第三章 多維隨機變量

1、1結(jié)結(jié)束束第三章第三章多維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布2結(jié)結(jié)束束到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維隨機變量及其分布到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維隨機變量及其分布. 飛機的重心在空中的位置是由飛機的重心在空中的位置是由三個隨機變量三個隨機變量(三個坐標）來確定三個坐標）來確定的等等的等等.但有些隨機現(xiàn)象用一個隨機變量來描述還不夠，而但有些隨機現(xiàn)象用一個隨機變量來描述還不夠，而需要用幾個隨機變量來描述需要用幾個隨機變量來描述.如如: 在打靶時在打靶時, 命中點的位置是由命中點的位置是由一對隨機變量一對隨機變量(兩個坐標兩個坐標)來確定的來確定的.因而需進一步討論由多個隨機變量構(gòu)成的隨機向量因而需進

2、一步討論由多個隨機變量構(gòu)成的隨機向量.其處理思路及方法與一維情形相同其處理思路及方法與一維情形相同, 但形式較一維但形式較一維復(fù)雜復(fù)雜; 學(xué)習(xí)時應(yīng)注意與一維情形的對照學(xué)習(xí)時應(yīng)注意與一維情形的對照.3結(jié)結(jié)束束 設(shè)設(shè) 為試驗為試驗 e 的樣本空間的樣本空間, 若對若對 中的任一中的任一基本事件基本事件 e , 都有惟一確定的都有惟一確定的 n 個實數(shù)個實數(shù) x1(e) , , xn(e) 與之對應(yīng)與之對應(yīng), 則叫則叫 (x1(e) , , xn(e)為為 n 維隨機變量維隨機變量, 由于從二維推廣到多維一般沒有實質(zhì)性的困難由于從二維推廣到多維一般沒有實質(zhì)性的困難,我們重點討論二維隨機變量我們重點討

3、論二維隨機變量 . 定義定義:簡記為簡記為 ( x1 , , xn ). 二維隨機變量一般用二維隨機變量一般用 ( x, y ) 來表示來表示 . 4結(jié)結(jié)束束 3.1和和3.2二維隨機變量二維隨機變量3.1.1 二維隨機變量的聯(lián)合分布與邊緣分布二維隨機變量的聯(lián)合分布與邊緣分布一、一、x與與 y 的聯(lián)合分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù))(xxpxfx x 的分布函數(shù)的分布函數(shù)二維隨機變量二維隨機變量 ( x, y ) 的分布函數(shù)的分布函數(shù)為為也叫也叫 x與與 y 的聯(lián)合分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)., ,),(yyxxpyxf 5結(jié)結(jié)束束 幾何表示幾何表示: ( x, y ) 的分布

4、函數(shù)的分布函數(shù),),(yyxxpyxf yx0.(x, y). (x, y )f (x, y) 為隨機點為隨機點 (x, y )落在圖中陰影落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的概率區(qū)域內(nèi)的概率.6結(jié)結(jié)束束 容易看出隨機點（容易看出隨機點（x，y）落在矩形區(qū)域）落在矩形區(qū)域 的概率為的概率為11212( , )|,dx yxxxyyy11212( , ),px ydp xxxyyy22122111(,)(,)(,)(,)f xyf x yf xyf x yyx0y1y2x1x2d17結(jié)結(jié)束束 對二維隨機變量對二維隨機變量f(x ,y ) ,有如下性質(zhì)有如下性質(zhì):2) f(x,y)是變量是變量x和和y的不減函數(shù)的

5、不減函數(shù);3) f(x,y)關(guān)于關(guān)于x右連續(xù)右連續(xù), f(x,y)關(guān)于關(guān)于y右連續(xù)右連續(xù);( , )(0,),( , )( ,0),f x yf xy f x yf xy1)對于任意的實數(shù)對于任意的實數(shù)x ,y ,有有0( , )1;f x y),(),( xfyf, 0),( f1),( f4）8結(jié)結(jié)束束),()( xfxfx 在二維隨機變量在二維隨機變量( x , y ) 中中:x 的分布函數(shù)稱為的分布函數(shù)稱為 ( x , y ) 關(guān)于關(guān)于 x 的邊緣分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù), y 的分布函數(shù)稱為的分布函數(shù)稱為 ( x , y ) 關(guān)于關(guān)于 y 的邊緣分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù); 由聯(lián)合分布函數(shù)

6、可確定邊緣分布函數(shù)由聯(lián)合分布函數(shù)可確定邊緣分布函數(shù), 對此有對此有:).,()(yfyfy ,),(yyxxpyxf )(xxpxfx )(yypyfy 9結(jié)結(jié)束束),(21nxxxf 進一步可定義進一步可定義 n 維隨機變量維隨機變量 (x1 , , xn ) 的的分布函數(shù)分布函數(shù):, ,2211nnxxxxxxp )(ixxfi及關(guān)于及關(guān)于 xi ( i = 1, , n ) 的邊緣分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù):),( ixf10結(jié)結(jié)束束 二、二維離散型隨機變量的分布律及邊緣分布律二、二維離散型隨機變量的分布律及邊緣分布律, 2, 1, ipxxpiix 的分布律的分布律對二維離散型隨機變量對二

7、維離散型隨機變量( x, y ):為為 ( x, y ) 的分布律的分布律，或，或 x與與 y 的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律., 2 , 1, jipyyxxpjiji( x, y ) 的分布律的性質(zhì)的分布律的性質(zhì):, 0 jip1 ijjip可列表表示可列表表示:(1) 非負性非負性(2) 歸一性歸一性 xy x1 x2 xi y1yj p11 p21 pi 1 p1 j p2 j pi j 11結(jié)結(jié)束束 在二維離散型隨機變量在二維離散型隨機變量( x , y ) 中中, 稱稱x 的分布律為的分布律為( x , y ) 關(guān)于關(guān)于 x 的邊緣分布律的邊緣分布律, y 的分布律為的分布律為( x ,

8、 y ) 關(guān)于關(guān)于 y 的邊緣分布律的邊緣分布律; 由聯(lián)合分布律可確定邊緣分布律由聯(lián)合分布律可確定邊緣分布律, 對此有對此有:關(guān)于關(guān)于 x 的邊緣分布律為的邊緣分布律為關(guān)于關(guān)于 y 的邊緣分布律為的邊緣分布律為, jjiipxxp, ijijpyyp, 2 , 1, jipyyxxpjiji( x, y ) 的分布律的分布律), 2 , 1( i), 2 , 1( j12結(jié)結(jié)束束由聯(lián)合分布律確定邊緣分布律由聯(lián)合分布律確定邊緣分布律, 也可列表給出也可列表給出:px= xi jjp1 jjp2 jjip1py= yj iip1 ijip xy x1 x2 xi y1yj p11 p21 pi 1

9、 p1 j p2 j pi j 13結(jié)結(jié)束束例例1: 一整數(shù)一整數(shù) n 等可能地在等可能地在1, 2, , 6十個值中取一個值十個值中取一個值, d=d(n)是能整除是能整除 n 的正整數(shù)的個數(shù)的正整數(shù)的個數(shù), f=f(n)是能整除是能整除 n 的的素數(shù)的個數(shù)素數(shù)的個數(shù), 試確定試確定 d 和和 f 的聯(lián)合分布律及邊緣分布律的聯(lián)合分布律及邊緣分布律. 解解: 先由先由 n 的取值確定的取值確定 d 和和 f 的取值的取值: 0, 1 fdp1 2 3 4 5 6ndf102121312142d的可能取值的可能取值 為為1, 2, 3, 4;f 的可能取值的可能取值為為0, 1, 2 ; 再確定

10、取值的概率再確定取值的概率, ,如如: : 1 np1/, 6 61, 2 fdp(235pnnn/3 63 6等等等等. .可得可得d 和和 f 的的聯(lián)合分布律及聯(lián)合分布律及邊緣分布律為邊緣分布律為:idp jfp 1/ 64/ 61/ 61/ 6 3/ 6 1/ 6 1/ 61d 0 3/6 1/ 6 0f012 1 2 3 4 1/6 0 0 0 0 0 0 1/ 614結(jié)結(jié)束束 例例2: 將一試驗在同一條件下獨立地重復(fù)進行，直到成功兩次將一試驗在同一條件下獨立地重復(fù)進行，直到成功兩次 為止。設(shè)每次試驗成功的概率為為止。設(shè)每次試驗成功的概率為p，令，令x為第一次成功之前失敗的為第一次成功

11、之前失敗的次數(shù)，次數(shù)，y為兩次成功之間的失敗次數(shù)，求為兩次成功之間的失敗次數(shù)，求x 和和y 的聯(lián)合分布律及的聯(lián)合分布律及邊緣分布律邊緣分布律. 解解: 依題意，依題意，x，y均服從幾何分布，其概率分布為均服從幾何分布，其概率分布為 p xiipq(0,1,2,.)i p yjjpq(0,1,2,.)j 依題意，依題意，“x=x=i i”與與“y=y=j j”相互獨立，則相互獨立，則其中其中q=1-p,即為所求即為所求x和和y的的聯(lián)合分布律聯(lián)合分布律, ijpp xi yjp xi p yj2,( ,0,1,2,.)iji jpq pqp qi j15結(jié)結(jié)束束0iijjpxxp211ipqq0j

12、ijip yyp211jpqqx 的邊緣分布律為：的邊緣分布律為：y的邊緣分布律為：的邊緣分布律為：(0,1,2,.)i (0,1,2,.)j 16結(jié)結(jié)束束 三、二維連續(xù)型隨機變量的三、二維連續(xù)型隨機變量的 概率密度與邊緣概率密度概率密度與邊緣概率密度 xxxxxfxfd)()( x 的概率密度的概率密度 fx (x) ： 對二維連續(xù)型隨機變量對二維連續(xù)型隨機變量( x, y )有有: f (x, y) 稱為稱為 ( x, y ) 的概率密度的概率密度,dd),(),( yxyxyxfyxf,),(yyxxpyxf 或稱為或稱為 x與與y 的聯(lián)合概率密度的聯(lián)合概率密度.yx0.(x, y).

13、(x, y )即即: 隨機點隨機點 (x, y ) 落在圖中落在圖中 陰影區(qū)域內(nèi)的概率為陰影區(qū)域內(nèi)的概率為 f (x, y) 在該區(qū)域上的積分在該區(qū)域上的積分.17結(jié)結(jié)束束 f (x, y) 為為 ( x, y ) 的概率密度的概率密度, 則則 yxxyxfyyxfd),(d),(1)非負性非負性0),( yxf(2)歸一性歸一性1dd),( yxyxf概率密度的性質(zhì)概率密度的性質(zhì):(3)對對 xoy 面上的任一區(qū)域面上的任一區(qū)域 g , gyxyxfgyxpdd),(),(4)在在 f (x, y) 的連續(xù)點上的連續(xù)點上, yxfyxf 2),(18結(jié)結(jié)束束在幾何上，在幾何上，z=f(x,y

14、)表示三維空間的一個曲面，性質(zhì)表示三維空間的一個曲面，性質(zhì)（1）說明，該曲面在）說明，該曲面在xoy面的面的上方：上方：性質(zhì)（性質(zhì)（2）說明，由曲面）說明，由曲面z=f(x,y) 和和xoy面所包圍成的面所包圍成的空間區(qū)域的體積為空間區(qū)域的體積為1；性質(zhì)（性質(zhì)（3）說明，）說明，f(x,y) 在（在（x,y）處的值放映了）處的值放映了(x,y) （在（在x,y）附近取值的可能性的大?。└浇≈档目赡苄缘拇笮。恍再|(zhì)（性質(zhì)（4）說明，）說明，p(x,y) g的值等于以的值等于以g為為底底,以以z=f(x,y)為頂?shù)闹w的體積。為頂?shù)闹w的體積。19結(jié)結(jié)束束,d),()( yyxfxfx 在二維連續(xù)

15、型隨機變量在二維連續(xù)型隨機變量( x , y ) 中中:x 的概率密度稱為的概率密度稱為( x , y ) 關(guān)于關(guān)于 x 的邊緣概率密度的邊緣概率密度, y 的概率密度稱為的概率密度稱為( x , y ) 關(guān)于關(guān)于 y 的邊緣概率密度的邊緣概率密度. 由聯(lián)合概率密度可確定邊緣概率密度由聯(lián)合概率密度可確定邊緣概率密度, 對此有對此有: xyxfyfyd),()(20結(jié)結(jié)束束解解: ,2 cb例例1:1:設(shè)設(shè) (x, y) 的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為：),(),2arctan)(2arctan(),( yxycxbayxf試求試求 (1) a 、 b、c , (2) (x, y ) 的概率密度的概

16、率密度. (1) 依據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)可得依據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)可得: (2) yxfyxf 2),(),(yf ,0)2)(2arctan(),( cxbaxf, 1)2)(2(),( cbaf 21 a)2arctan(yca 2)2/(11x 21 xf 故故 ),(yxf)4)(4(4222yx )2arctan)(2(ycba , 0 21結(jié)結(jié)束束例例2 設(shè)設(shè) (x, y) 的概率密度：的概率密度： ., 0, 0, 10,e),(其其它它yxkyxfy試求試求 (1) k , (2)(3) 邊緣概率密度邊緣概率密度 fx ( x ), fy ( y )., yxp , yxp ; 1 y

17、xp解解: (1) 由歸一性可得由歸一性可得: (2) 故故 yxyxfdd),( 100dedykxy 100dexkykxk 10d, 1令令 xy011 k, 0 yxp作作 f (x, y) 非零區(qū)域的圖形非零區(qū)域的圖形, 結(jié)合圖形進行處理非常有用結(jié)合圖形進行處理非常有用 22結(jié)結(jié)束束例例2 設(shè)設(shè) (x, y) 的概率密度為的概率密度為: ., 0, 0, 10,e),(其其它它yxyxfy試求試求 (2), yxp ; 1 yxp解解: yxp 100dedxyyx 100dexxy,e1 xy01 xyyxyxfdd),(x+y=1xy01y = x 10d)e1(xx 1yxp

18、1dd),(yxyxyxf 1010dedxyyx1e 最終的積分區(qū)域為最終的積分區(qū)域為 f (x, y)的非零區(qū)域與區(qū)域的非零區(qū)域與區(qū)域 的公共部分的公共部分xy 23結(jié)結(jié)束束解解: 例例3:3:設(shè)設(shè) (x, y) 的概率密度為：的概率密度為： 其其它它, 0, 0, 10,e),(yxyxfy試求試求 (3) 邊緣概率密度邊緣概率密度 f x ( x ), f y ( y ).xy01 yyxfxfxd),()( 0deyy, 1 , 10 x., 0其它其它 xyxfyfyd),()( 10dexy,ey , 0 y., 0其它其它xy24結(jié)結(jié)束束四、兩個常見的二維連續(xù)型隨機變量的分布四

19、、兩個常見的二維連續(xù)型隨機變量的分布(一一) 均勻分布均勻分布設(shè)設(shè) g 是平面上的有界區(qū)域，其面積為是平面上的有界區(qū)域，其面積為 a; 若二維隨機變量若二維隨機變量 ( x,y ) 的概率密度為的概率密度為 ),(yxf,),(,1gyxa ., 0其它其它則稱則稱（x, y）在）在g上服從均勻分布上服從均勻分布.例如例如: 向平面上有界區(qū)域向平面上有界區(qū)域 g 上任投一質(zhì)點上任投一質(zhì)點, 若質(zhì)點若質(zhì)點落在落在 g內(nèi)任一小區(qū)域內(nèi)任一小區(qū)域 b 的概率與小區(qū)域的面積成的概率與小區(qū)域的面積成正比正比, 而與而與 b 的形狀及位置無關(guān)的形狀及位置無關(guān). 則質(zhì)點的坐標則質(zhì)點的坐標 (x, y ) 在在

20、 g 上服從均勻分布上服從均勻分布.25結(jié)結(jié)束束(二二) 二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布若二維隨機變量若二維隨機變量 (x, y ) 的概率密度為的概率密度為則稱則稱 (x, y) 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 22121),( 1yxf)()(22222211 yyx2112)()1(21exp x其中其中均為常數(shù)均為常數(shù), 且且, 1| , 0, 021 ,2121 ,2121的二維正態(tài)分布的二維正態(tài)分布.記作記作 (x, y ) ),(22212 1n26結(jié)結(jié)束束可以證明可以證明: 二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布. 則則),(21 1nx 若若 (

21、x, y ) ),(22212 1n),(22 2ny注意注意: 由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布; 但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.27結(jié)結(jié)束束 3.2.2 條件分布條件分布1.離散型隨機變量的條件分布離散型隨機變量的條件分布例例 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量(x,y)分布律為分布律為 0 1 2pi. p.jy1x4 416164 416161 116164 416162 216160 0201 116169 916166 616161 116160 00 09 91 16 66 61 16 61 11 16 6求求y=1條件下隨機變量條件下隨

22、機變量x的分布律的分布律x|y=128結(jié)結(jié)束束 解解: p(x=i|y=1)= 設(shè)離散型隨機變量設(shè)離散型隨機變量(x,y)聯(lián)合分布律聯(lián)合分布律p(x=xi,y=yj)=pij,i,j=1,2,若若p(y=yi)0,則則y=yj條件下條件下,隨機變量隨機變量x的分的分布律為布律為:/p(x =i,y =1)p(x =i,y =1)p(x =i,y =1)p(x =i,y =1)= =p(y =1)6 16p(y =1)6 16x|y=1 0 1 2 2 23 31 13 30 0pp(x=xi,|y=yj) =pij/p.j i=1,2,29結(jié)結(jié)束束 即即x|y=yj x1 x2 xn /1j.

23、j1j.jppppp p/2j.j2j.jpppp/nj.jnj.jpppp同理同理 p(y =yj, |x =xi) =pij/pi. j=1,2,30結(jié)結(jié)束束定義定義: 給定的給定的x=x的條件下的條件下,隨機變量隨機變量y的條件分布函的條件分布函數(shù)定義為數(shù)定義為:2 連續(xù)型連續(xù)型隨機變量的條件分布隨機變量的條件分布0(|)lim(|)xp yy xxp yy xxxx也記為也記為:y|xy|xf (y|x)f (y|x)31結(jié)結(jié)束束0(, )( , )lim()( )xxxf xx yf x yfxxfx0(,)(|)lim(,)xp xxxx yyp yy xxp xxxx yy0 (

24、, )( , )/lim()( )/xxxf xx yf x yxfxxfxx( , )( , )/xfx yf x yxxy yy y-y|xy|x-xxxxf(x, )df(x, )df(x, )f(x, )f (y|x)=df (y|x)=df (x)f (x)f (x)f (x)32結(jié)結(jié)束束xx|y-yf(u,y)f(x | y) =duf (y)同理可得同理可得若記若記 x=x條件下關(guān)于條件下關(guān)于y的條件密度函數(shù)的條件密度函數(shù)fxy|xy|x( )( )( , )/( )xfxf x yfxy|xy|x(y| )=(y| )=|( , )/( )yfxf x yfyx|yx|y(y)

25、=(y)=33結(jié)結(jié)束束 例例 設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量(x,y) 求求222212121212n(, , , , ),n(, , , , ),fxy|xy|x(y| )(y| )解解( )( , )xfxf x y dy2 21 12 2(x- )(x- )- -221 11 1e e2222( , )1exp( )21-xf x yfxfxy|xy|x(y| )=(y| )=22212121() 2(1)yx22222121(),(1)()|xyxn34結(jié)結(jié)束束 3.2.3 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性, ,yypxxpyyxxp p(ab)=p(a)p(b) 事件事件a, b獨立獨

26、立也就是也就是:定義定義: 若對任意的若對任意的 x, y 都有都有則叫隨機變量則叫隨機變量 x與與 y 相互獨立相互獨立. x 與與 y 相互獨立相互獨立)()(),(yfxfyxfyx 對任意的對任意的 x, y 有有對二維離散型隨機變量對二維離散型隨機變量 ( x, y ): x 與與 y 相互獨立相互獨立 對對 ( x, y )的所有可能取值的所有可能取值 ( xi , yj ),jijiyypxxpyyxxp 35結(jié)結(jié)束束例例: :設(shè)設(shè) ( x, y ) 的分布律為的分布律為 而而 x 與與 y 相互獨立相互獨立, 試試確定確定 a 和和 b ? 1 2 3x b 1/8 1/16

27、y013/16 3/8 a解解: 由歸一性得由歸一性得 再由獨立性列出其它式子再由獨立性列出其它式子, , 為此需確定邊緣分布為此需確定邊緣分布: : 020, 2 ypxpyxp取一式取一式, 如如jyp a+9/16b+3/16ixp b+3/16 1/2 a+1/16 1,41 ba 1 2 3x b 1/8 1/16 y01 3/16 3/8 a解得解得),169(2183 a161,163 ba36結(jié)結(jié)束束對二維連續(xù)型隨機變量對二維連續(xù)型隨機變量 ( x, y ):)()(),(yfxfyxfyx 幾乎處處成立幾乎處處成立對任意的對任意的 x, y, x 與與 y 相互獨立相互獨立(

28、“幾乎處處成立幾乎處處成立”的含義是：在平面上除去面積的含義是：在平面上除去面積 為為0的集合外，處處成立的集合外，處處成立)推論推論 設(shè)（設(shè)（x，y）是連續(xù)型隨機變量，）是連續(xù)型隨機變量，f(x,y)為（為（x，y）的概率密度函數(shù)，則隨機變量的概率密度函數(shù)，則隨機變量x，y獨立的充分必要條獨立的充分必要條件為件為 f(x,y)=h(x)g(y) 其中其中h(x)，g(y)分別為分別為x,y函數(shù)。函數(shù)。37結(jié)結(jié)束束例例: 若若 ),(),(22212 1nyx 則則 x 與與 y 相互獨立相互獨立. 0 證明證明必要性（必要性（ ） （x，y）的概率密度函數(shù)為：）的概率密度函數(shù)為：221222

29、1212122212(x-x)(y- )11=exp- y-2(1-+22)-1 f(x,y)由由x及及y的邊緣概率密度為：的邊緣概率密度為：12121(x- )1=exp-22xf (x)22222(x- )1=exp-22yf (x)38結(jié)結(jié)束束因因x，y相互獨立，則相互獨立，則=xyf(x, y)f (x)f (y)當當x=1, y=2時，有時，有2221212111=2 1-即即21- = 1, = 0 充分性充分性 當當=0時，顯然時，顯然f(x,y)=fx(x)fy(y)對任意的對任意的x,y均成立，則均成立，則x，y相互獨立相互獨立39結(jié)結(jié)束束 例例 設(shè)設(shè)(x,y)的概率密度為的

30、概率密度為 ., 0, 0, 0,e),()(其其它它yxxyxfyx問問 x 和和 y 是否獨立？是否獨立？解：解： 0)(deyxyx,exx ,ey xy0 xy, 0 x., 0其它其它 yyxfxfxd),()( xyxfyfyd),()( 0)(dexxyx, 0 y., 0其它其它對一切對一切x, y, 均有均有 , )()(),(yfxfyxfyx 故故 x 與與 y 相互獨立相互獨立.40結(jié)結(jié)束束例例 甲到達辦公室的時間均勻分布在甲到達辦公室的時間均勻分布在8到到12點點. 乙到達時間乙到達時間均勻分布在均勻分布在7到到9點點. 若他倆到達時間相互獨立若他倆到達時間相互獨立,

31、 試求試求:到達的時間相差不超過到達的時間相差不超過5分鐘的概率分鐘的概率. 解解:設(shè)設(shè) x 為甲到達時刻為甲到達時刻, y 為乙到達時刻為乙到達時刻,依題意依題意: xu(8, 12), yu(7, 9),12/1| yxp應(yīng)求應(yīng)求; .,0,128,4/1)(其其它它xxfx ., 0, 97, 2/1)(其其它它yyfy)()(),(yfxfyxfyx ., 0, 97,128, 8/1其其它它yx41結(jié)結(jié)束束12/1| yxp 12/1|dd),(yxyxyxf09712/1 yx12/1 yxxy812g(, )d dgfx yx y 結(jié)合圖形可求出結(jié)合圖形可求出: ., 0, 97

32、,128, 8/1),(其其它它yxyxf知知 求求 12/1| yxp1d d8gxy (g 的面積的面積) 81.481 42結(jié)結(jié)束束3.3 3.3 兩個兩個隨機變量的函數(shù)的分布隨機變量的函數(shù)的分布 如何由如何由 (x , y )的分布求出的分布求出 z = g (x, y )的分布的分布?( 設(shè)設(shè) g 為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù))例例1: 設(shè)（設(shè)（x,y)的分布律為的分布律為一、離散型分布的情形一、離散型分布的情形解解: 求求 z=x+y 的概率分布的概率分布. 4/20 3/20 2/20 6/ 20 -1 0 1 2 2/20 0 2/20 1/ 20yx-1 2以概率分布表的形式給出結(jié)果

33、如下表以概率分布表的形式給出結(jié)果如下表:43結(jié)結(jié)束束4/20 3/20 2/20 6/ 20 2/20 0 2/20 1/ 20概率概率(x,y)x+y(-1,-1) (-1,0)(-1,1) (-1,2)(2,-1) (2,0) (2,1) (2,2)-2 -1 0 1 1 2 3 4由此得到由此得到x+y的概率分布為的概率分布為4/20 3/20 2/20 8/ 20 2/20 1/ 20px+y-2 -1 0 1 3 444結(jié)結(jié)束束例例2: 設(shè)設(shè)xp(1) , yp(2) ,且且x與與y相互獨立相互獨立. 求證求證 x+y p(1 +2).解解: 11,0,1,2,.!kp xkekkp

34、 xym22,0,1,2,.!kp ykekk則則x+y 所有可能取值為所有可能取值為0,1,2,且且0(,)mkpxk ymk0,mkp xk ymk45結(jié)結(jié)束束因因x與與y相互獨立相互獨立p xym12120.!()!km kmkeekmk12120.!()!km kmkeekmk12()12()!mem12()12()!mp xymem0,1,2,.m 該結(jié)論稱為泊松分布的加法性質(zhì)該結(jié)論稱為泊松分布的加法性質(zhì).46結(jié)結(jié)束束 zyxyxyxfdd),(二、連續(xù)型分布的情形二、連續(xù)型分布的情形例例 : 設(shè)設(shè) x 和和 y 的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為 f (x, y), 求求 z=x+y 的密度

35、的密度已知已知 (x , y )的概率密度為的概率密度為 f (x, y), 欲求欲求 z=g (x, y )的密度的密度?一般可通過一般可通過分布函數(shù)法分布函數(shù)法來處理來處理.z=x+y 的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是: )(zzpzfz zyxp yzyxyxfdd),(xy0 x+y=z zyuyyufdd),(令令 x=uy,dd),( zuyyyuf交換積分次序交換積分次序解解:47結(jié)結(jié)束束)()(zfzfzz 由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系, 即得即得 z=x+y 的概率密度為的概率密度為: yyyzfd),(由由 x 和和 y 的對稱性的對稱性, fz (z) 又可寫成又可寫成 xxzxfzfzd),()(特別，當特別，當 x 與與 y 獨立時，則上述兩式化為獨立時，則上述兩式化為: ,d)()()( yyfyzfzfyxz xxzfxfzfyxzd)()()