正弦定理.ppt課件

1、.第二章第二章: :解三角形解三角形 1.問題的引入問題的引入: .(1)在我國古代就有嫦娥奔月的神話故在我國古代就有嫦娥奔月的神話故事事.明月高懸明月高懸,我們仰望夜空我們仰望夜空,會(huì)有無限遐會(huì)有無限遐想想,不禁會(huì)問不禁會(huì)問,月亮離我們地球有多遠(yuǎn)呢月亮離我們地球有多遠(yuǎn)呢?科學(xué)家們是怎樣測出來的呢？科學(xué)家們是怎樣測出來的呢？.(2)設(shè)設(shè)A,B兩點(diǎn)在河的兩岸兩點(diǎn)在河的兩岸, 只給你米尺和量只給你米尺和量角設(shè)備角設(shè)備,不過河你可以測出它們之間的距不過河你可以測出它們之間的距離嗎離嗎?AB我們這一節(jié)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容就是解決這些問我們這一節(jié)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容就是解決這些問題的有力工具題的有力工具.回憶一下直角三

2、角形的邊角關(guān)系回憶一下直角三角形的邊角關(guān)系? ABCcbasinacA 兩等式間有聯(lián)系嗎？兩等式間有聯(lián)系嗎？sinsinabcAB sin1C sinsinsinabccABC 思考思考:對一般的三角形對一般的三角形,這個(gè)結(jié)論還能成立嗎這個(gè)結(jié)論還能成立嗎?2.定理的推導(dǎo)定理的推導(dǎo)1.1 正弦定理正弦定理sinbcB .(1)當(dāng)當(dāng) 是銳角三角形時(shí)是銳角三角形時(shí),結(jié)論是否還成立呢結(jié)論是否還成立呢?ABC D如圖如圖:作作AB上的高是上的高是CD,根根椐三角形的定義椐三角形的定義,得到得到.sinsinbcAEBCBC 同同理理, , 作作有有 sinsinsinabcABC 1.1 正弦定理正弦定

3、理sin ,sinCD aBCD bA sinsinaB bA 所所以以 sinsinabAB 得得到到 BACabcE.(2)當(dāng)當(dāng) 是鈍角三角形時(shí)是鈍角三角形時(shí),以上等式是否以上等式是否仍然成立仍然成立?ABCBACbca1.1.1 正弦定理正弦定理D.（1 1）文字?jǐn)⑹鑫淖謹(jǐn)⑹稣叶ɡ恚赫叶ɡ恚涸谝粋€(gè)三角形中，各邊和它所對角在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角 的正弦的比相等的正弦的比相等. .（2）結(jié)構(gòu)特點(diǎn)）結(jié)構(gòu)特點(diǎn)（3 3）方程的觀點(diǎn)）方程的觀點(diǎn)正弦定理實(shí)際上是已知其中三個(gè)正弦定理實(shí)際上是已知其中三個(gè), ,求另一個(gè)求另一個(gè). .能否運(yùn)用向量的方法來證明正弦定理呢能否運(yùn)用向量的方法來證明正弦

4、定理呢?和諧美、對稱美和諧美、對稱美. .正弦定理正弦定理:CcBbAasinsinsin .O(A)yxCBC因?yàn)橄蛄恳驗(yàn)橄蛄?與與 在在y y軸上的射影均軸上的射影均為為 ， BC AC OC如圖所示，以如圖所示，以A A為原點(diǎn)，以射線為原點(diǎn)，以射線ABAB的方向?yàn)榈姆较驗(yàn)閤 x軸正軸正方向建立直角坐標(biāo)系，方向建立直角坐標(biāo)系，C C點(diǎn)在點(diǎn)在y y軸上的射影為軸上的射影為CC，sinsin, OCBCBaBA cos(90 )sin , OCCAbA即即sin= sin .aB bA所以所以即即.sinsinabAB.所以所以 .sinsinsinabcABC若若A A為銳角或直角，也可以得

5、到同樣的結(jié)論為銳角或直角，也可以得到同樣的結(jié)論. .sinsinacAC同理，同理，.sinsinsinabcABC變式變式: 1;.sinsinsinsinsinsinabbccaABBCCA 2 sin:sin:sin: : .ABCa b c正弦定理正弦定理 在一個(gè)三角形中在一個(gè)三角形中,各邊和它所對角的各邊和它所對角的正弦的比相等正弦的比相等,即即.剖析定理、加深理解sinsinsinabcABC1 1、A+B+C=A+B+C=2 2、大角對大邊，大邊對大角、大角對大邊，大邊對大角正弦定理：.剖析定理、加深理解3 3、正弦定理可以解決三角形中的問題：、正弦定理可以解決三角形中的問題：

6、已知已知兩角和一邊兩角和一邊，求其他角和邊，求其他角和邊 已知已知兩邊和其中一邊的對角兩邊和其中一邊的對角，求另一邊，求另一邊的對角，進(jìn)而可求其他的邊和角的對角，進(jìn)而可求其他的邊和角sinsinsinabcABC正弦定理：.剖析定理、加深理解4 4、一般地，把三角形的三個(gè)角、一般地，把三角形的三個(gè)角A A，B B，C C和它們的對邊和它們的對邊a a，b b，c c叫做叫做三角形的元三角形的元素素。已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素。已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫的過程叫解三角形解三角形sinsinsinabcABC正弦定理：.剖析定理、加深理解5 5、正弦定理的變形形式、正弦定理的變形形

7、式6 6、正弦定理、正弦定理，可以用來判斷三角形的，可以用來判斷三角形的形狀，其主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形邊角形狀，其主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化關(guān)系的轉(zhuǎn)化sinsinsinabcABC正弦定理：.例例1 在在 已知已知 , 解三角形解三角形. ABC 0030 ,135 ,2ABa 通過例題你發(fā)現(xiàn)了什么一般性結(jié)論嗎通過例題你發(fā)現(xiàn)了什么一般性結(jié)論嗎?小結(jié)小結(jié)：知道三角形的兩個(gè)內(nèi)角和任何一邊，利：知道三角形的兩個(gè)內(nèi)角和任何一邊，利 用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。1.1 正弦定理正弦定理3.定理的應(yīng)用舉例定理的應(yīng)用舉例變式：變式：若將若將a=2 改為改

8、為c=2，結(jié)果如何？，結(jié)果如何？.例例 2 已知已知a=16， b= ， A=30 .解三角形。解三角形。已知兩邊和其中一邊已知兩邊和其中一邊的對角的對角,求其他邊和角求其他邊和角解：由正弦定理解：由正弦定理BbAasinsin得得231630sin316sinsinaAbB所以所以6060, ,或或120120當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)6060C=90.32cC=30.16sinsinACac316當(dāng)當(dāng)120120時(shí)時(shí)B16300ABC1631683.(1)604510,;(2)3,4,30 ,sin;(3)3,1,60 ,.ABCABababABbcBaAC跟蹤練習(xí)：中，已知，求已知求已知求 和 、.4.

9、基礎(chǔ)練習(xí)題基礎(chǔ)練習(xí)題1.1 正弦定理正弦定理00(1)45 ,2,2,10 3(2)60 ,4,3ABCAabBABCAabB在中，已知 求在中，已知求B=300無解無解.BCDEA分析：分析：如圖所示，將如圖所示，將BD,CEBD,CE分別延分別延長相交于一點(diǎn)長相交于一點(diǎn)A A，在，在A ABCBC中，已中，已知知BCBC的長及角的長及角B B與與C C，可以通過正，可以通過正弦定理求弦定理求ABAB，ACAC的長的長. . 例例3.某地出土一塊類似三角形刀狀的古代玉佩某地出土一塊類似三角形刀狀的古代玉佩(如圖所如圖所示示)，其一角已破損，其一角已破損.現(xiàn)測得如下數(shù)據(jù)：現(xiàn)測得如下數(shù)據(jù)：BC=

10、2.57cm，CE=3.57cm，BD=4.38cm, .為了復(fù)為了復(fù)原原,請計(jì)算原玉佩兩邊的長（結(jié)果精確到請計(jì)算原玉佩兩邊的長（結(jié)果精確到0.01cm）. 45 ,120BC.解：解：將將BD,CEBD,CE分別延長相交于一點(diǎn)分別延長相交于一點(diǎn)A A，在，在A ABCBC中，中，BC=2.57cm,B=45BC=2.57cm,B=45, ,C=120C=120, ,A=180A=180- -(B+C)=180(B+C)=180- -(45(45+ +120120) )=15=15. .因?yàn)橐驗(yàn)?, ,所以所以利用計(jì)算器算得利用計(jì)算器算得AC7.02(cm),AC7.02(cm),同理同理,A

11、B8.60(cm).,AB8.60(cm).sin2.57sin45.sinsin15BCBACA答：原玉佩兩邊的長分別約為答：原玉佩兩邊的長分別約為7.02cm,8.60cm.7.02cm,8.60cm.sinsinBCACAB.例例4.臺(tái)風(fēng)中心位于某市正東方向臺(tái)風(fēng)中心位于某市正東方向300 km處，正處，正以以40 km/h的速度向西北方向移動(dòng)，距離臺(tái)風(fēng)中的速度向西北方向移動(dòng)，距離臺(tái)風(fēng)中心心250 km范圍內(nèi)將會(huì)受其影響范圍內(nèi)將會(huì)受其影響.如果臺(tái)風(fēng)風(fēng)速不如果臺(tái)風(fēng)風(fēng)速不變，那么該市從何時(shí)起要遭受臺(tái)風(fēng)影響？這種變，那么該市從何時(shí)起要遭受臺(tái)風(fēng)影響？這種影響持續(xù)多長時(shí)間（結(jié)果精確到影響持續(xù)多長時(shí)間

12、（結(jié)果精確到0.1h）?.分析：分析：如圖所示，臺(tái)風(fēng)如圖所示，臺(tái)風(fēng)沿著沿著BDBD運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于|AB|AB|=300 km250 km=300 km250 km，所以開，所以開始臺(tái)風(fēng)影響不了城市始臺(tái)風(fēng)影響不了城市A A，由點(diǎn)，由點(diǎn)A A到臺(tái)風(fēng)移動(dòng)路徑到臺(tái)風(fēng)移動(dòng)路徑BDBD最小距離最小距離|AE|=|AB|sin45|AE|=|AB|sin45所以臺(tái)風(fēng)在運(yùn)動(dòng)過程中肯定要影響城市所以臺(tái)風(fēng)在運(yùn)動(dòng)過程中肯定要影響城市A.A.這就要在這就要在BDBD上求影響上求影響A A的始點(diǎn)的始點(diǎn)C C1 1和終點(diǎn)和終點(diǎn)C C2 2，然后根據(jù)臺(tái)，然后根據(jù)臺(tái)風(fēng)的速度計(jì)算臺(tái)風(fēng)從風(fēng)的速度計(jì)算臺(tái)風(fēng)從C C1 1到

13、到C C2 2持續(xù)的時(shí)間持續(xù)的時(shí)間. .2300150 1.41 211.5(km)250km.2A北北DC2EC1B.解：解：設(shè)臺(tái)風(fēng)中心從點(diǎn)設(shè)臺(tái)風(fēng)中心從點(diǎn)B B向西北方向沿射線向西北方向沿射線BDBD移動(dòng)，該移動(dòng)，該市位于點(diǎn)市位于點(diǎn)B B正西方向正西方向300 km300 km處的點(diǎn)處的點(diǎn)A.A.假設(shè)經(jīng)過假設(shè)經(jīng)過thth，臺(tái)風(fēng)中心到達(dá)點(diǎn)，臺(tái)風(fēng)中心到達(dá)點(diǎn)C C，則在，則在ABCABC中中, , AB=300 kmAB=300 km，AC=250 km,BC=40t km,B=45AC=250 km,BC=40t km,B=45. .1180()180(45121.95 )13.05 .ABC.

14、 正弦定理正弦定理 主要應(yīng)用主要應(yīng)用 sinsinsinabcABC (1) 已知兩角及任意一邊，可以求出其他兩已知兩角及任意一邊，可以求出其他兩邊和另一角；邊和另一角； (2)已知兩邊和其中一邊的對角，可以求出已知兩邊和其中一邊的對角，可以求出三角形的其他的邊和角。三角形的其他的邊和角。(此時(shí)可能有一解、二此時(shí)可能有一解、二解、無解）解、無解） 1.1 正弦定理正弦定理小結(jié)小結(jié):.作業(yè)作業(yè)5212-12b30 ,120 ,AABCAB、P 習(xí)題組第7題；、在中，已知 =14,解三角形。.正弦定理（第二課時(shí)）1、復(fù)習(xí)回顧正弦定理的內(nèi)容、復(fù)習(xí)回顧正弦定理的內(nèi)容sinsinsinabcABC2(1

15、)6010,.(2)10,56,60.(3)23,6,30.(4)4,560.ABCABabbcCAabABabAB、練習(xí)：在中，=45 ，求，求，求，求.問題問題1 由例由例2我們發(fā)現(xiàn)，已知兩邊和其中一邊的對我們發(fā)現(xiàn)，已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時(shí)會(huì)出現(xiàn)兩解的情況角，解三角形時(shí)會(huì)出現(xiàn)兩解的情況.還會(huì)出現(xiàn)其他還會(huì)出現(xiàn)其他情況嗎？你能從代數(shù)或幾何角度給出解釋嗎？情況嗎？你能從代數(shù)或幾何角度給出解釋嗎？提示：提示：已知兩邊及其中一邊的對角，用正弦定理，已知兩邊及其中一邊的對角，用正弦定理，可能有兩解、一解或無解可能有兩解、一解或無解. .在在ABCABC中，已知中，已知a a，b b和和A

16、A時(shí)，解的情況如下：時(shí)，解的情況如下：探究點(diǎn)探究點(diǎn)2 正弦定理解三角形正弦定理解三角形.1.1.為銳角為銳角absinAabsinA無解無解a=bsinAa=bsinA一解一解bsinAabbsinAabab一解一解abab無解無解baba為直角時(shí)，與為鈍角相同，為直角時(shí)，與為鈍角相同， abab時(shí)，一解；時(shí)，一解； abab時(shí)，無解時(shí)，無解. .問題問題2 如圖所示，在如圖所示，在RtABC中，斜邊中，斜邊AB是是ABC外接圓的直徑（設(shè)外接圓的直徑（設(shè)RtABC外接圓的半外接圓的半徑為徑為R），因此），因此2 .sinsinsinabcRABC這個(gè)結(jié)論對于任意三角形這個(gè)結(jié)論對于任意三角形(圖

17、圖，圖圖)是否成立？是否成立？提示：提示：成立，證明如下成立，證明如下. .BB 2 ,sinBsinBbbR22 ,sinCsincaRRA：，同同理理ACBBacbO如圖如圖: :2.sinsinsinabcR RABC為為即即：外外接接圓圓半半徑徑得得當(dāng)當(dāng)ABCABC為銳角三角形時(shí)，為銳角三角形時(shí)，.,:BB2 ,sinBsin:2 ,2 ,sinsin:2 ().sinsinsin ABCbbRBacRRAabcR RABCC當(dāng)當(dāng)為為鈍鈍角角三三角角形形時(shí)時(shí)為為外外接接圓圓如如圖圖即即得得半半徑徑同同理理abc當(dāng)當(dāng)ABCABC為直角三角形時(shí)，容易得證為直角三角形時(shí)，容易得證. .問題問

18、題3BACDabcha證明證明: :因?yàn)橐驗(yàn)?12ABCaSah而而sinsin,ahADcBbC所以所以1sin.2ABCSabC111sinsinsin .222ABCSabCbcAacB小結(jié)：小結(jié)：.2、在在 中，若中，若 ，則，則 是是( ) A.等腰三角形等腰三角形 B.等腰直角三角形等腰直角三角形 C.直角三角形直角三角形 D.等邊三角形等邊三角形1、在、在 中，一定成立的等式是（中，一定成立的等式是（ ） A.asinAbsinBB.acosAbcosBC.asinBbsinAD.acosBbcosACcoscoscos222abcABCDABCABCABC.3.（2013北京高考）在北京高考）在ABC中，中，a=3,b=5,sinA=1,3則則sinB=( )155953A.B.C.D.1B B .6.在在 中，中，c=4,a=2,C=