)狀態(tài)的復(fù)雜度和仿真速度與仿真系統(tǒng)的寄存器位數(shù)的指數(shù)關(guān)系。1 系統(tǒng)表示的空間復(fù)雜度設(shè)模擬系統(tǒng)有n

11、個(gè)量子位，使用復(fù)數(shù)表示其狀態(tài)。每個(gè)復(fù)數(shù)用兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)表示，在計(jì)算機(jī)上一個(gè)浮點(diǎn)類型的數(shù)據(jù)占用四個(gè)字節(jié)。則量子系統(tǒng)有n=2的n次方個(gè)狀態(tài)，需要存儲(chǔ)空間是c=2*4*n byte 量子計(jì)算過程中需要使用m個(gè)量子門，表示這m個(gè)量子門的幺正矩陣需要的存儲(chǔ)空間是：c=4*m*n*n byte 從而這個(gè)模擬系統(tǒng)所需的存儲(chǔ)空間就為：c=4*m*n*n+8*n byte 設(shè)單機(jī)的磁盤容量為160gb又設(shè)m=8，它能夠表示16位的量子寄存器的所有的狀態(tài)。如果不考慮量子門的表示，那么它能夠表示34位的量子寄存器的所有狀態(tài)。2 系統(tǒng)表示的時(shí)間復(fù)雜程度量子仿真過程實(shí)際上是一系列矢量矩陣相乘的過程。在計(jì)算機(jī)中要完成的乘法和

12、加法操作至少有 c=m*2* 2n *22n flops假設(shè)單機(jī)的運(yùn)行速度為2g flops。那么運(yùn)行時(shí)間t（單位為小時(shí)）和量子位數(shù)n的關(guān)系為：t=m*2 * 2n *22n /(2*109*60*60) (小時(shí))假設(shè)m=8，對16個(gè)量子位規(guī)模的系統(tǒng)進(jìn)行模擬大約需要625小時(shí)。對12 個(gè)量子位規(guī)模的系統(tǒng)進(jìn)行模擬大約需要9.16分鐘。值得注意的是，這些時(shí)間估算中沒有考慮磁盤的訪問時(shí)間。從上面的公式可以看出：要模擬一個(gè)32位的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)，耗費(fèi)的資源是非常龐大的。如和利用現(xiàn)有的計(jì)算機(jī)技術(shù)構(gòu)造更好的量子仿真環(huán)境，并使之有效地與目前的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)相結(jié)合將是量子仿真技術(shù)的重要研究內(nèi)容。四 量子仿真算法經(jīng)典的

13、仿真通常是從微分方程出發(fā)，將微分展開為一階形式：y(t+t)=y(t)+f(y)t+o(t)與之類似，量子仿真關(guān)心的是方程 的解。對于時(shí)不變的哈密頓量h，其解為：|(t)=-iht(0)由于e通常難以求解，轉(zhuǎn)而考慮一階近似：|(t+t)=i-iht|(t)這樣就比較容易處理了。對于實(shí)際系統(tǒng)的哈密頓量，我們可以獲得更高階次的近似。大多數(shù)物理系統(tǒng)的系統(tǒng)哈密頓量可分解為一系列局部相互作用的疊加。h=hk采用glauber公式：ea+b=eaebe-a,b/2可以獲得量子仿真的高階近似：e i(a+b)t=eiateibt+o(t2)和e i(a+b)t=eiat/2eibt/2+o(t3)量子仿真算

14、法輸入：（1） n維系統(tǒng)的哈密頓量h=h。其中每個(gè)h最多作用于c個(gè)子系統(tǒng)上；(c是常數(shù))（2）系統(tǒng)在t=0時(shí)刻的處態(tài)|(0)；（3）給定的精度0;（4）到達(dá)系統(tǒng)的期望狀態(tài)的時(shí)間tf。時(shí)間復(fù)雜度：o（1/+1）復(fù)雜度的操作。過程：選擇一個(gè)表示，使得n=位的量子比特的系統(tǒng)狀態(tài)|能夠近似所需仿真的系統(tǒng)，并使算符e有有效的近似量子門電路。選擇一個(gè)近似方程和t，使得期望的誤差可接受，并使最大迭代次數(shù)c=tf，同時(shí)為迭代運(yùn)算構(gòu)造一個(gè)相應(yīng)的量子門電路u。最后進(jìn)入如下循環(huán)：1.初始化：j=0，設(shè)=a,|(0)=|a(0);2.更新| (j+1)=ut|a(j);3.j=j+1，如果jttf，則轉(zhuǎn)到4，否則在轉(zhuǎn)

15、到2.4.輸出： (tf)=|a(j);五 量子蒙特卡羅方法 在過去的十年里，人們在對量子系統(tǒng)進(jìn)行仿真的過程中，提出了各種各樣的仿真方法。其中應(yīng)用最為廣泛的當(dāng)數(shù)量子蒙特卡羅qmc（quantum monte carlo)方法。 蒙特卡羅法亦稱為隨機(jī)模擬法，它的基本思想是，為了求解數(shù)學(xué)、物理、工程技術(shù)以及生產(chǎn)管理等方面的問題，首先建立一個(gè)模型或隨機(jī)過程，使它的參數(shù)等于問題的解，然后通過對模型或過程的觀察或抽樣試驗(yàn)來計(jì)算所求參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征，最后給出所求解的近似值，而解的精確度可用估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)誤差來表示。 由于量子系統(tǒng)本身固有的隨機(jī)性，使得蒙特卡羅法很適合用于對量子系統(tǒng)進(jìn)行模擬和仿真，從而發(fā)展出了適

16、用于計(jì)算機(jī)量子多體系統(tǒng)性質(zhì)的量子蒙特卡羅方法 。 量子蒙特卡羅方法適用于個(gè)種系統(tǒng)和模型。它有兩種基本類型，一種是零溫度法和投影蒙特卡羅法，這種方法只計(jì)算單個(gè)波函數(shù)的屬性；另一個(gè)方法叫有有限溫度法，常用于需要遍歷溫度密度矩陣的場合。六 前景 到目前為止，對絕大多數(shù)量子計(jì)算研究者而言，還不可能獲得真正的量子計(jì)算機(jī)。在經(jīng)典計(jì)算機(jī)上對量子系統(tǒng)進(jìn)行模擬可以為研究者提供一種模擬的量子計(jì)算機(jī)平臺(tái)，作為進(jìn)一步研究的手段。量子計(jì)算模型對量子計(jì)算理論和量子算法可行性，正確性的研究具有重要意義。 與此同時(shí)，人們也在努力嘗試在現(xiàn)有的量子計(jì)算設(shè)備上進(jìn)行量子系統(tǒng)仿真的研究。可以預(yù)見，在不久的將來，我們在量子計(jì)算級設(shè)備上進(jìn)

17、行的仿真研究將會(huì)越來越多，隨著量子計(jì)算技術(shù)的不斷完善，基于量子計(jì)算機(jī)的量子仿真將會(huì)給系統(tǒng)仿真技術(shù)的發(fā)展開辟一條新的發(fā)展道路。 總之，無論是基于經(jīng)典計(jì)算機(jī)的量子仿真還是基于量子計(jì)算設(shè)備的量子仿真，都將隨著量子信息和量子計(jì)算等領(lǐng)域的發(fā)展而不段發(fā)展和完善，也將為量子系統(tǒng)控制的研究提供一種更新也更有效的工具。量子仿真系統(tǒng)的仿真研究雖然人們在量子控制的理論研究和實(shí)驗(yàn)研究中已經(jīng)取得了很多優(yōu)秀的成果，但僅僅是在理論上進(jìn)行研究是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。理論研究往往停留在脆弱的理想模型上，面對被控系統(tǒng)的復(fù)雜性，只憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，缺乏建設(shè)性的理論指導(dǎo)。利用計(jì)算機(jī)可以實(shí)現(xiàn)有效地仿真。它可以使理論研究者在沒有被控模型的情況下，對

18、設(shè)計(jì)的控制策略和算法進(jìn)行一些檢驗(yàn)，為進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)研究提供一定基礎(chǔ)，減小不必要的實(shí)驗(yàn)過程，降低實(shí)驗(yàn)成本。一 量子仿真系統(tǒng)仿真平臺(tái)現(xiàn)有條件下，可以用來進(jìn)行量子控制系統(tǒng)仿真研究的平臺(tái)有兩種：1 基于經(jīng)典計(jì)算機(jī)的仿真。2 基于某些量子系統(tǒng)的仿真。二 量子仿真系統(tǒng)仿真的一般步驟仿真不驟大抵可以分為三個(gè)階段：1 模型的建立模型的建立主要是根據(jù)研究目標(biāo)、系統(tǒng)建模原理和數(shù)據(jù)建立系統(tǒng)的模型。2 模型轉(zhuǎn)換階段模型轉(zhuǎn)換階段主要根據(jù)模型的形式、仿真平臺(tái)的類型及仿真目的將模型轉(zhuǎn)換成適合仿真平臺(tái)處理的形式。3 模型的實(shí)驗(yàn)階段。模型的實(shí)驗(yàn)階段主要是設(shè)計(jì)好仿真實(shí)驗(yàn)方案，將模型裝載到仿真平臺(tái)上運(yùn)行，按照一定的規(guī)則輸入數(shù)據(jù)和控制信號(hào)，觀察模型中的變量變化情況，對