幾種特殊函數(shù)的積分課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 幾種特殊函數(shù)的積分幾種特殊函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分二、三角函數(shù)有理式的積分二、三角函數(shù)有理式的積分三、簡單無理函數(shù)的積分三、簡單無理函數(shù)的積分有理函數(shù)的定義：有理函數(shù)的定義：兩個多項式的商表示的函數(shù)稱為有理函數(shù)兩個多項式的商表示的函數(shù)稱為有理函數(shù). .mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(一、有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分. 0, 0, , 001010 babbbaaanmmn實實數(shù)數(shù)，并并且且都都是是及及都都是是非非負負整整數(shù)數(shù)；其其中中假定分子與分母之間沒有公因式假定分子與分母之間沒有公因式,)1(mn 這有理

2、函數(shù)是這有理函數(shù)是真分式真分式；,)2(mn 這有理函數(shù)是這有理函數(shù)是假分式假分式；利用多項式除法利用多項式除法, , 假分式可以化成一個多項式和一個假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和真分式之和. .例如例如1123 xxx.112 xx式之和式之和可以分解成如下部分分可以分解成如下部分分那么真分式那么真分式其中其中如果如果 )()( , 04, 04 ,)( )()()()( 22220 xQxPsrqpsrxxqpxxbxaxbxQ axAaxAaxAxQxP 121)()()()(bxBbxBbxB 121)()(qpxxNxMqpxxNxMqpxxNxM 21222211)()(

3、 ,)()(21222211srxxSxRsrxxSxRsrxxSxR . , 等等都都是是常常數(shù)數(shù)及及其其中中iiiiiiSRNMBA,)()(121axAaxAaxAkkk 有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：其其中中kAAA,21都都是是常常數(shù)數(shù). . 特殊地：特殊地：, 1 k分解后為分解后為;axA )( )1(則則分分解解后后為為，分分母母中中若若有有因因式式kax qpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(特殊地：特殊地：, 1 k分解后為分解后為.2qpxxNMx )., 2 , 1( , kiNMii 都是

4、常數(shù)都是常數(shù)其中其中(2)(2)分母中若有因式分母中若有因式 kqpxx)(2 則分解后為則分解后為042 qp，其中，其中真分式化為部分分式之和的真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法待定系數(shù)法6532 xxx)3)(2(3 xxx,32 xBxA),2()3(3 xBxAx),23()(3BAxBAx , 3)23(, 1BABA,65 BA6532 xxx.3625 xx例例1 1,1)1(2 xCxBxA)1()1()1(12 xCxBxxA代入特殊值來確定系數(shù)代入特殊值來確定系數(shù)CBA,0 x取取1 A1 x取取1 B1 C.11)1(112 xxx2)1(1 xx例例2 22)1(1

5、xx),1( , , 2 的的值值代代入入并并將將取取BAx 例例3 3.1515221542xxx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA , 1, 02, 02CACBBA,51,52,54 CBA,1212xCBxxA )1)(21(12xx 整理得整理得.)1(1 2dxxx 求積分求積分dxxx )1(12dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11 )1(1 12.)1ln(11lnCxxx 解解例例4解解. )1)(21(1 2 dxxx求求積積分分dxxxdxx 2151522154 dxxx)1)(21(12dx

6、xdxxxx 2211511251)21ln(52.arctan51)1ln(51)21ln(522Cxxx 例例5. 322 2 dxxxx求求積積分分解解, 22)32( 2 xxxd dxxxx 322 2, 21)22(212 xxdxxxdxxxx 3213 322 2122 . 3)22(212 xx即即dxxxdxxxxd )2()1()1(3 32)32( 212222 .21arctan23)32ln(212Cxxx 例例6說明說明將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：現(xiàn)三類情況：)1(多項式；多項式；;)()2(naxA ;)()3

7、(2nqpxxNMx 討論積分討論積分,)(2 dxqpxxNMxn,42222pqpxqpxx tpx 2 令令,422pqa ,2MpNb 則則 dxqpxxNMxn)(2 dtatMtn)(22 dtatbn)(22,222atqpxx , bMtNMx 記記, 1)2( n dxqpxxNMxn)(2122)(1(2 natnM.)(122 dtatbn這三類積分均可積出這三類積分均可積出, , 且原函數(shù)都是初等函數(shù)且原函數(shù)都是初等函數(shù). .結(jié)論結(jié)論 有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù). ., 1)1( n dxqpxxNMx2)ln(22qpxxM ;2arct

8、anCapxab 三角有理式的定義：三角有理式的定義： 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)稱之一般記為構(gòu)成的函數(shù)稱之一般記為)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx ,2tan12tan22xx ,2sin2coscos22xxx 二、三角函數(shù)有理式的積分二、三角函數(shù)有理式的積分2sec2tan1cos22xxx ,2tan12tan122xx ,2tan xu 令令,12sin2uux ,11cos22uux duudx212 dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR （萬能置換公

9、式）（萬能置換公式） arctan2 ux 則則. cossin1sin dxxxx求求積積分分解解,12sin2uux 2211cosuux ,122duudx 由萬能置換公式由萬能置換公式 dxxxxcossin1sinduuuu )1)(1(22duuuuuu )1)(1(112222例例7duuuuu )1)(1()1()1(222duuu 211duu 11uarctan )1ln(212u Cu |1|ln2tanxu 2x|2sec|lnx .|2tan1|lnCx 原式原式.sin1 4 dxx求求積積分分解法一解法一,2tanxu ,12sin2uux ,122duudx d

10、xx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 例例8解法二解法二 可以不用萬能置換公式可以不用萬能置換公式. . dxx4sin1dxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc .cot31cot3Cxx 討論類型討論類型),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解決方法解決方法作代換去掉根號作代換去掉根號. .21 3 xdx求求積積分分解解 ux 32 令令23 ux三、簡單無理函數(shù)的積分三、簡單無理函數(shù)的積分,32duudx 321xdxduuu 132 duuu 11)1(32 例例9duuu 1113 Cuuu 1ln232.21ln32