函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式(1)課件

1、1第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式 nnnxaxf 0)( 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù), 在其收斂域內(nèi)以在其收斂域內(nèi)以 f (x) 為和函數(shù)為和函數(shù)函數(shù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)。問(wèn)題問(wèn)題:2.如果能展開(kāi)如果能展開(kāi), 是什么是什么?na3.展開(kāi)式是否唯一展開(kāi)式是否唯一?1. f (x)在什么條件下才能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)在什么條件下才能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)?nnnxxaxf)()( 00 或或麥克勞林展開(kāi)式麥克勞林展開(kāi)式 泰勒展開(kāi)式泰勒展開(kāi)式 2函函數(shù)數(shù))(xf能能展展開(kāi)開(kāi)成成冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa的的必必要要條條件件是是)(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處有有任任意意階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且系系數(shù)數(shù) 定理定理

2、, )0(0fa ,! 1)0(1fa ,! 2)0(2fa ,!)0()(nfann 證證設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf能能展展開(kāi)開(kāi)成成冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa， 于于是是存存在在0 r使使得得 22100)(xaxaaxaxfnnn)| (rx 3這這表表明明)(xf是是冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa在在),(rr 內(nèi)內(nèi)的的和和函函數(shù)數(shù)， 在在上上式式中中令令 0 x，即即得得在在0)0(af . . 利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可任意階利用冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可任意階求導(dǎo)的性質(zhì)，求導(dǎo)的性質(zhì)，又又可可得得出出)(xf在在),(rr 內(nèi)內(nèi)有有任任意意階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)， 11)(nnnxnaxf)

3、| (rx )| (rx 22100)(xaxaaxaxfnnn1! 1)0(af ! 1)0( 1fa 4 11)(nnnxnaxf)| (rx )| (rx 22100)(xaxaaxaxfnnn! 1)0( 1fa 22)1()(nnnxannxf)| (rx 2! 2)0(af ! 2)0( 2fa 33)2)(1()(nnnxannnxf)| (rx 3! 3)0(af ! 3)0( 3fa 5)| (rx 22100)(xaxaaxaxfnnn歸納可得，歸納可得，!)0()(kfakk )2 , 1 , 0( k即得即得, )0(0fa ,! 1)0(1fa ,! 2)0(2fa

4、,!)0()(nfann 6函函數(shù)數(shù))(xf能能展展開(kāi)開(kāi)成成冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa的的充充分分條條件件是是 定理定理,0)(lim xRnnDx 其其中中 D 是是冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0)(!)0(nnnxnf的的收收斂斂域域， 2!2)0(!1)0()0()()(xfxffxfxRnnnxnf!)0()( 稱(chēng)為稱(chēng)為n階余項(xiàng)階余項(xiàng). . 71 1. . 求求出出0 x處處的的函函數(shù)數(shù)值值及及各各階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)值值 )0(f, ,)0(f , ,)0(f , ,),0(,)(nf； 0)(!)0(nnnxnf函數(shù)函數(shù) f( (x) ) 展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 具體步驟：具體步驟：2. 2. 寫(xiě)出寫(xiě)

5、出冪冪級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) ，并求其收斂域，并求其收斂域 D. . 0)(!)0(nnnxnf3 3. . 考考察察0)(lim xRnx在在 D 上上是是否否成成立立。 0)(!)0()(nnnxnfxf)(Dx 如果是如果是, ,則則 f( (x) )在在 D上可展開(kāi)成上可展開(kāi)成麥克勞林麥克勞林級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 8基本展開(kāi)式基本展開(kāi)式,! 5! 3! ) 12() 1(sin53012 xxxnxxnnn,! ! 21! e20 nxxxnxnnnx),( x),( x,! 4! 21! )2()1(cos4202 xxnxxnnn),( x,32)1()1ln(3211 xxxnxxnnn1, 1( x9收

6、斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)? : 0 : 1, 1 01 : 1, 1( 1 : )1, 1( 2! 2)1(1)1(xxx nxnn! )1()1( ( ( n 不為正整數(shù)不為正整數(shù)) )此外還有此外還有,110 nnxx)1, 1( x10 一般用間接法一般用間接法: : 根據(jù)展開(kāi)式的唯一性根據(jù)展開(kāi)式的唯一性, 利用已知利用已知展開(kāi)式展開(kāi)式, 通過(guò)通過(guò)變量代換變量代換, 四則運(yùn)算四則運(yùn)算, 恒等變形恒等變形, 逐項(xiàng)求逐項(xiàng)求導(dǎo)導(dǎo), 逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分等方法等方法, 求展開(kāi)式求展開(kāi)式 .例例1 1將將2e)(xxf 展開(kāi)成展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù). . ,! e0 nnxnx),( x所以所以 02! )(

7、e2nnxnx,! )1(02 nnnxn),( x11將將2eech)(xxxxf 展展開(kāi)開(kāi)成成x的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). . 例例2 2解解,! )1(! )(e00 nnnnnxxnnx ! )2(!4!21! )2(ch24202nxxxnxxnnn,! e0 nnxnx),( x),( x所以所以),( x12,! 5! 3! ) 12() 1(sin53012 xxxnxxnnn),( x,! 4! 21! )2()1(cos4202 xxnxxnnn),( x例例3 3兩邊求導(dǎo)兩邊求導(dǎo), 得得13將將)1ln()(xxf 展展開(kāi)開(kāi)成成x的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). . 因因?yàn)闉閤xf 11)(

8、兩兩邊邊從從 0 0 到到x積積分分, ,得得 011)1()1ln(nnnnxx 11)1(nnnnx, , 上上式式對(duì)對(duì)1 x也也成成立立, ,故故收收斂斂域域?yàn)闉?1 , 1( x, , 例例4 4解解， 0)(nnx1| x14將將xxfarctan)( 展展開(kāi)開(kāi)成成x的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). . 因因?yàn)闉?211)(xxf 02)(nnx, , 兩兩邊邊從從 0 0 到到x積積分分, ,得得 上上述述冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在1 x處處也也收收斂斂, ,且且xarctan在在1 x處處有有定定義義且且連連續(xù)續(xù), ,所所以以上上述述展展開(kāi)開(kāi)式式成成立立的的范范圍圍為為 例例5 5解解 5312)1(a

9、rctan53012xxxnxxnnn1 , 1 x1| x15將將xxf2cos)( 展展開(kāi)開(kāi)成成x的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). . 例例6 6解法解法1 1)2cos1(21cos2xx ,! 4! 21! )2()1(cos4202 xxnxxnnn),( x 02! )2()2()1(2121nnnnx,! )2(2)1(11212 nnnnxn),( x16 012! )12()2()1(nnnnx, 兩兩邊邊從從 0 0 到到x積積分分, ,得得 0222! )22()2()1(211cosnnnnxx xx2sin)(cos2 所以所以將將xxf2cos)( 展展開(kāi)開(kāi)成成x的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)

10、. . 例例6 6解法解法2 2),( x 12! )2()2()1(21nnnnx,! )2(2)1(1212 nnnnxn,! )2(2)1(1cos12122 nnnnxnx),( x17將將341)(2 xxxf展展開(kāi)開(kāi)成成x的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). . )3)(1(1 xx 311121xx 3/1161)1(21xx 003)1(61)1(21nnnnnnxx 036121)1(nnnnx, , 例例7 7解解341)(2 xxxf1| x18將將)34ln()(2xxxf 展展開(kāi)開(kāi)成成x的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). . 例例8 8解解)34ln()(2xxxf )1)(4ln(xx )1ln()

11、4ln(xx )1ln()41ln(4lnxx ,32)1()1ln(3211 xxxnxxnnn1, 1( x 11)1(414lnnnnnnxnxn,4)4(14ln1 nnnnxn1, 1( x19.1lnarctan)(2克勞林級(jí)數(shù)克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)成麥展開(kāi)成麥將將xxxxf 例例9 9解解221arctan1)(xxxxxxf )11( x xxxx02d11arctan又又 xnnnxx002d) 1(，xarctan ,12)1(012 nnnnx 022)22)(12()1(nnnnnx xnnnxnxxf0012d12)1()( 故故)11( x,)12(2)1(121 nnnn

12、nx20 以上討論的均為麥克勞林級(jí)數(shù)，下面討論一下以上討論的均為麥克勞林級(jí)數(shù)，下面討論一下一般的泰勒級(jí)數(shù)：一般的泰勒級(jí)數(shù)： 000)()(!)(nnnxxnxf其收斂域?yàn)槠涫諗坑驗(yàn)镈， 并并要要求求余余項(xiàng)項(xiàng)0)(lim xRnx在在 D上上成成立立， nnxxnxfxf)(!)()(00)( )(Dx 則則)(xf在在0 xx 處處的的泰泰勒勒展展開(kāi)開(kāi)式式為為 一般利用麥克勞林級(jí)數(shù)間接展開(kāi)。一般利用麥克勞林級(jí)數(shù)間接展開(kāi)。21將將xxf 41)(展展開(kāi)開(kāi)成成) 1( x的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). . 收收斂斂域域: : 51 x, , 即即)6, 4( x. . 例例1010解解x 41511151 x

13、151 x 0)51(51nnx,)1(5)1(01 nnnnx22將將xxfsin)( 展展開(kāi)開(kāi)成成)4( x的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). . )4cos()4sin(21 xx 02012! )2()4()1(21! )12()4()1(21nnnnnnnxnx 0122! )12()4(! )2()4()1(21nnnnnxnx , , 例例1111解解)44sin(sin xx),( x23例例1212解解11 x，2111231)(2 xxxxxf， 03431nnx；134 x將將函函數(shù)數(shù)231)(2 xxxf展展開(kāi)開(kāi)為為( (4 x) )的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). . 而而341131 x， 02421241121)4(2121nnxxxx)4(31 x24， 011)4(3121)( nnnnxxf)2, 6( x， 0343111nnxx；134 x， 0242121nnxx；124 x例例1212解解將將函函數(shù)數(shù)231)(2 xxxf展展開(kāi)開(kāi)為為