矩陣準(zhǔn)型及分解

1、第三章第三章 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形與若干分解形式矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形與若干分解形式1 1 矩陣的相似對角形矩陣的相似對角形2 2 矩陣的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形3 3 哈密頓哈密頓- -開萊定理及矩陣的最小多項式開萊定理及矩陣的最小多項式4 4 多項式矩陣與史密斯標(biāo)準(zhǔn)形多項式矩陣與史密斯標(biāo)準(zhǔn)形5 5 多項式矩陣的互質(zhì)性與既約性多項式矩陣的互質(zhì)性與既約性6 6 有理分式矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形及其仿分式分解有理分式矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形及其仿分式分解7 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣*8 舒爾定理及矩陣的qr分解9 矩陣的奇異值分解 標(biāo)準(zhǔn)型的理論源自矩陣的相似性，因為相標(biāo)準(zhǔn)型的理論源自矩陣的相似性，因為相似矩陣有許多似矩陣有許多相似不變量相似

2、不變量：特征多項式、特征：特征多項式、特征值（包括代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù)）、行列式、跡值（包括代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù)）、行列式、跡及秩等，并且特征向量也可以借助于可逆的相及秩等，并且特征向量也可以借助于可逆的相似變換矩陣互相求出。這自然導(dǎo)出了尋找相似似變換矩陣互相求出。這自然導(dǎo)出了尋找相似矩陣集合中的矩陣集合中的“代表矩陣代表矩陣”的問題。的問題。“代表矩代表矩陣陣”當(dāng)然越簡單越好。對于當(dāng)然越簡單越好。對于可對角化矩陣可對角化矩陣，“代表矩陣代表矩陣”就是特征值組成的對角矩陣。特就是特征值組成的對角矩陣。特別地，對于別地，對于正規(guī)矩陣正規(guī)矩陣，可逆的相似變換矩陣特，可逆的相似變換矩陣特殊化為酉矩陣或正

3、交矩陣。但是令人非常遺憾殊化為酉矩陣或正交矩陣。但是令人非常遺憾的是：的是：一般矩陣未必與對角矩陣相似！一般矩陣未必與對角矩陣相似！n3.2、矩陣的、矩陣的jordan標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型由于一般矩陣與對角矩陣不相似，因此我由于一般矩陣與對角矩陣不相似，因此我們們“退而求其次退而求其次”，尋找，尋找“幾乎對角的幾乎對角的”矩陣。這就引出了矩陣在相似下的各種標(biāo)矩陣。這就引出了矩陣在相似下的各種標(biāo)準(zhǔn)型問題，其中準(zhǔn)型問題，其中jordan標(biāo)準(zhǔn)型是標(biāo)準(zhǔn)型是最接近最接近對角的矩陣對角的矩陣，只在第只在第1條對角線上取條對角線上取1或或0。弄清楚了矩陣相似的本質(zhì)，理論上、計算弄清楚了矩陣相似的本質(zhì)，理論上、計算上

4、以及應(yīng)用上的許多問題就容易處理了，上以及應(yīng)用上的許多問題就容易處理了，當(dāng)然花費也大了。當(dāng)然花費也大了。一、一、 jordan標(biāo)準(zhǔn)型的概念標(biāo)準(zhǔn)型的概念 設(shè)設(shè) 是復(fù)數(shù)域是復(fù)數(shù)域 上的線性空間上的線性空間 上的上的線性變換線性變換 。令。令 在在 的一組基下的矩陣表示的一組基下的矩陣表示為為 ，如果，如果 的的特征多項式特征多項式可分解因式為可分解因式為vt11( )()()smms cvt12()smmmnaa)()(iiimtnkeer 則則 可分解成不變子空間的直和可分解成不變子空間的直和這里這里12svnnn排排 v1122(),(),()ssjdiag jjj 適當(dāng)選取每個子空間適當(dāng)選取每

5、個子空間 的基（稱為的基（稱為），），則每個子空間的則每個子空間的jordan基合并起來即為基合并起來即為 的的，并且，并且 在該在該jordan基下的矩陣為塊對角陣基下的矩陣為塊對角陣vinv稱稱 為為 。并稱方陣。并稱方陣ja1(),1, 2 ,1iiiiiiimmjis 為為 im11( )()()smms 12()smmmn 設(shè)設(shè) 。如果。如果 的特征多項式可的特征多項式可分解因式為分解因式為n nac a1papj 則則 可經(jīng)過可經(jīng)過相似變換相似變換化成唯一的化成唯一的 jordan標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型 (不計不計jordan塊的排列次序塊的排列次序)，即存在可逆矩陣，即存在可逆矩陣(稱為稱

6、為) 使使n npc aj或者或者 有有a1apjp 二、二、 jordan標(biāo)準(zhǔn)型的一種簡易求法標(biāo)準(zhǔn)型的一種簡易求法1122(),(),()attjdiag aaa 把把 的同一個特征值的若干個的同一個特征值的若干個jordan塊塊排列在一起，排列在一起，就得到就得到j(luò)ordan標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型a12()tnnnn 12(),(),()iiiiiikdiag jajj 其中其中 是是 階的階的jordan子矩陣，子矩陣，有有 個個階數(shù)為階數(shù)為 的的jordan塊塊，即，即()iia inik12()iiii ji kinnnnn 12(,)tpppp 其中其中 是是 階的矩陣。階的矩陣。ipinn

7、 根據(jù)根據(jù) 的結(jié)構(gòu)，將的結(jié)構(gòu)，將jordan變換矩陣變換矩陣 列分塊為列分塊為ajp由由 ，可知，可知aapp j ( ) (1,2, , )iiiiiapapt 12(,)iiiikipppp 進一步，根據(jù)進一步，根據(jù) 的結(jié)構(gòu)，將的結(jié)構(gòu)，將 列分塊為列分塊為ip()iia 其中其中 是是 階矩陣。階矩陣。i jnn (1, 2,)i jijpk 由由 ，可知，可知()iiiia pp a ()(1,2,)ijiiji jjkpjap ()(1)(2)(,)i jini ji jji jpppp 最后，根據(jù)最后，根據(jù) 的結(jié)構(gòu)，設(shè)的結(jié)構(gòu)，設(shè)()jij 由由 ，可知，可知()i ji jjipaj

8、p ( )( )( )12()(11)()()()i ji jii jii ji jii ji jnnai paippaipp ()(2)(1),i jni ji ji jppp解這個方程組，可得到解這個方程組，可得到這個名稱也可以這樣理解：這個名稱也可以這樣理解：()(1)(1)iiijjiiiaiaiainnijijiaijppp a其中，其中， 是矩陣是矩陣 關(guān)于特征關(guān)于特征值值 的一個特征向量，的一個特征向量， 則稱為則稱為 的的,稱稱 為為 的的 級級。i ()(2),i jni ji jpp(1)(1,2,)ii jjpk i i i ()i jni jpi jn當(dāng)所有的當(dāng)所有的

9、時，可知時，可知 ，此時矩陣沒，此時矩陣沒有廣義特征向量，有廣義特征向量， 的各列是的各列是 的線性無關(guān)的特的線性無關(guān)的特征向量，因此征向量，因此都是一階的，此時都是一階的，此時為為即矩陣即矩陣 是是。211212,(,),tntntndiagj i ipiikn 1i jn ( ) (1, ;ijijjk )1,it a110430102a 例例 3 3 求矩陣求矩陣 的的 jordan標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型 和相應(yīng)的和相應(yīng)的jordan變換矩陣變換矩陣 ，其中，其中apaj解：解： 特征值為特征值為 ，所以設(shè)，所以設(shè)a1232,1 12(2)(1)aaja 因為特征值因為特征值 為單根，所以為單根，

10、所以12 1(2)2a 并從并從 解得對應(yīng)的特征向量為解得對應(yīng)的特征向量為(2 )ai x 1(0,0,1)t 211(1)01a 對于二重特征值對于二重特征值 ，由，由231 只解得唯一的特征向量為只解得唯一的特征向量為()ai x 2(1,2, 1)t 因此因此 中只有一個中只有一個jordan塊，即塊，即2(1)a求解求解 ，可得所需的廣義特征向量，可得所需的廣義特征向量2()ai (0,1, 1)t 對重根有幾個特征向量，就有幾個約旦塊010200021,011111001apj綜合上述，可得綜合上述，可得112212313432d xxxd td xxxd td xxxd t 例例

11、4 4 用用 jordan標(biāo)準(zhǔn)型理論求解標(biāo)準(zhǔn)型理論求解線性微分方程組線性微分方程組解：解： 方程組的矩陣形式為方程組的矩陣形式為d xaxd t 這里這里312123(,) ,(,) ,ttdxdxdxdxxxxxdtdtdtdt 110430102a 010200021,011111001apj其中其中由上例，存在可逆線性變換由上例，存在可逆線性變換 使得使得xp y 1apapj 所以原方程組變?yōu)樗栽匠探M變?yōu)?11ad yd xppaxpap yjyd td t即即31212332,d yd yd yyyyyd td td t 解得解得221122333,ttttyc eyc ec t

12、eyc e最后，由可逆線性變換最后，由可逆線性變換 得原方程組的解得原方程組的解xp y 123223231232(21)(1)tttttttxc ec texc ectexc ec ec te xaxbuycxdu 例例 5 5 現(xiàn)代控制理論中，現(xiàn)代控制理論中，(linear time invariant , lti )的的為為這里矩陣這里矩陣 表示了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變量之間的聯(lián)系，表示了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變量之間的聯(lián)系，稱為稱為；矩陣；矩陣 稱為稱為或或；矩陣矩陣 稱為稱為或或；矩陣；矩陣 稱為稱為。abcd1111pxbpxpxuxuycp xdupapc xadub 做可逆線性變換做可逆線性變換

13、 ，則，則 顯然，最簡單的顯然，最簡單的 就是就是 的的jordan標(biāo)準(zhǔn)型。此時標(biāo)準(zhǔn)型。此時雖然沒有實現(xiàn)狀態(tài)變量間的雖然沒有實現(xiàn)狀態(tài)變量間的，但也達到了可，但也達到了可能達到的能達到的。因此線性變換就是狀態(tài)空間。因此線性變換就是狀態(tài)空間的基底變換，的基底變換，其目的在于尋找描述同一系統(tǒng)的運動行其目的在于尋找描述同一系統(tǒng)的運動行為的盡可能簡單的狀態(tài)空間描述為的盡可能簡單的狀態(tài)空間描述。aaxp x 010000102301xaxbuxu 求下列求下列的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型：的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型： 這里矩陣這里矩陣 是特征多項式是特征多項式 的的。a|ia 解：解：的特征值為的特征值為 ，故設(shè)，故設(shè)a1232,1

14、12(2)( 1)aaja 因為特征值因為特征值 為單根，所以為單根，所以12 1(2)2a 并從并從 解得對應(yīng)的特征向量為解得對應(yīng)的特征向量為(2 )ai x 32|32(2)(1)0ia 1(1,2,4)t 211( 1)01a 只解得唯一的特征向量為只解得唯一的特征向量為對于二重特征值對于二重特征值 ，由，由2,31 ()ai x 2(1, 1,1)t 因此因此 中只有一個中只有一個jordan塊，即塊，即2( 1)a 求解求解 ，可得所需的廣義特征向量，可得所需的廣義特征向量2()ai (1,0, 1)t 111200210,011411001apj綜合上述，可得綜合上述，可得1121

15、12529633p 因此經(jīng)過可逆線性變換因此經(jīng)過可逆線性變換 后，系統(tǒng)矩陣后，系統(tǒng)矩陣 和和控制矩陣控制矩陣 分別為分別為 axp x b1200011001apapj 1211 .91p bb 2111213211011122a 例例 6 6 求矩陣求矩陣 的的 jordan標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型 和相應(yīng)的和相應(yīng)的jordan變換矩陣變換矩陣 ，其中，其中apaj12(2)(1)aaja 因為特征值因為特征值 為單根，所以為單根，所以10 1(0)0a 解：解： 的特征值為的特征值為 ，則，則 a12340,1 并從并從 解得對應(yīng)的特征向量為解得對應(yīng)的特征向量為(0)ai x 1( 1,3,1, 2)

16、t 2111( 1)11111a 或或?qū)τ谌靥卣髦祵τ谌靥卣髦?，由，由2341 解得兩個特征向量為解得兩個特征向量為( 1)ai x 23(1,0,0, 1) ,(0,1,0, 1)tt 因此因此 中有兩個中有兩個jordan塊，即塊，即2( 1)a 求解求解 ，無解無解！2(+ )a i 求解求解 ，可得所需的廣義特征向量，可得所需的廣義特征向量3(+ )a i ( 1 0,1,0)t ，綜合上述，可得綜合上述，可得1101030101,10011121101apj 綜合上述，可得綜合上述，可得1101030101,10011121101apj 要特別當(dāng)心的是，要特別當(dāng)心的是，如果選取

17、三重特征值如果選取三重特征值 的特征向量為的特征向量為2341 32(1,0,0, 1) ,(1, 1,0,0)tt 求解求解 ，無解無解！2(+ )a i 求解求解 ，也無解也無解！3(+ )a i (1)(1)(1)12,iiiikppp這說明，在選取特征值這說明，在選取特征值 的的 個特征向量個特征向量iki 前述求法顯然存在有待深化。前述求法顯然存在有待深化。iki 這說明，在選取特征值這說明，在選取特征值 的的 個特征向量個特征向量iki 三、三、 jordan標(biāo)準(zhǔn)型的一般方法標(biāo)準(zhǔn)型的一般方法1()()kkiirank airank ai 有非零解的最小正整數(shù)有非零解的最小正整數(shù)。1

18、(),()kkiiaixaix 根據(jù)前面的分析，這個最小正整數(shù)也就是相應(yīng)于特根據(jù)前面的分析，這個最小正整數(shù)也就是相應(yīng)于特征值征值 的的最大最大jordanjordan塊的階數(shù)塊的階數(shù)。i 設(shè)設(shè) 為復(fù)方陣為復(fù)方陣 的代數(shù)重數(shù)為的代數(shù)重數(shù)為 的特征值，的特征值， 為為使得等式使得等式i i ka成立的成立的最小正整數(shù)最小正整數(shù)(稱為特征值稱為特征值 的的)，即使得，即使得i (),0,1,2,ttirrank ait （3）計算）計算 。 1,1,2,tttddtk 10;kd 按此計算出的按此計算出的 就是就是 階階jordan塊塊 的個的個數(shù)。不計順序，就唯一確定了相應(yīng)的數(shù)。不計順序，就唯一確

19、定了相應(yīng)的jordan標(biāo)準(zhǔn)型。標(biāo)準(zhǔn)型。t t()tij 規(guī)定規(guī)定 。（。（1）計算）計算0rn （2）計算）計算 直至出現(xiàn)直至出現(xiàn) 1,1,1tttdrr tk 1(),()kkiiaixaix 則則12340,2,0,1. 12344,10,7,438,2inrrrkr 則可得最長的則可得最長的jordan鏈鏈取取 滿足滿足1ip321111()()()iiiiiiiaipaipai pp ，. .至于相應(yīng)的子矩陣至于相應(yīng)的子矩陣 的構(gòu)造，我們通過一個例子來的構(gòu)造，我們通過一個例子來說明。假定說明。假定ip這里這里對于另外兩條長為對于另外兩條長為 2 的的jordan鏈，可這樣選?。烘湥蛇@

20、樣選?。?233()(,;,.)iiiiiiai ppai pp 1232(1),(2)()(),2,3iiililiiipppaiplai p 線線性性無無關(guān)關(guān)；且且. .2111213211011122a 例例 7 7 求矩陣求矩陣 的的 jordan標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型 和相應(yīng)的和相應(yīng)的jordan變換矩陣變換矩陣 ，其中，其中apaj12(2)(1)aaja 因為特征值因為特征值 為單根，所以為單根，所以10 1(0)0a 解：解： 的特征值為的特征值為 ，則，則 a12340,1 并從并從 解得對應(yīng)的特征向量為解得對應(yīng)的特征向量為(0)ai x 1( 1,3,1, 2)t 對于三重特征值對于

21、三重特征值 ，計算得，計算得2341 4(1,0, 1,0) ,t 12122,1,22,1,.krr 從而得最長的從而得最長的jordan鏈鏈44()(0, 1,0,1) ,(1,0, 1,0) .ttai 解解 得非零向量得非零向量2(),()aixai x2(1, 1,0,0) .t 1244(,(),)pai 顯然顯然 線性無關(guān)。線性無關(guān)。24, 解解 得非零向量得非零向量1()aix 令令1101311010012010 可以驗證成立等式可以驗證成立等式101111apapj 3.3、 cayley-hamilton定理及其應(yīng)用定理及其應(yīng)用jordan標(biāo)準(zhǔn)型的計算復(fù)雜，而特征多項式標(biāo)

22、準(zhǔn)型的計算復(fù)雜，而特征多項式與之關(guān)系密切。由于與之關(guān)系密切。由于cayley和和hamilton發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)矩陣的特征多項式是矩陣的零化多矩陣的特征多項式是矩陣的零化多項式項式（相當(dāng)于零因子式），因此（相當(dāng)于零因子式），因此類比類比多項多項式的帶余除法理論式的帶余除法理論，以適當(dāng)?shù)牧慊囗検?，以適當(dāng)?shù)牧慊囗検綖樯蹋瑢⒕仃嚩囗検睫D(zhuǎn)化為相應(yīng)的余式，為商，將矩陣多項式轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的余式，從而降低多項式的次數(shù)，就成了另一種思從而降低多項式的次數(shù)，就成了另一種思路。路。一、一、cayley-hamilton定理定理 （cayley-hamilton定理定理） 階方陣階方陣 是其特征多項式是其特征多項式 的的

23、“根根”，即，即( ) an()ao 是關(guān)于是關(guān)于 的多項式。如果的多項式。如果 ，則稱則稱 是矩陣是矩陣 的的。 a()f ao ( )f ( )f 顯然矩陣顯然矩陣 的特征多項式的特征多項式 是矩是矩陣陣 的一個的一個。aa( )| ia= =- -110430,102a 例例 3 3 求矩陣求矩陣 的的 ，其中，其中a()f a5432()46663 .f aaaaaai解：解： 矩陣矩陣 的特征多項式為的特征多項式為a32( )|452ia 令令5432( )46663f則則()ao 可知可知2( )(1) ( )1f 210420101ai 2()() ()f aaiaai 因此因此

24、二、最小多項式（二、最小多項式（minimal polynomial)在矩陣在矩陣 的所有零化多項式中，的所有零化多項式中，次數(shù)最低次數(shù)最低的的首一首一多項式稱為多項式稱為 的的，記為，記為 。aa( )m 例如矩陣?yán)缇仃?2 )(4 )aiaio- - -= =332152130a 的最小多項式的最小多項式 ，因為，因為( )(2)(4)m = =- - - 矩陣矩陣 的最小多項式的最小多項式 整除整除 的任的任一零化多項式。特別地，一零化多項式。特別地， 整除整除 的特征多項的特征多項式式 。( ) a( )m aa( )m 定理定理5 5說明可以從矩陣的特征多項式中尋找矩陣的說明可以從

25、矩陣的特征多項式中尋找矩陣的最小多項式。最小多項式。若若 為為 的任意零化多項式，則有的任意零化多項式，則有a( )f ( )( )( )( )f q m r = =+ +因此因此()()()()f aq a m ar a= =+ +由于由于()()f am ao= = =所以所以()r ao= =由于由于 的次數(shù)小于的次數(shù)小于 的次數(shù)，所以的次數(shù)，所以( )r ( )m ( )0r = = 矩陣矩陣 的最小多項式的最小多項式 的的根根必定是必定是 的的特征值特征值；反之，；反之， 的特征值也必定是的特征值也必定是 的最小多的最小多項式項式 的根。的根。a( )m aa( )m a特征值與相似

26、關(guān)系緊密，相似矩陣的特征多項式特征值與相似關(guān)系緊密，相似矩陣的特征多項式相同，那么相似矩陣的最小多項式呢？答案是也相同，那么相似矩陣的最小多項式呢？答案是也相同。所以求矩陣的最小多項式就轉(zhuǎn)化為求其相同。所以求矩陣的最小多項式就轉(zhuǎn)化為求其jordan標(biāo)準(zhǔn)型的最小多項式。標(biāo)準(zhǔn)型的最小多項式。但遺憾的是具有相但遺憾的是具有相同最小多項式的矩陣未必是相似的同最小多項式的矩陣未必是相似的( (為什么？為什么？) )。根據(jù)定理根據(jù)定理5 5，前半部分顯然成立。，前半部分顯然成立。若若 有特征對有特征對 ，則，則a( , ) o= = =1110kkka bab ab- - -= =+ + + + +l l

27、1110kkk bb b- - -= =+ + + + +l l( )m = =1110()kkkabab ab i - - -+ + + + += =l l( )m a 因此因此( )0m = = 那么那么 的最小多項式為的最小多項式為a 矩陣矩陣 的最小多項式的最小多項式 是矩陣是矩陣 的第的第 個不變因子個不變因子 ，也就是說，如果有，也就是說，如果有( )nd aa( )m n11( )|()()smmsia 11( )()()sddsm 這里這里 為為 的的jordan標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型 中包含中包含 的的 最大最大jordan塊的階數(shù)，即指標(biāo)塊的階數(shù)，即指標(biāo)。i idaj11043010

28、2a 例例 8 8 求矩陣求矩陣 的的 最小多項式最小多項式 ，其中，其中a( )m 5432()46663 .f aaaaaai并求矩陣并求矩陣 的的a解：解： 對矩陣對矩陣 進行初等變換，可得進行初等變換，可得ia 110430102ia 210001000(2)(1)因此因此 的最小多項式為的最小多項式為a23( )( )(1) (2).md 由于由于5432( )46663f2(1)( )1m210420101ai 2()() ()f aaiaai 因此因此 矩陣矩陣 可對角化的可對角化的充要條件充要條件是是 的最小多的最小多項式?jīng)]有重根。項式?jīng)]有重根。aa例例 1010 證明冪等矩陣

29、一定相似于對角矩陣證明冪等矩陣一定相似于對角矩陣。由于由于 ，因此，因此 是是 的零化多項式。由于的零化多項式。由于 沒有重根，沒有重根，因此因此 也沒有重根。根據(jù)定理也沒有重根。根據(jù)定理 9 9 ，結(jié)論，結(jié)論成立。成立。2aa a2( )f2( )0f( )0m 3.4 smith標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型由于由于jordan標(biāo)準(zhǔn)型的計算需要特征值、標(biāo)準(zhǔn)型的計算需要特征值、特征向量及廣義特征向量的信息，因此與特征向量及廣義特征向量的信息，因此與特征多項式特征多項式關(guān)系密切。從函數(shù)的眼光看，關(guān)系密切。從函數(shù)的眼光看，特征多項式實際上是特殊的特征多項式實際上是特殊的函數(shù)矩陣函數(shù)矩陣（元（元素是函數(shù)的矩陣），這

30、就自然引出對素是函數(shù)的矩陣），這就自然引出對 矩陣的研究，并希望能籍此簡化矩陣的研究，并希望能籍此簡化jordan標(biāo)準(zhǔn)型的繁雜計算。標(biāo)準(zhǔn)型的繁雜計算。- 一、一、 矩陣及其標(biāo)準(zhǔn)型矩陣及其標(biāo)準(zhǔn)型- 稱矩陣稱矩陣 為為 ，其中元素，其中元素 為數(shù)域為數(shù)域 上關(guān)于上關(guān)于 的多項式。的多項式。( )i jaa= =- f(1,2,;,)( )1 2,i jimjan=llll 稱稱 階階 矩陣矩陣 是是，如果有，如果有 并稱并稱 為為 的的。反之亦然。反之亦然。 ( )a - n( )b ( ) ( )( ) ( )na b b a e=( )a 注意與數(shù)字矩陣不同的是滿秩矩陣未必是可逆的。注意與數(shù)字

31、矩陣不同的是滿秩矩陣未必是可逆的。 矩陣矩陣 可逆的可逆的充要條件充要條件是其行列式是其行列式 為為非零的常數(shù)非零的常數(shù)，即，即( )a )et( (0d)a c=如果矩陣如果矩陣 經(jīng)過有限次的經(jīng)過有限次的初等變換初等變換化成化成矩陣矩陣 ，則稱矩陣，則稱矩陣 與與 等價等價，記為，記為( )a ( )b ( )( )a b : :( )a ( )b 矩陣矩陣 與與 等價的等價的充要條件充要條件是存在是存在可逆矩陣可逆矩陣 ，使得，使得( )a ( )( )()b a qp= =( )b ( )( )p q 、任意任意 階的階的 矩陣矩陣 都必定有都必定有一個與之一個與之等價等價的的這里這里

32、，非零對角元，非零對角元是首一（首項系數(shù)為是首一（首項系數(shù)為1 1）多項式，并且）多項式，并且( ( )a rankr= =12( )( ( ),( ),( ),0,0)rd diag d d d l ll l( )a - mn 12( ),( ),( )rd d d l l1( )|( )(1,2,1)iid dir+ += =- -l l0(1)0( )01002a 例例 7 7 求矩陣求矩陣 的的 smith標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型 ，其中，其中( )a 解：解： 對矩陣對矩陣 進行初等變換，可得進行初等變換，可得( )a 0(1)0( )01002a 000(1)0201 00(1)00102 0

33、0(1)10200 00(20)10(1)0 00(100(10)20 10000(1(2)2)(0) 100(0(02)1)0 0(0(210)01)0 00(1)(210001)( 00(1)10)00(20 1000000(1)(2) 即為所求的即為所求的smith標(biāo)準(zhǔn)型。標(biāo)準(zhǔn)型。3.7 3.7 傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣2 2）mimomimo系統(tǒng)，多輸入對多輸出，故引入傳遞函數(shù)陣系統(tǒng)，多輸入對多輸出，故引入傳遞函數(shù)陣g(s) g(s) ，g(s)g(s)是一個矩陣，可以表征多個輸入對系統(tǒng)輸出的影響；是一個矩陣，可以表征多個輸入對系統(tǒng)輸出的影響；狀態(tài)空間表達式：狀態(tài)空間表達式：)1( d

34、ucxybuaxx 根據(jù)傳遞函數(shù)定義，根據(jù)傳遞函數(shù)定義，式式(1)(1)拉氏變換，并令拉氏變換，并令 ，得式，得式(2)(2)：0) 0(0 xx) 2()()()()()()( sduscxsysbusaxssx1 1）sisosiso系統(tǒng)，一輸入對一輸出，用傳遞函數(shù)系統(tǒng)，一輸入對一輸出，用傳遞函數(shù)g(s)g(s)描述，描述， g(s)g(s)是一個元素；是一個元素；整理（整理（2 2）式得：）式得：) 3()()()(1sudbasicsy mrmmrrgggggggggdbasicsusysg2122221112111)()()()(注意矩陣求逆注意矩陣求逆定義定義傳遞函數(shù)陣傳遞函數(shù)陣：

35、1 1）dim(g(s)=mdim(g(s)=mr r，其中，其中dim()dim()表示表示的維數(shù)。的維數(shù)。 mm是輸出維數(shù)，是輸出維數(shù)，r r是輸入維數(shù)。是輸入維數(shù)。)()()(susysgjiij 2 2）g(s)g(s)的每個元素的含義：的每個元素的含義：表示第表示第i i個輸出中，由第個輸出中，由第j j個輸入變量引起個輸入變量引起的輸出和第的輸出和第j j個輸入變量間的傳遞關(guān)系。個輸入變量間的傳遞關(guān)系。3 3）同一系統(tǒng)，不同的狀態(tài)空間表達式對應(yīng)的）同一系統(tǒng)，不同的狀態(tài)空間表達式對應(yīng)的g(s)g(s)是相同的。是相同的。求由求由 表述系統(tǒng)的表述系統(tǒng)的g(s)g(s) 11201120

36、12016116100010cba，)det()()(1asiasiadjasi 根據(jù)矩陣求逆公式：根據(jù)矩陣求逆公式：由傳遞函數(shù)陣公式得：由傳遞函數(shù)陣公式得： 20120161161001112011)()(11sssdbasicsg 222316116)6(6161166116161161001sssssssssssssss求得：求得：求得傳遞函數(shù)陣為：求得傳遞函數(shù)陣為： 14173525644329461161)(222223ssssssssssssg求如圖所示二輸入二輸出求如圖所示二輸入二輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣。1 1、確定、確定g(s)g(s)維數(shù)。維數(shù)。2 2、確定、

37、確定g(s)g(s)中各元素的值。中各元素的值。 113112121)(sssssg)()()(susysgjiij 根據(jù)根據(jù)g(s)g(s)矩陣中每個元素的含義，很容易寫出上圖的矩陣中每個元素的含義，很容易寫出上圖的傳遞函數(shù)陣傳遞函數(shù)陣 )(1sy21 s)(1su11 s)(2su 121 s)(2sy31 s ：第三章第三章 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形與若干分解形式矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形與若干分解形式8. 舒爾定理及矩陣的qr分解舒爾定理任意n階復(fù)矩陣a，存在酉矩陣u，使得其中t是上三角陣，且其對角線元素為a的特征值。u au =th3.8 schur 定理及矩陣的定理及矩陣的qr分解分解qr分解在矩陣計算中占

38、據(jù)相當(dāng)重要的地位。分解在矩陣計算中占據(jù)相當(dāng)重要的地位。利用利用qr分解，可以解決各種應(yīng)用中（例如工分解，可以解決各種應(yīng)用中（例如工程力學(xué)、流體力學(xué)、圖像壓縮處理、結(jié)構(gòu)分析程力學(xué)、流體力學(xué)、圖像壓縮處理、結(jié)構(gòu)分析等）出現(xiàn)的等）出現(xiàn)的最小二乘問題最小二乘問題、特征值問題特征值問題等矩陣等矩陣計算中的核心問題。尤其是基于計算中的核心問題。尤其是基于qr分解的分解的qr算法，是求解算法，是求解小型稠密矩陣特征值問題小型稠密矩陣特征值問題的最主的最主要的、數(shù)值穩(wěn)定的算法。要的、數(shù)值穩(wěn)定的算法。使用矩陣語言，就是使用矩陣語言，就是：arq 這里，這里， 是酉矩陣或正交矩陣，是酉矩陣或正交矩陣， 是上三角陣

39、是上三角陣rq此時線性方程組此時線性方程組axb 變成變成qr xb 即即三角方程組三角方程組1hxbqrqb 421201201121a 利用利用gram-schmidt方法將下列矩陣進行方法將下列矩陣進行qr分解：分解：1(4,2,2,1) ,t 解解：1112(0.8,0.4,0.4,0.2)|t 11(4,2,2,1)t2222(0.2, 0.4,|0.4,0.|8)|t 22211(0.4, 0.8(,), 0.8,1.6)t 33113232(,)(,)(0,1, 1,0)t 33321(0|,2|,2,0)2t 所以所以 的的qr分解為：分解為：a521021002trq a1230.80.200.40.42 2(,)0.40.42 20.20.8