山東科技大學(xué)概率論卓相來(lái)岳嶸編第三章習(xí)題解析

1、 習(xí) 題 三1. 一個(gè)口袋中裝有5只球，其中4只紅球，1只白球，采用不放回抽樣，接連摸兩次.設(shè)試求：（1）的聯(lián)合分布律；（2）解 （1） 的可能取的數(shù)組為 (0,0),(0,1),. (1,0), (1,1)下面先算出每一組取值的概率第一次取到白球的概率為，第一次取到白球后，第二次取白球的概率為0.第一次取到白球的概率為，第一次取到白球后，第二次取紅球的概率為.因此由乘法定理得第一次取到紅球的概率為，第一次取到紅球后，第二次取白球的概率為. 第一次取到紅球的概率為，第一次取到紅球后，第二次取紅球的概率為.因此由乘法定理得于是所求的分布律為 0 10 0 1 （2）=2. 將一硬幣拋擲三次，以表

2、示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以表示在三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對(duì)值。試寫(xiě)出的聯(lián)合分布律.解 由表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，出現(xiàn)反面次數(shù)為，所以，的取值為，的取值為，且于是 而均為不可能事件.所求的的聯(lián)合分布律為 0 1 2 31 0 03 0 3. 一盒子里裝有3只黑球，2只紅球，2只白球，在其中任取4只，以表示取到黑球的只數(shù)，以表示取到紅球的只數(shù)，求的聯(lián)合分布律.解 的取值為，的取值為,其聯(lián)合分布律為 0 1 2 30 0 0 1 0 2 0 4. 設(shè)二維隨機(jī)變量概率密度為求:（1）常數(shù)；（2）；（3）；（4）.解 （1）由概率密度的性質(zhì)，得,故.于是 (4）. 5. 設(shè)二維隨機(jī)

3、變量服從區(qū)域上的均勻分布，其中，試求關(guān)于的一元二次方程無(wú)實(shí)根的概率.解 二維隨機(jī)變量在區(qū)域服從均勻分布，由的面積，所以的概率密度為 若關(guān)于的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根，則判別式 的一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根的概率為.6. 設(shè)與的聯(lián)合概率密度為 求與的聯(lián)合分布函數(shù) 解 7. 設(shè)與的聯(lián)合概率密度為 y O 圖3-7其中區(qū)域如圖3-7所示，試求與的邊緣概率密度. 2解 8. 二維隨機(jī)變量概率密度為 試求:（1）確定常數(shù)；（2）邊緣概率密度.解 （1）由概率密度的性質(zhì) ，得,故.于是 (2) 的邊緣概率密度的邊緣概率密度9. 設(shè)袋中有標(biāo)記為的四張卡片，從中不放回地抽取兩張，表示首次抽到的卡片上的數(shù)字，表示抽到的兩

4、張卡片上的數(shù)字差的絕對(duì)值 .（1）求的概率分布；（2）給出與的邊緣分布；（3）求在下的條件概率分布和在下的條件概率分布.解 (1) 的取值為，的取值為,的概率分布為 1 2 3 41 2 3 0 （2）給出與的邊緣分布 1 2 3 4 1 2 3 （3）求在下的條件概率分布 1 2 3 在下的條件概率分布 1 4 10. 在第8題中，試求（1）已知事件發(fā)生時(shí)的條件概率密度；（2）.解 （1）由已知事件發(fā)生時(shí)的條件概率密度（2）.由當(dāng)時(shí)11. 設(shè)服從區(qū)域上的均勻分布，設(shè)區(qū)域；（1）寫(xiě)出的聯(lián)合密度函數(shù)；（2）給出與的邊緣密度函數(shù)；(3）求在時(shí)的條件密度函數(shù)和在時(shí)的條件密度函數(shù)；.（4）求概率.解

5、（1）區(qū)域的面積.的聯(lián)合密度函數(shù)為 （2）與的邊緣密度函數(shù)；（3） ，在時(shí)的條件密度函數(shù)已知事件發(fā)生時(shí)的條件概率密度（4）概率 12. 二維隨機(jī)變量概率密度為求解 從而 于是 從而13. 相互獨(dú)立，的聯(lián)合分布律及關(guān)于，關(guān)于的邊緣分布律部分?jǐn)?shù)值如下表 完成上述表格中的空格. 解. 相互獨(dú)立，有的可能取值有，的聯(lián)合分布律及關(guān)于，關(guān)于的邊緣分布律部分?jǐn)?shù)值如下表 14. 已知隨機(jī)變量與的分布律分別為 -1 0 1 0 1 已知 .試求 （1）與的聯(lián)合分布律；（2）與是否相互獨(dú)立？為什么？解 （1）由 可知故 因而 與的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律及關(guān)于，關(guān)于的邊緣分布律部分?jǐn)?shù)值如下表 由以上結(jié)果 ， ，于是

6、與不獨(dú)立.15. 二維隨機(jī)變量概率密度為試求（1）與是否相互獨(dú)立？為什么？；(2） ， 與，其中 解 （1）的邊緣概率密度的邊緣概率密度對(duì)于任意的常數(shù)有.所以與是否相互獨(dú)立（2） 與，其中 16. 與是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,在（0,1）上服從均勻分布，的概率密度為（1） 試求與的聯(lián)合概率密度；（2） 設(shè)含有的二次方程，試求有實(shí)根的概率.解（1）在（0,1）上服從均勻分布，的概率密度為的概率密度為因?yàn)榕c是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 與的聯(lián)合概率密度（2）含有的二次方程，若 有實(shí)根，則判別式 的二次方程，若 有實(shí)根的概率為17. 若在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，求事件“兩數(shù)之和小于”的概率. 解 在區(qū)間(

7、0,1)內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)分別為隨機(jī)變量與在（0,1）上服從均勻分布，的概率密度為在（0,1）上服從均勻分布，的概率密度為因?yàn)榕c是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 與的聯(lián)合概率密度事件“兩數(shù)之和小于”的概率. 18. 設(shè)鉆頭的壽命（即鉆頭直到磨損報(bào)廢為止 ，所鉆透的地層厚度，以米為單位）服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，即的概率密度為現(xiàn)要打一口深度為2000米的的井.(1)求只需一根鉆頭的概率；(2)恰好用兩根鉆頭的概率。解 （1） 設(shè)鉆頭的壽命為隨機(jī)變量, 只需一根鉆頭的概率為設(shè)兩根鉆頭的壽命分別為隨機(jī)變量與，它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 與的聯(lián)合概率密度(2) 恰好用兩根鉆頭的概率為 19. 設(shè)與相互獨(dú)立且服從同一分布

8、律 0 1 1/2 1/2求 （1）的分布律；（2）的分布律；（3）的分布律.解 由的分布律可得 （0，0）（0，1）（1，0）（1，1） 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1則（1）的分布律為 0 1 （2）的分布律為 0 1 （3）的分布律.0 1 20. 設(shè)與相互獨(dú)立，服從（0,1）上的均勻分布,服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，試求的概率密度.解 在（0,1）上服從均勻分布，的概率密度為服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,的概率密度為因?yàn)榕c是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 與的聯(lián)合概率密度的概率密度.=.由 21. 設(shè)二維隨機(jī)變量概率密度為(1) 問(wèn)與相互獨(dú)立？為什么？（2）試求的概率密度.解 （1）的邊緣

9、概率密度的邊緣概率密度對(duì)于有.與不獨(dú)立（2）的概率密度其中 22. 設(shè)二維隨機(jī)變量概率密度為(1) 試確定常數(shù)；（2） 求與的邊緣概率密度；（3） 求函數(shù)的分布函數(shù)解 （1）由概率密度的性質(zhì)，得,故.于是 (2)的邊緣概率密度的邊緣概率密度對(duì)于任意有.與相互獨(dú)立(3) 函數(shù)的分布函數(shù)，的分布函數(shù)的分布函數(shù)23. 與是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,其概率密度分別為其中是常數(shù).又隨機(jī)變量(1)求條件概率密度；（2）求的分布律和分布函數(shù).解（1）因?yàn)榕c是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 與的聯(lián)合概率密度當(dāng)時(shí),條件概率密度；（2）求的分布律和分布函數(shù) 若當(dāng)時(shí)，則是不可能事件，所以=0. 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 故隨機(jī)變量的分布函數(shù)

10、為 24. 設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)L1，L2連接而成，連接方式分別為（i）串聯(lián)，（ii）并聯(lián)（iii）備用（如圖），L2（i） L1 L2（ii） （iii） L1 X L1 L2設(shè)分別為L(zhǎng)1，L2的壽命，且它們的概率密度為其中且，試求以上三種連接形式的L的壽命Z的概率密度解（i）分別為L(zhǎng)1，L2的壽命 系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)L1，L2串聯(lián)連接 L的壽命,隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 L的壽命的分布函數(shù)為 Z的概率密度（ii）系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)L1，L2并聯(lián)連接 L的壽命的分布函數(shù)為Z的概率密度（iii）備用的情況（如圖連接） L的壽命的概率密度其中25.

11、某種商品一周的需求量是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度為設(shè)各周的需求量是相互獨(dú)立的，試求（1）兩周的需求量的概率密度；（2）三周的需求量的概率密度.解 設(shè)第周的需求量為，它們是獨(dú)立同分布的個(gè)隨機(jī)變量（1）兩周的需求量為，其概率密度為(2）三周的需求量為，其概率密度為26. 設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）近似的服從分布，隨機(jī)地選取4只，求其中沒(méi)有一只壽命小于180的概率.解 隨機(jī)地選取4只，記其壽命分別為，它們是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且 記，事件“沒(méi)有一只壽命小于180”就是，從而27. 對(duì)某種電子裝置的輸出測(cè)量了5次，得到觀(guān)察值，設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量且都服從參數(shù)的瑞利分布。（密度參數(shù)的瑞利

12、分布的密度函數(shù) ）（1）求的分布函數(shù)；（2）求.解 由題設(shè)知相互獨(dú)立，且具有相同的密度函數(shù)由此得到分布函數(shù)為（1）的分布函數(shù)（2）28. 設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們分別服從參數(shù)為的泊松分布，證明服從參數(shù)為的泊松分布.證明 由題設(shè)知故29 . 設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，都服從上的均勻分布。引進(jìn)事件，已知，求常數(shù). 解 設(shè)，因?yàn)榕c是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，因此得從而 于是問(wèn)題有兩解， 或 。30. 設(shè)二維隨機(jī)變量在矩形上服從均勻分布，試求邊長(zhǎng)為與的矩形面積的概率密度.解 與的聯(lián)合概率密度設(shè)為的分布函數(shù) 則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是31. 設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度.求隨機(jī)變量的分布函數(shù)解 ， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)

13、，隨機(jī)變量的分布函數(shù)32.設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布律分別為PX=k=p（k），k=0，1，2，PY=r=q（r），r=0，1，2，.證明隨機(jī)變量Z=X+Y的分布律為PZ=i=，i=0，1，2，.32.因X和Y所有可能值都是非負(fù)整數(shù)，所以 于是 33.設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布.證明Z=X+Y服從參數(shù)為2n，p的二項(xiàng)分布.33.方法一：X+Y可能取值為0，1，2，2n. 方法二：設(shè)1,2,n;1,2,，n均服從兩點(diǎn)分布（參數(shù)為p），則X=1+2+n，Y=1+2+n,X+Y=1+2+n+1+2+n,所以，X+Y服從參數(shù)為（2n,p)的二項(xiàng)分布.34.雷達(dá)的圓形屏